2.2 探索直线平行的条件（第2课时 内错角相等 同旁内角互补，两直线平行）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

2 探索直线平行的条件 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 第二章 相交线与平行线 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解内错角、同旁内角的概念，能在“三线八角”中准确识别内错角、同旁内角。掌握判定：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两线平行”，会用几何语言表达。掌握用三角尺和直尺画平行线的方法。能综合运用同位角、内错角判定平行。 经历识别角、推理判定、动手画图的过程，发展推理与操作能力。会由角的关系判断线的位置关系。 体验几何推理的严谨性，感受画图操作的实用性。培养言之有据、规范书写的学习习惯。 同位角定义 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且被截两直线同侧的角（形如“F”）。 平行线判定定理1 如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线平行。 几何语言表达 ∵ ∠1 = ∠2 (已知) ∴ a ∥ b (同位角相等，两直线平行) 截线 被截线 a b c 三线八角 2 1 3 4 6 5 7 8 知识回顾 a b l 1 2 3 a b c 知识回顾 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行线的基本事实推论 平行于同一条直线的两直线平行 ∵ a∥c，b∥c (已知) ∴ a ∥ b (平行于同一条直线的两直线平行） 导入新课 李老师有一块小画板（如图)，他想知道它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间了一条线段AB.李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行 今天我们学习另一类角——内错角、同旁内角及新判定方法。 ① ② 你知道他是怎样做的吗？ 新知探究 探究点1 认识内错角、同旁内角 议一议 如图，两条直线AB、CD被第三条直线所截构成了哪些角，位置关系如何描述？ 截线 被截线 三线八角 2 1 3 4 6 5 7 8 C D A B l 一共构成了八个角，简称“三线八角”。 ∠1与∠5 ∠4与∠8 ∠2与∠6 ∠3与∠7 同位角 ∠3与∠5 ∠4与∠6 有什么位置特点？ ∠3与∠6 ∠4与∠5 有什么位置特点？ 图中∠1和∠2， 在直线l的____________, 在AB，CD的____________。 两侧 内部 新知探究 探究点1 认识内错角、同旁内角 议一议 （1）图中具有∠1与∠2这样位置关系的角有什么特征？ C D A B l 1 3 2 内错角 定 义 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。 新知探究 探究点1 认识内错角、同旁内角 议一议 （2）图中∠3与∠4是内错角吗：内错角有什么特征？ C D A B l 1 3 4 2 在截线的两侧 在被截直线内部 内错角位置特征： Z 🔍 内错角图形特征： 呈“Z”型（或反写的 Z 型），位于两线内部且交错分布。 两个角分别在被截两直线之间，且在截线同旁称为同旁内角. 新知探究 探究点1 认识内错角、同旁内角 议一议 （3）具有∠1与∠3这样位置关系的角有什么特征？ C D A B l 1 3 2 1.都在被截直线AB，CD的___________。 2.都在截线 l 的______________。 之间(之内) 同一旁(同侧) 在截线的同侧 在被截直线内部 同位角特征： U 同旁内角 同位角、内错角和同旁内角的结构特征总结 在截线 在被截线 结构特征 同位角 内错角 同旁内角 之间 之间 同侧 同旁 两旁 同旁 F Z U 新知探究 探究点1 认识内错角、同旁内角 归一归 任务学习单 图中有没有同位角？ 。 当∠1= ，a∥b (同位角相等，两直线平行) 图中有没有内错角？ 。 图中∠1与∠2有什么大小关系？ 。 ∴当∠2 ∠4， a与b平行 思考•交流 探究点2 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 议一议 （1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 a b c 3 1 2 4 如果一组内错角∠2=∠4，那么得到. ∠1与∠4是同位角 ∠4 ∠2与∠4是内错角 ∠1=∠2（对顶角相等） = 当∠2=∠4时， 因为∠2=∠1（对顶角相等）， 则∠1 = ∠4 (等量代换)， 所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。 当内错角相等时，两直线平行 （2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 思考•交流 探究点2 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 议一议 a b c 3 1 2 4 任务学习单 图中有没有同位角？ 。 当∠1= ，a∥b (同位角相等，两直线平行) 图中有没有同旁内角？ 。 图中∠1与∠3有什么大小关系？ 。 ∴当∠3与∠4 ， a与b平行 ∠1与∠4是同位角 ∠4 ∠3与∠4是同旁内角 ∠1+∠3=180°（平角定义） 互补 如果一组同旁内角∠3与∠4互补， 即∠3+∠4=180°，则得到. 当∠3+∠4=180°， 因为∠1+∠3=180°， 所以∠1=∠4，（同角的补角相等） 所以.（同位角相等，两直线平行） 同旁内角互补，两直线平行 几何语言 简记 思考•交流 探究点2 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 归一归 （3）两直线平行判定方法 a b c 3 1 2 4 平行判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 ∵ ∠1 = ∠2（已知）， ∴ a ∥ b（内错角相等，两直线平行） 内错角相等，两直线平行。 几何语言 简记 平行判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠3＋∠4＝180°(已知)， ∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。 观察•交流 探究点2 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 议一议 如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。 ∟ ∟ ∟ （1）BC与AE是平行的 ∵∠BCA=∠EAC（已知） ∴ BC∥AE（内错角相等，两直线平行） （2）AC与DE是平行的 ∵∠ACE=∠CED=90°（已知） ∴ AC∥DE（内错角相等，两直线平行） （3）AB与CE是平行的 ∵∠BAC=∠ACE=90°（已知） ∴ AC∥DE（内错角相等，两直线平行） 你还能用其他方法证明这三组直线平行吗？ 思考•交流 探究点3 画平行线（直尺+三角尺） 议一议 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直找截这两直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同件进行交流。 b a 截线 利用截线与两条直线构造出同位角、内错角或同旁内角，再依据同位角、内错角或同旁内角的大小关系判定两条直线是否平行。 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 数量关系 位置关系 转 化 尝试•思考 议一议 如图，某公园的两条直道AB和CD交于点0,为方便善客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN吗? 探究点3 画平行线（尺规画图） 问题1：过点P的直线有多少条？ A B C D O P 问题2：满足什么条件的直线才能与AB平行？ 无数条 E 需要满足∠DPE=∠POB， 可根据同位角相等判断所画直线与AB平行。 尝试•思考 画一画 探究点3 画平行线（尺规画图） A B P 如图，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线 MN，使 MN 经过点 P，且 MN//AB. 画一画，并且尝试总结画法！ (1) 在直线 AB 上任取一点O，过点 O， P 作直线 CD. O C D (2) 以点 P 为顶点，以 PD 为一边， 在直线 CD 的右侧作∠DPN =∠DOB. M N 作法： 即 PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线. 新知探究 画一画 探究点3 画平行线（尺规画图） 如图，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线 MN，使 MN 经过点 P，且 MN//AB. 画一画，并且尝试总结画法！ 典例分析 例1．如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，，，找出图中的平行线，并说明理由． 解：，． 理由：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 典例分析 例2．如图， (1)如果，那么直线与平行吗？写出理由； (2)当与之和为时，直线与平行？说明理由． 解：（1）， 理由如下： ∵， ∴(同位角相等，两直线平行）； （2）当时，， 理由如下： ∵， ， ∴， ∴． 典例分析 例3．如图，分别平分．求证． 证明：， （垂直的定义）． 分别平分， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 新知巩固 1.观察右图并填空： (1)∠1与_______是同位角； (2)∠5与_______是同旁内角； (3)∠2与_______是内错角。 a b m n 1 2 3 4 5 ∠4 ∠3 ∠1 【教材P46 页】 随堂练习 新知巩固 2.当图中各角分别满足下列条件时，你能判定哪两条直线平行？ (1)∠1=∠4； (2)∠2=∠4； (3)∠1+∠3=180°。 m n l a b 1 2 4 3 a∥b l∥m l∥n 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【教材P46 页】 随堂练习 拓展提升 1．如图，直线过点若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 解：，理由如下： ， ， ， ， ．（内错角相等，两直线平行） 真题感知 1.(2025.安庆校考)．已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：． 证明：∵ ∴b（同旁内角互补，两直线平行） ∵ ∴ c（同位角相等，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两直线平行） 真题感知 2.（2025.汕头校检）如图，，判断和的位置关系，并说明理由； 解： 理由如下：∵，（已知） 又∵，（对顶角相等） ∴，（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） 3 课堂小结 同位角﹑内错角和同旁内角的位置与结构特征 角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征 同位角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 内错角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同旁内角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同侧 同侧 F Z U 两侧 之间 同侧 之间 ①必有三条直线 ②这三类角都没有公共顶点 ③都表示角之间的位置关系 知 识 总 结 方 法 总 结 课堂小结 平行线的判定 判定方法 1： 同位角相等，两直线平行 判定方法 2： 内错角相等，两直线平行 判定方法 3： 同旁内角互补，两直线平行 思想提炼：核心数学素养 转化思想 将未知问题转化为已知问题来解决，例如利用同位角证明其他判定定理。 数形结合思想 通过角的数量关系来刻画线的位置关系，以数解形，以形助数。 易 错 提 醒 内错角、同旁内角必须在三线八角中，不能随便找。不要把“内错角”和“同位角”混淆。画平行线要固定直尺，平移三角尺。 课后练习 教材p47 3.如图，一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？ A B C D ∴AB∥CD (内错角相等两直线平行)。 习题2.2 2 1 解： ∵∠ABC=∠BCD=150° 课后练习 4.如图，∠DAB+∠CDA=180°， ∠ABC = ∠1，直线 AB 与 CD 平行吗？直线 AD 与 BC 呢？ 1 A B C D 解：因为 ∠DAB+∠CDA=180°， 所以 AB∥CD 。 (同旁内角互补，两直线平行) 又因为 ∠ABC= ∠1， 所以 AD∥BC 。 (同位角相等，两直线平行) 教材p47 习题2.2 课后练习 5.你能用一张形状不规则的纸(比如，如图所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗？与同伴说说你的折法。 答：利用同位角相等两直线平行这一性质进行折叠。 A B C D 在其中一边AB上任取两点C、D，分别过点C、D折叠，使CA、CB在同一条直线上，使DA、DB在同一条直线上，此时得到的两条折痕互相平行。 教材p47 习题2.2 课后练习 6.图(1)是一种画平行线的工具。在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具[如图(2)]，然后再画平行线[如图(3)]。请说明这种工具的用法和其中的道理。 答：在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具，使两个角都是90°，然后画平行线，依据是 “在同一平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行”。 教材p47 习题2.2 课后练习 9.利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线。请说明其中的道理。 （1） （2） （3） （4） 两次折出的都是垂线，利用两个交点处的角都是直角，通过内错角相等得到两直线平行。 教材p47 习题2.2 谢谢聆听 $