第六章 二元一次方程组（知识清单）数学新教材冀教版七年级下册

第六章 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程（组）的相关概念 二元一次方程 【概念】含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【三要素】1、有且只有两个未知数；2、含有未知数的项的次数为1；3、方程两边都是整式. 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 知识点02 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 【定义】把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 【定义】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2、加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【即时训练】 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的基本方法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 知识点03 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的定义 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【即时训练】 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 6．（24-25七年级下·河北唐山·期中）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 【答案】(1)；； (2)3 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 7．（24-25七年级下·河北唐山·月考）学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读，一套是革命家故事丛书，共册；一套是青少年科普读物丛书，共册．若购买套革命家故事丛书，套青少年科普读物丛书共需元；若购买套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书共需元．若学校预算元，能否购买一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书？ 【答案】学校预算元，不能各购买一套丛书． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一套革命家故事丛书需要元，购买一套青少年科普读物丛书需要元，由题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设购买一套革命家故事丛书需要元，购买一套青少年科普读物丛书需要元， 由题意得：， 解得：， 所以， 因为， 所以若学校预算元，不能各购买一套丛书， 答：若学校预算元，不能各购买一套丛书． 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）在春节来临之际，某商场计划采购A，B两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示． A B 进价/（元/件） 30 50 售价/（元/件） 50 80 (1)若该商场花费7600元购进A，B两种商品共200件，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ (2)若商场花费5700元购进A，B两种商品若干件，全部售出后可获利3600元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ 【答案】(1)该商场购进A种商品120件，B种商品80件 (2)该商场购进A种商品90件，B种商品60件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购进A种商品件，B种商品件，根据商场用7600元购入这两种商品，列出二元一次方程组，解方程组即可． （2）设购进A种商品件，B种商品件，根据商场用5700元购入这两种商品全部售出后可获利3600元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设购进A种商品件，B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进A种商品120件，B种商品80件． （2）解：设购进A种商品件，B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进A种商品90件，B种商品60件． 一、二元一次方程（组） 1.二元一次方程的定义 错误：混淆二元一次方程的概念 注意：二元一次方程有两个未知数，且未知数的最高次数为1的等式； 1．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B．中含有未知数的项次数不是1，不是二元一次方程，不符合题意； C．中含，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D．是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2.二元一次方程组的概念 错误：混淆二元一次方程组的概念 注意：两个二元一次方程结合起来的即为二元一次方程组； 2．（2025七年级下·全国·专题练习）方程组；；中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， ∴不属于二元一次方程组的有2个； 故选：C． 3.二元一次方程组的解 错误：求二元一次方程组的解时忘记验证答案的正确性 注意：要学会验证二元一次方程组的解 3．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故不符合题意； B、将代入，左边＝右边，但不是整式方程，故不符合题意； C、将代入，左边＝右边，但不是二元一次方程，故不符合题意； D、将代入，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的定义及正确代入计算是解题的关键． 二、二元一次方程组的解法 1.不知道运用代入消元法还是加减消元法 错误：不确定用哪个消元法解二元一次方程组 注意：观察式子的类型，代入消元方便的用代入消元法； 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． 2.整体思维解二元一次方程组 错误：不会运用整体思维解二元一次方程组 注意：要学会将复杂式子的某一部分当作整体，可以通过换元的方式解决 5．（24-25七年级下·河北唐山·月考）阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确理解“整体代入法”． 由整体代入法和代入消元法，解方程组即可． 【详解】解： 由得， 把代入，得， 解得，， 把代入，得， 解得，， 所以，原方程组的解为． 3.二元一次方程组的含参问题 错误：含参问题无从下手 注意：将二元一次方程组的解用参数表示，再根据题目要求列出式子求解即可。 6．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）已知关于x，y的方程组中，满足，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．将方程组的方程相加，得到，则有，结合求出的值，再利用加减消元法解方程组，求出的值即可求解． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∴． 故答案为：11． 三、三元一次方程组 1.三元一次方程组的解法与应用 错误：解三元一次方程组时方法麻烦，导致错误； 注意：三元一次方程组的解法主要核心是消元，学会将三元转为二元，再转为一元即可； 7．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和通过代入已知值求解二次函数系数．熟练掌握消元法解二元一次方程组以及根据已知条件建立方程组求解函数系数的方法是解题的关键． （1）使用消元法来求解该二元一次方程组．通过对两个方程进行变形，消除其中一个未知数，从而求得另一个未知数的值，再将求得的值代入原方程求出被消除的未知数． （2）将不同值下对应的值代入函数表达式，得到一个关于、、的三元一次方程组，然后求解该方程组，即可得到、、的值． 【详解】解：（1） 由得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）由题意可得      把代入得，即， 把代入得，即， 得， 解得， 把代入得， 解得， ， 所以，． 四、二元一次方程组的应用 1.销售问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 8．（24-25七年级下·河北承德·期末）某游客到特产专营店准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买2盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需115元；购买1盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需70元． (1)请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃汁的价格； (2)该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃汁，共需多少元？ 【答案】(1)每盒豆腐乳20元，每盒猕猴桃果汁25元； (2)该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需130元． 【分析】（1）设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，根据若购买2盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需115元；购买1盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需70元，列出方程组，求解即可； （2）将（1）中的每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格代入解得即可． 【详解】（1）解：设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元， 可得：， 解得：， 答：每盒豆腐乳20元，每盒猕猴桃果汁25元； （2）∵每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为20元，25元， ∴4×20+2×25＝130（元）， 答：该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需130元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解． 2.方案问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 9．（24-25七年级下·河北邢台·期末）某文具经销商计划购进一批签字笔，已知供货商有，，三种不同价格的签字笔，进价分别是种签字笔每箱1500元，种签字笔每箱2000元，种签字笔每箱2500元． (1)求花费50000元购进24箱签字笔的平均价格； (2)若经销商同时购进两种不同型号的签字笔24箱，刚好用去50000元，请你设计采购方案． 【答案】(1)元； (2)种签字笔10箱，种签字笔14箱或种签字笔20箱，种签字笔4箱． 【分析】（1）用即可求解； （2）分两种情况讨论，分别列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：购进24箱签字笔的平均价格为元； （2）解：∵购进24箱签字笔的平均价格为（元）， ∴必须购进种签字笔． 若设购进种签字笔箱，种签字笔箱， 根据题意，得， 解得． 若设购进种签字笔箱，种签字笔箱， 根据题意，得， 解得． 综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的签字笔共有两种方案可行，即种签字笔10箱，种签字笔14箱或种签字笔20箱，种签字笔4箱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，分别列出二元一次方程组是解题的关键． 3.行程问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两名同学在300米环形跑道上练习赛跑．若两人同时同地反向跑，则经过25秒两人第一次相遇；若两人同时同地同向跑，则经过150秒甲第一次追上乙．甲、乙两人的速度各是多少？ 【答案】甲、乙两人的速度分别是7米/秒、5米/秒 【分析】设甲的速度是米/秒，乙的速度是米/秒，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设甲的速度是米/秒，乙的速度是米/秒，根据题意得 ， 解得． 答：甲、乙两人的速度分别是7米/秒、5米/秒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 1．（25-26七年级上·河北沧州·月考）甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，通过背向而行相遇和同向而行追及的条件，建立关于甲、乙速度的方程组，解方程组求出甲的速度． 【详解】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可． 【详解】解：方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴，解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知方程组的解x、y满足方程，求k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相加，得出与的关系，再结合已知方程求出、的值，最后代入方程求出．解题思路为利用方程组中方程的运算建立与已知方程的联系，进而求解．本题主要考查了二元一次方程组的求解以及方程的代入运算，熟练掌握方程组中方程的运算和整体代入思想是解题的关键． 【详解】解： 可得， ， 因为， 所以， 解得， 故选：C． 4．（24-25七年级下·河北承德·期末）若与互为相反数，则的值为(   ) A．3 B．9 C．12 D．27 【答案】D 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及非负数的性质，先根据相反数的定义列出关于x、y的方程，求出x、y的值再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 而，， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，从左上角标注2的圆圈开始，沿顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（    ） A．122 B．66 C．178 D．89 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组和求代数式的值．根据题意得到关于，的二元一次方程组，解得，，得到表示计算规律的代数式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， ∴顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数， 当时，； 当时，， 即标注问号的圆圈中的数应是， 故选：A 6．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 即每个小长方形的面积为． 故选：D． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知关于x、y的方程组，给出下列结论：①当时，该方程组的解是；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④用含x的式子表示y，．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，利用解方程组的方法，逐一验证四个结论的正确性，解答即可． 【详解】解：①当时，方程组变形为， 把代入方程组，得都成立，故方程组的解是；故①正确； ②若x，y的值互为相反数，则，故 由， 变形为， 解得， 解得， 故当时，x，y的值互为相反数， 判定无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数是错误的； 故② 错误； ③当时，方程组变形为，解得， 把代入方程得， 解得，矛盾， 故③错误； ④由， 得， 用含x的式子表示y，得， 故④错误； 综上所述，仅结论①正确，正确个数为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了解方程组，相反数的应用，等式的性质，同解问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，得出，结合已知可得，解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵， ∴ 解得： 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知关于的方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．把方程组中的两个方程相加，即可得出，即可求出的值． 【详解】解： 由①+②可得出：， 整理得：， ∴， 故答案为：1． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如果是二元一次方程，那么 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了二元一次方程的概念及解二元一次方程组，掌握这两个知识是解题的关键；由题意得方程组，利用加减法解方程组即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程是二元一次方程， ∴， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 故答案为：2，2． 11．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）为了补充学习备品，周日下午，琪琪同学到文化用品商店进行购买，她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的签字笔（两种商品都购买，且恰好用完50元），请你写出符合条件的一种购买方案 ． 【答案】购买笔记本和签字笔分别为8、5（或6、10或4、15或2、20） 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x本笔记本，y支签字笔，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各购买方案，任取其一即可． 【详解】解：设购买x本笔记本，y支签字笔， 根据题意得：， ， 又x，y均为正整数， 共有4种购买方案， 方案1：购买8本笔记本，5支签字笔； 方案2：购买6本笔记本，10支签字笔； 方案3：购买4本笔记本，15支签字笔； 方案4：购买2本笔记本，20支签字笔． 故答案为：购买笔记本和签字笔分别为8、5（或6、10或4、15或2、20） 12．（24-25七年级下·河北唐山·期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）若关于的二元一次方程组，满足，则的值为 【答案】3 【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相减可得，进而得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：， 得， ， ， 故答案为：3． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，熟练运用整体法解方程组是解题的关键． 把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解， 【详解】解：， 得： ， ， x，y互为相反数， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则： (1)____________________； (2)的值为__________． x P 2 1 y 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据题意和表格中的数据，可以先求出的值； （2）设第一列从上往下第三个数为，则，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：； （2）设第一列从上往下第三个数为， 则， 解得，， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河北邢台·期末）问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？” 小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是 ，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出未知数代表的意义是解题关键． 由小亮列的方程可知，x、y表示下、上坡的时间，即可根据上坡时间+下坡时间=总时间，列出方程；由小颖列的方程可知m、n分别 表示上坡与下坡的路程，根据时间等于路程除以速度，则上坡时间+下坡时间=总时间列出方程即可． 【详解】解：根据题意得出，分别表示下坡时间和上坡时间， 由题意可得：； 根据题意得出m，n分别表示上坡距离和下坡距离， 由题意可得：（或）． 故答案为：；（或）． 17．（25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． （2）解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 18．（25-26八年级上·河北张家口·期末）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了26元；小丽买了苹果和梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组：，而小丽列出的是：，交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的． (1)他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ (2)直接写出苹果和梨的价格各为多少？ 【答案】(1)正确，他们产生分歧的原因是未知数的含义不同 (2)苹果的价格为10元，梨的价格为8元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据所列方程，找出未知数的含义是解题的关键． （1）根据可知，他们的方程组都正确，产生分歧的原因是设的未知数不同； （2）按照小明的思路，解方程组即可． 【详解】（1）解：他们列的方程组都正确，他们产生分歧的原因是未知数的含义不同， 小明设的苹果的价格为元，梨的价格为元，而小丽设的梨的价格为元，苹果的价格为元； （2）解：按照小明的思路来解决，设苹果的价格为x元，梨的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：苹果的价格为10元，梨的价格为8元． 19．（25-26八年级上·河北保定·月考）有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 (1)该解答过程在第___________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析． 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组．①加②消去未知数，把二元一次方程组化成一元一次方程，求出，再把值代入①求出即可． 【详解】（1）解：该解答过程在第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解答过程如下： ， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 20．（25-26八年级上·河北张家口·月考）河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 【答案】；；70； 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意得到y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意，得 ， 解得， 所以应选用A种食品4包，B种食品2包． 故答案为：，，70；． 21．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． (2)有种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（1）通过设、型汽车每辆进价，根据已知购进数量与总价的关系，列二元一次方程组求解． （2）设购买、型汽车的数量，根据总价列出方程，结合正整数条件确定购买方案，再根据利润公式求出最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． ， 解得， 答：型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型新能源汽车辆，购买型新能源汽车辆．则 ， 化简得，即． 因为、均为正整数， 所以当时，； 当时，； 当时，（不符合两种都购买，舍去）． 所以有种购买方案： 方案一：购买型辆，型辆，利润为（万元）； 方案二：购买型辆，型辆，利润为（万元）． 因为， 所以最大利润是万元． 22．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 23．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； （2）由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 24．（24-25七年级上·湖南永州·月考）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程（组）的相关概念 二元一次方程 【概念】含有两个 ，并且未知数的项的 都是1，像这样的方程叫做 【三要素】1、有且只有两个 ；2、含有未知数的项的 为1；3、方程两边都是 . 【二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 . 二元一次方程组 【概念】方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做 . 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 【二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 【定义】把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做 ，简称 . 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2、代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1、方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2、当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 【定义】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做 ，简称 . 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1、变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2、加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3、解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4、求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【即时训练】 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解方程组： (1) (2) 4．（24-25七年级下·河北沧州·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 知识点03 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的定义 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 ． 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【即时训练】 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 6．（24-25七年级下·河北唐山·期中）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1） ：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2） ：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3） ：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4） ． （5） ：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 7．（24-25七年级下·河北唐山·月考）学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读，一套是革命家故事丛书，共册；一套是青少年科普读物丛书，共册．若购买套革命家故事丛书，套青少年科普读物丛书共需元；若购买套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书共需元．若学校预算元，能否购买一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书？ 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）在春节来临之际，某商场计划采购A，B两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示． A B 进价/（元/件） 30 50 售价/（元/件） 50 80 (1)若该商场花费7600元购进A，B两种商品共200件，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ (2)若商场花费5700元购进A，B两种商品若干件，全部售出后可获利3600元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ 一、二元一次方程（组） 1.二元一次方程的定义 错误：混淆二元一次方程的概念 注意：二元一次方程有两个未知数，且未知数的最高次数为1的等式； 1．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.二元一次方程组的概念 错误：混淆二元一次方程组的概念 注意：两个二元一次方程结合起来的即为二元一次方程组； 2．（2025七年级下·全国·专题练习）方程组；；中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.二元一次方程组的解 错误：求二元一次方程组的解时忘记验证答案的正确性 注意：要学会验证二元一次方程组的解 3．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（    ） A． B． C． D． 二、二元一次方程组的解法 1.不知道运用代入消元法还是加减消元法 错误：不确定用哪个消元法解二元一次方程组 注意：观察式子的类型，代入消元方便的用代入消元法； 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 2.整体思维解二元一次方程组 错误：不会运用整体思维解二元一次方程组 注意：要学会将复杂式子的某一部分当作整体，可以通过换元的方式解决 5．（24-25七年级下·河北唐山·月考）阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 3.二元一次方程组的含参问题 错误：含参问题无从下手 注意：将二元一次方程组的解用参数表示，再根据题目要求列出式子求解即可。 6．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）已知关于x，y的方程组中，满足，则的值为 ． 三、三元一次方程组 1.三元一次方程组的解法与应用 错误：解三元一次方程组时方法麻烦，导致错误； 注意：三元一次方程组的解法主要核心是消元，学会将三元转为二元，再转为一元即可； 7．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 四、二元一次方程组的应用 1.销售问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 8．（24-25七年级下·河北承德·期末）某游客到特产专营店准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买2盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需115元；购买1盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需70元． (1)请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃汁的价格； (2)该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃汁，共需多少元？ 2.方案问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 9．（24-25七年级下·河北邢台·期末）某文具经销商计划购进一批签字笔，已知供货商有，，三种不同价格的签字笔，进价分别是种签字笔每箱1500元，种签字笔每箱2000元，种签字笔每箱2500元． (1)求花费50000元购进24箱签字笔的平均价格； (2)若经销商同时购进两种不同型号的签字笔24箱，刚好用去50000元，请你设计采购方案． 3.行程问题 错误：找不到等量关系 注意：正确审题，根据题目中所给的数量关系和相对应的公式，列出方程即可求解； 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两名同学在300米环形跑道上练习赛跑．若两人同时同地反向跑，则经过25秒两人第一次相遇；若两人同时同地同向跑，则经过150秒甲第一次追上乙．甲、乙两人的速度各是多少？ 1．（25-26七年级上·河北沧州·月考）甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知方程组的解x、y满足方程，求k的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北承德·期末）若与互为相反数，则的值为(   ) A．3 B．9 C．12 D．27 5．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，从左上角标注2的圆圈开始，沿顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（    ） A．122 B．66 C．178 D．89 6．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知关于x、y的方程组，给出下列结论：①当时，该方程组的解是；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④用含x的式子表示y，．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知关于的方程组，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如果是二元一次方程，那么 ， ． 11．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）为了补充学习备品，周日下午，琪琪同学到文化用品商店进行购买，她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的签字笔（两种商品都购买，且恰好用完50元），请你写出符合条件的一种购买方案 ． 12．（24-25七年级下·河北唐山·期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为 ． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）若关于的二元一次方程组，满足，则的值为 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为 ． 15．（24-25七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则： (1)____________________； (2)的值为__________． x P 2 1 y 16．（24-25七年级下·河北邢台·期末）问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？” 小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是 ，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是 ． 17．（25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 18．（25-26八年级上·河北张家口·期末）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了26元；小丽买了苹果和梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组：，而小丽列出的是：，交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的． (1)他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ (2)直接写出苹果和梨的价格各为多少？ 19．（25-26八年级上·河北保定·月考）有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 (1)该解答过程在第___________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 20．（25-26八年级上·河北张家口·月考）河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 21．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 22．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 23．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 24．（24-25七年级上·湖南永州·月考）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $