2.2 探索直线平行的条件（第1课时 同位角相等 两直线平行）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

2.2 探索直线平行的条件（第1课时 同位角相等 两直线平行） （导学案） （1）理解同位角的概念，能在图形中准确识别同位角。掌握判定方法：同位角相等，两直线平行，会用几何语言表达。掌握平行线基本事实及其推论。 （2） 经历观察、操作、想象、推理、交流的过程，探索平行线的判定条件。会用同位角相等判定两直线平行，进行简单推理和说理。 （3）感受数学与生活的联系，体验几何探究的乐趣。培养言之有据、规范表达的几何学习习惯。 重点:同位角的识别；同位角相等，两直线平行；平行线基本事实。 难点：在较复杂图形中准确识别同位角；理解平行线基本事实中“有且只有一条”；规范书写几何推理过程。 第一环节 自主学习 温故知新： 观察：在日常生活中，人们经常用到平行线。如图，装工人要在墙上钉木条，如果木条与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时, 才能使木条α与木条b平行? 问题：如何判断两条直线互相平行？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第41-43页的内容 【学法指导】自研课本P41-43页内容， (一)认识同位角 观察图形：如左图，三根木条相交成∠1,∠2，固定木条b、c，转动木条α。 如右图，在转动木条的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的位置关系？ 抽象图形：把上面的两条木条被第三条木条所截抽象成如下图形。 归纳同位角定义：两直线被第三条直线所截，在被截两直线的同一方，且在截线的同一侧的一对角，叫做同位角。 图中还有其它同位角吗？若有，说出来。 （二）平行线判定方法——同位角相等，两直线平行 操作：转动木条，观察同位角大小变化。 观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条α与木条b的位管关系发生了什么变化？木条何时与木条平行？与同伴进行交流。 猜想：当同位角相等时，两直线平行。 验证：用三角尺推平行线，体会同位角始终相等。 归纳判定方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简记：同位角相等，两直线平行。 几何语言：∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ a ∥ b（同位角相等，两直线平行）。 （三）平行线基本事实及其推论 1. 画图活动：过直线外一点画已知直线的平行线。 尝试·思考 你能借助三角尺面平行线吗？ 1.上图所示的方法画出了已知直线的平行，请说明其中的道理。 2.你能过直线AB外一点C画直线AB的平行线吗？能画出几条？ 得出基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 操作·思考 在图中，分别过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系? 几何语言：∵ a ∥ b，b ∥ c，∴ a ∥ c。 【自研自探】 自研课本P41-43页内容 典型例题 例1．下列说法错误的是（    ） ①直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②同一平面内，两条直线如果不相交，那么一定平行 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例2：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 　　　　　　 例3.如图，直线a, b被c所截，∠1=60°，∠3=120°。判断a与b是否平行，并说明理由。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二环节 合作探究 1.讨论两条直线被第三条直线所截，形成三线八角，两个角符合什么样位置关系的角是同位角？ 2.讨论如何根据同位角的大小判断两直线平行？怎样用几何语言表述？ 3.讨论如何得到平行线基本事实及其推论？ 拓展提升：1.．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    课堂练习：课本练习。 1．（2025.湖州校测）如图所示，若，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2025•甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 3．（2025.柳州校考）已知：如图，直线与被所截，．求证：．    知识总结：（1）同位角：同 、同 。（2）判定平行：同位角 ，两直线平行。（3）基本事实：过直线外一点， 与已知直线平行。（4）推论：平行于 互相平行。 方法总结：（1）找同位角：两直线被第三条直线所截，在被截两直线的同 ，且在截线的同 的一对角。（2）证平行：先找同位角 ，再判两直线平行。（3）几何推理：先写 ，再写 ，注明 。 易错提醒：（1）同位角必须是三线八角中： 。（2）只有同位角 才能推平行，不能看到 就说平行。（3）推论中三条直线互相平行，不能漏掉“ ”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 探索直线平行的条件（第1课时 同位角相等 两直线平行） （导学案） （1）理解同位角的概念，能在图形中准确识别同位角。掌握判定方法：同位角相等，两直线平行，会用几何语言表达。掌握平行线基本事实及其推论。 （2） 经历观察、操作、想象、推理、交流的过程，探索平行线的判定条件。会用同位角相等判定两直线平行，进行简单推理和说理。 （3）感受数学与生活的联系，体验几何探究的乐趣。培养言之有据、规范表达的几何学习习惯。 重点:同位角的识别；同位角相等，两直线平行；平行线基本事实。 难点：在较复杂图形中准确识别同位角；理解平行线基本事实中“有且只有一条”；规范书写几何推理过程。 第一环节 自主学习 温故知新： 观察：在日常生活中，人们经常用到平行线。如图，装工人要在墙上钉木条，如果木条与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时, 才能使木条α与木条b平行? 问题：如何判断两条直线互相平行？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第41-43页的内容 【学法指导】自研课本P41-43页内容， (一)认识同位角 观察图形：如左图，三根木条相交成∠1,∠2，固定木条b、c，转动木条α。 如右图，在转动木条的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的位置关系？ ∠1,∠2是在两根木条被第三条木条所截，在被截两根木条的同一方，且在所截木条的同一侧的一对角。 抽象图形：把上面的两条木条被第三条木条所截抽象成如下图形。 两条直线被第三条直线所截，形成三线八角。 归纳同位角定义：两直线被第三条直线所截，在被截两直线的同一方，且在截线的同一侧的一对角，叫做同位角。 图中还有其它同位角吗？若有，说出来。 ∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8. （二）平行线判定方法——同位角相等，两直线平行 操作：转动木条，观察同位角大小变化。 观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条α与木条b的位管关系发生了什么变化？木条何时与木条平行？与同伴进行交流。 猜想：当同位角相等时，两直线平行。 验证：用三角尺推平行线，体会同位角始终相等。 归纳判定方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简记：同位角相等，两直线平行。 几何语言：∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ a ∥ b（同位角相等，两直线平行）。 （三）平行线基本事实及其推论 1. 画图活动：过直线外一点画已知直线的平行线。 尝试·思考 你能借助三角尺面平行线吗？ 1.上图所示的方法画出了已知直线的平行，请说明其中的道理。 同位角相等，两直线平行。 2.你能过直线AB外一点C画直线AB的平行线吗？能画出几条？ 让学生用推三角尺的方法尝试过已知直线外一点画这条直线的平行线。 得出基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 操作·思考 在图中，分别过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系? 得出推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 几何语言：∵ a ∥ b，b ∥ c，∴ a ∥ c。 【自研自探】 自研课本P41-43页内容 典型例题 例1．下列说法错误的是（    ） ①直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②同一平面内，两条直线如果不相交，那么一定平行 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据平行线的判定、对顶角性质、垂线段性质判断求解即可． 【详解】解：①②③均正确 故选： D． 例2：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 　　　　　　 【分析】垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行. 【详解】解:这两条直线平行，理由如下: ∵b⊥a, ∴∠1=90°. 同理∠2=90°. ∴∠1-∠2. 又∠1和∠2是同位角， ∴b//c(同位角相等，两直线平行). 例3.如图，直线a, b被c所截，∠1=60°，∠3=120°。判断a与b是否平行，并说明理由。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【分析】因为∠3和∠4是邻补角，∠3=120°，可以求出∠4＝60°，因为∠1=60°，所以∠1=∠2，因为 ∠1和∠4是同位角，可以判断两条直线平行. 【详解】解:这两条直线平行，理由如下: ∵ ∠3+ ∠4 = 180° （邻补角定义） 又∵∠3 = 120°（已知）， ∴∠4= 180°－ 120°= 60° ∵ ∠1=60° ∴∠1= ∠4　且∠1与∠4是同位角， ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。 第二环节 合作探究 1.讨论两条直线被第三条直线所截，形成三线八角，两个角符合什么样位置关系的角是同位角？ 2.讨论如何根据同位角的大小判断两直线平行？怎样用几何语言表述？ 3.讨论如何得到平行线基本事实及其推论？ 拓展提升：1.．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    【详解】∵平分，， ∴． 又， ∴． ∴． 课堂练习：课本练习。 参考答案：1.AB//CD, EF//GH。2.设∠1的对顶角为∠3，则∠3=∠1=55°，所以∠2=∠3,因此直线AB与CD平行。3.相交，画图略。 1．（2025.湖州校测）如图所示，若，则（   ）    A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：D． 2．（2025•甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【解答】解：如图2所示，旋转后∠2＝∠1＝80°时，a∥b， ∴要使木条a与b平行，木条a绕点A顺时针旋转的度数是110°－80°＝30°． 故选：A． 3．（2025.柳州校考）已知：如图，直线与被所截，．求证：．    【详解】解：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 知识总结：（1）同位角：同一方、同一侧。（2）判定平行：同位角相等，两直线平行。（3）基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（4）推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。 方法总结：（1）找同位角：两直线被第三条直线所截，在被截两直线的同一方，且在截线的同一侧的一对角。（2）证平行：先找同位角相等，再判两直线平行。（3）几何推理：先写条件，再写结论，注明依据。 易错提醒：（1）同位角必须是三线八角中：两直线被第三条直线所截形成的角。（2）只有同位角相等才能推平行，不能看到位置像就说平行。（3）推论中三条直线互相平行，不能漏掉“互相”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $