2.1 两条直线的位置关系（第2课时 垂直的概念和性质）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

2.1 两条直线的位置关系（第2课时 垂直的概念和性质） （导学案） （1）理解垂直的定义，会用符号表示垂直，会写几何语言。掌握两条性质：① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短。理解点到直线的距离的概念，并能简单应用。 （2）经历画图、观察、猜想、归纳的过程，体会几何性质的形成过程。会用垂直的定义和性质进行简单推理与计算。 （3）感受垂直在生活中的广泛应用，培养严谨、规范的几何表达习惯。 重点是:垂直的概念、表示法；过一点画已知直线的垂线；两条性质。 难点是：理解“有且只有”的含义；区分垂线段与点到直线的距离；性质的实际应用与规范说理。 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 观察图片：墙角、书桌、门框、十字标志。 2. 提问：这些相交线有什么共同特点？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第36-38页的内容 【学法指导】自研课本P36-38页内容， （1） 认识垂直定义 1.这些两两相交直线的夹角是多少度？ 2.这样的两条相交直线关系叫什么？ 归纳 垂直定义：两条直线相交成 ，则这两条直线互相 ，其中一条叫另一条的 ，交点叫 。 3.如图直线AB与CD垂直，如何用符号表示？ 4.如何用几何语言叙述？ （二）垂直定义的简单推理 思考·交流 如图O为直线AB上的一点。 1.如果∠AOC=∠BOC,那么OC与AB垂直吗?为什么?与同伴进行交流。 2.如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗?为什么?与同伴进行交流。 （三）垂直的画法 尝试·思考 1.你能用折叠的方张折出互相垂直的直线吗?试试看. 2.如果只用直尺，你画出如图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再面出两条互相垂直的直线吗？ 尝试·交流 1.如图，点A在直线上，你能用三角尺过点A画直线的垂线吗？ 2.你能画出多少条？如果点A在直线外呢？你是怎样做的？与同件进行交流。 归纳：同一平面内，过一点 与已知直线垂直。 （四）垂线段最短和点到直线的距离 问题1：如图.点P是直线外一点，P0⊥，点0是垂足。点A、B、C在直线上，比较线段PO,PA，PB，PC的长短，你发现了什么? 问题2：如图，过点A作直线的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线的距离。 在图中，哪条线段的长度可以表示点P到直线的距离？ 强调：两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段或射线与直线垂直，都是指 互相垂直。过一点画线段或射线的垂线，垂足可能在 上，也可能在 . 归纳：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短。 【自研自探】 自研课本P35-38页内容 典型例题 例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。 　　　　　 例2.如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 　　 例3.如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． 例4.如图，，垂足为，经过点，求、的度数． 第二环节 合作探究 1.讨论两条直线垂直的定义，表示方法，如何用几何语言表示？ 2.讨论怎样运用垂直定义进行简单推理？ 3.讨论如何过一点画已知直线的垂线？ 4.讨论垂线段最短和点到直线的距离 拓展提升：1．如图，分别过点P作的两边的垂线． 课堂练习：课本练习. 1.（2025蒙城检测）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．    2.（2025淮安检测）直线与直线相交于C，画图：过点P作，垂足为R，交于N． 3．（2025包河校检测）如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，求的度数．      知识总结：（1）垂直：相交成 °，记作 。（2）垂直性质：在 内，过一点 与已知直线垂直。垂线段 。（3）点到直线的距离： 。 方法总结：（1）几何学习：观察→ → → 。（2）垂直问题：见垂直想 °，见 °可判垂直。（3）实际问题：找 就是找 。 易错提醒：（1）“有且只有”： 。（2）垂线段是 ，距离是 ，不能混淆。（3）画垂线要画 ，不是 。（4）射线/线段的垂线，要先 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 两条直线的位置关系（第2课时 垂直的概念和性质） （导学案） （1）理解垂直的定义，会用符号表示垂直，会写几何语言。掌握两条性质：① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短。理解点到直线的距离的概念，并能简单应用。 （2）经历画图、观察、猜想、归纳的过程，体会几何性质的形成过程。会用垂直的定义和性质进行简单推理与计算。 （3）感受垂直在生活中的广泛应用，培养严谨、规范的几何表达习惯。 重点:垂直的概念、表示法；过一点画已知直线的垂线；两条性质。 难点：理解“有且只有”的含义；区分垂线段与点到直线的距离；性质的实际应用与规范说理。 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 观察图片：墙角、书桌、门框、十字标志。 2. 提问：这些相交线有什么共同特点？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第36-38页的内容 【学法指导】自研课本P36-38页内容， （1） 认识垂直定义 1.这些两两相交直线的夹角是多少度？ 这些两两相交的直线为90° 2.这样的两条相交直线关系叫什么？ 这样的两条相交直线叫做互相垂直。 归纳 垂直定义：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线，交点叫垂足。 3.如图直线AB与CD垂直，如何用符号表示？ 符号表示记作：AB ⊥ CD，垂足为 O。 4.如何用几何语言叙述？ ∵ AB ⊥ CD 于 O， ∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°。 ∵ ∠AOC = 90°， ∴ AB ⊥ CD。 （二）垂直定义的简单推理 思考·交流 如图O为直线AB上的一点。 1.如果∠AOC=∠BOC,那么OC与AB垂直吗?为什么?与同伴进行交流。 由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180", 可得∠AOC=∠BOC= 90°. 所以 OC⊥AB. 2.如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗?为什么?与同伴进行交流。 已知两条直线垂直，那么这两条直线相交成的四个角中必有一个是直角，进而可以推出其他三个 角也都是直角。所以如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC。 （三）垂直的画法 尝试·思考 1.你能用折叠的方张折出互相垂直的直线吗?试试看. 如下图折叠： 2.如果只用直尺，你画出如图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再面出两条互相垂直的直线吗？ 在方格纸上画水平直线或竖直直线的垂线，学生比较容易操作；但画倾斜直线的垂线时，有的学生可能会遇到困难。可以引导学生分析方格纸的特点，进而运用垂直的概念画出垂线。 尝试·交流 1.如图，点A在直线上，你能用三角尺过点A画直线的垂线吗？ 学生动手操作，过点A画出直线的垂线. 2.你能画出多少条？如果点A在直线外呢？你是怎样做的？与同件进行交流。 能画一条；点A在直线外，画点A到的垂线只能画一条。 归纳：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （四）垂线段最短和点到直线的距离 问题1：如图.点P是直线外一点，P0⊥，点0是垂足。点A、B、C在直线上，比较线段PO,PA，PB，PC的长短，你发现了什么? 线段PO最短。 问题2：如图，过点A作直线的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线的距离。 在图中，哪条线段的长度可以表示点P到直线的距离？ 线段AB。 强调：两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段或射线与直线垂直，都是指它们所在的直线互相垂直。过一点画线段或射线的垂线，垂足可能在线段或射线上，也可能在线段延长线或射线的反向延长线上。 归纳：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 【自研自探】 自研课本P36-38页内容 典型例题 例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。 　　　　　 【分析】根据两直线垂直定义，直接得出结论. 【详解】解:因为AB⊥CD，垂足为O，根据垂直定义，得∠AOC=∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°. 例2.如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 　　 【分析】画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.对于(3)，需要先延长线段AB，这时，垂足在AB的延长线上. 【详解】解:如图所示： 　　　　　 例3.如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． 【分析】这实质上是“点到直线的距离”的应用。 【详解】解：如图，线段即为所求． 理由：垂线段最短． 例4.如图，，垂足为，经过点，求、的度数． 【分析】根据垂直定义，对顶角相等，角互余的关系即可求解． 【详解】解：直线交于点， ∴（对顶角相等），且， ∴， ∵，即， ∴，且， ∴． 第二环节 合作探究 1.讨论两条直线垂直的定义，表示方法，如何用几何语言表示？ 2.讨论怎样运用垂直定义进行简单推理？ 3.讨论如何过一点画已知直线的垂线？ 4.讨论垂线段最短和点到直线的距离 拓展提升：1．如图，分别过点P作的两边的垂线． 【详解】解：如图所示，即为所求． 课堂练习：课本练习. 参考答案：1. 2. (1) A0⊥C0, D0⊥BO;(2) AC⊥BC, AC⊥CE,AC⊥BE, DC⊥BC, DC⊥CE,DC⊥BE, DA⊥BC, DA⊥CE,DA⊥BE. 3.在距离起跳线最近的跳远落地点做上标记，以此标记的位置为尺子的零点，将尺子拉直，并使之与起 跳线边缘所在直线垂直，则尺子上表示零点与垂足两点间距离的数字即为跳远成绩。这实质上是“点到直线的距离”这一概念的应用。 1.（2025蒙城检测）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．    【详解】∵，， ∴线段是点B到直线距离的线段； 线段是点A到直线距离的线段； 线段是点C到直线距离的线段； 线段是点A到直线距离的线段； 线段是点B到直线距离的线段； 故答案为：5． 2.（2025淮安检测）直线与直线相交于C，画图：过点P作，垂足为R，交于N． 【详解】解：如图所示，即为所求． 3．（2025包河校检测）如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，求的度数．      【详解】解：， ， ， ， . 知识总结：（1）垂直：相交成90°，记作 ⊥。（2）垂直性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线段最短。（3）点到直线的距离：垂线段的长度。 方法总结：（1）几何学习：观察→画图→归纳→应用。（2）垂直问题：见垂直想90°，见90°可判垂直。（3）实际问题：找垂线段就是找最短距离。 易错提醒：（1）“有且只有”：存在且唯一。（2）垂线段是图形，距离是长度（数值），不能混淆。（3）画垂线要画直线，不是线段或射线。（4）射线/线段的垂线，要先延长再画垂直线。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $