2.1 两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角、余角概念和性质）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

2.1 两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角、余角概念和性质） （导学案） （1）知道同一平面内两条直线的位置关系：相交、平行。理解对顶角、余角、补角的定义，能在图形中正确识别。掌握：对顶角相等；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。能利用概念和性质进行简单角度计算与说理。 （2） 经历观察—操作—猜想—验证—归纳的过程，体会几何研究的一般思路。初步学会用几何语言进行简单表达和推理。 （3）感受几何与生活的联系，培养严谨、规范的学习习惯。 重点:对顶角、余角、补角的概念与性质。 难点：理解余角、补角只与度数和有关，与位置无关；性质的简单推理与规范表达。 第一环节 自主学习 温故知新： 观察生活图片：十字路口、窗框、铁轨等，观察两条直线的位置关系。 【学法指导】 新知自研：自研课本第34-35页的内容 【学法指导】自研课本P34-35页内容， （一）认识两条直线的位置关系 由具体情景讨论两条直线的位置关系： 在 内，不重合的两条直线的位置关系只有两种： 。 (二)对顶角 观察交流： 画两条相交直线AB、CD，交点为O。 1.两条直线相交，形成了哪几个角？ 2.∠1和∠2位置上有什么关系？ 总结归纳： 对顶角定义：两条直线 ，有 ，两边 的两个角叫做对顶角。 3.图中还有其它对顶角吗？ 两条直线相交构成 对顶角. 观察与猜想：对顶角大小有什么关系？ 4.怎样用几何语言表述对顶角性质？ 5.你能说出对顶角相等的理由吗？ （三）余角与补角的概念和性质 复习回顾：如果两个角的和是 90°，那么这两个角叫做 （ ）。 如果两个角的和是180°，那么这两个角叫做 （ ）。 讨论：1.互余、互补是两个角之间的 ；只看 ，不看 。 2.上图中，∠1和∠3是什么关系？讨论讨论。 探究：余角、补角的性质 1.若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2与∠3有什么关系？试讨论后归纳出结论。 2.若∠1=∠4，∠1与∠2互补，∠4与∠3互补，则∠2=∠3有什么关系？试讨论后归纳出结论。 总结补角、余角性质： 的补角相等， 的余角相等。 【自研自探】 自研课本P34-35页内容 典型例题 例1.在下图中，是对顶角的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   例2.如图，直线相交，，求的度数. 例3.如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 第二环节 合作探究 1. 讨论两条直线的位置关系？ 2.讨论什么样的两个角互为对顶角？对顶角有什么性质？如何用几何语言表达对顶角性质？ 3.讨论余角与补角的概念和性质 拓展提升：1．如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 课堂练习：课本随堂练习 1.（2025-2026淮南校考）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 2.（2025七年级上·福建福州·开学考试）下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 3.(2025揭阳统考)如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角. 4.（2025济南校统测）如图，直线相交于点O，平分．若，求的度数． 知识总结：（1）同一平面内两直线位置关系： 。（2）对顶角：有 ，两边 ；对顶角 。（3）互余： °；互补： °。同角（等角）的余角 ；同角（等角）的补角 。 方法总结：（1）几何学习三步：识图→ → 。（2）研究思路：观察→ → → → 。 易错提醒：（1）互余、互补只看 ，不看 。（2）对顶角一定由 形成。（3）不要把“ ”和“ ”当成同一个概念。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角、余角概念和性质） （导学案） （1）知道同一平面内两条直线的位置关系：相交、平行。理解对顶角、余角、补角的定义，能在图形中正确识别。掌握：对顶角相等；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。能利用概念和性质进行简单角度计算与说理。 （2） 经历观察—操作—猜想—验证—归纳的过程，体会几何研究的一般思路。初步学会用几何语言进行简单表达和推理。 （3）感受几何与生活的联系，培养严谨、规范的学习习惯。 重点:对顶角、余角、补角的概念与性质。 难点：理解余角、补角只与度数和有关，与位置无关；性质的简单推理与规范表达。 第一环节 自主学习 温故知新： 观察生活图片：十字路口、窗框、铁轨等，观察两条直线的位置关系。 【学法指导】 新知自研：自研课本第34-35页的内容 【学法指导】自研课本P34-35页内容， （一）认识两条直线的位置关系 由具体情景讨论两条直线的位置关系： 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 (二)对顶角 观察交流： 画两条相交直线AB、CD，交点为O。 1.两条直线相交，形成了哪几个角？ 形成四个角：∠1，∠2，∠3，∠4. 2.∠1和∠2位置上有什么关系？ 它们有一个公共顶点，它们的两边互为反向延长线. 总结归纳： 对顶角定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。 3.图中还有其它对顶角吗？ 有，∠3和∠4. 两条直线相交构成两组对顶角. 观察与猜想：对顶角大小有什么关系？ 对顶角相等。 4.怎样用几何语言表述对顶角性质？ 如上图，∵直线AB、CD相交于点O，∴∠1=∠3，∠2=∠4。 5.你能说出对顶角相等的理由吗？ 因为∠AOB和∠COD都是平角，即∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD，等式两边都减∠COB，得∠AOC=∠BOD。 （三）余角与补角的概念和性质 复习回顾：如果两个角的和是90°，那么这两个角叫做互为余角（互余）。 如果两个角的和是180°，那么这两个角叫做互为补角（互补）。 讨论：1.互余、互补是两个角之间的数量关系；只看度数和，不看位置。 2.上图中，∠1和∠3是什么关系？讨论讨论。 位置上互为邻角，度数上互补，它们称为邻补角。 探究：余角、补角的性质 1.若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2与∠3有什么关系？试讨论后归纳出结论。 同角的补角相等。 2.若∠1=∠4，∠1与∠2互补，∠4与∠3互补，则∠2=∠3有什么关系？试讨论后归纳出结论。 归纳：等角的补角相等。 用同样方法得到余角性质：同角或等角的补角相等。 总结补角、余角性质：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。 【自研自探】 自研课本P34-35页内容 典型例题 例1.在下图中，是对顶角的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【分析】根据对顶角的定义，有一个公共顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解:由对顶角的定义可知：只有选项C符合题意；故选C． 例2.如图，直线相交，，求的度数. 【分析】根据对顶角相等，相邻角互补可以求出． 【详解】解:：由和互为邻角，得 . 由对顶角相等，得，. 例3.如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：， 答：的度数为． 第二环节 合作探究 1. 讨论两条直线的位置关系？ 2.讨论什么样的两个角互为对顶角？对顶角有什么性质？如何用几何语言表达对顶角性质？ 3.讨论余角与补角的概念和性质 拓展提升：1．如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 【详解】解：，， . . . 平分， . 课堂练习：课本随堂练习 参考答案：1.40°，说理的方法不唯一。例如，可以根据对顶角相等说明，也可以根据同角的补角相等说明。 1.（2025-2026淮南校考）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2.（2025七年级上·福建福州·开学考试）下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 【详解】.与是对顶角，故，故符合题意； .且，故不符合题意； .，故不符合题意； .是三角形的外角，所以，故不符合题意． 故选． 3.(2025揭阳统考)如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角. 【详解】（1）解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，由图及题意可知：的邻补角是，；的邻补角是：，； （2）的对顶角是，的对顶角是. 4.（2025济南校统测）如图，直线相交于点O，平分．若，求的度数． 【详解】：∵平分， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 知识总结：（1）同一平面内两直线位置关系：相交、平行。（2）对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线；对顶角相等。（3）互余：两角和为90°；互补：两角和为180°。同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 方法总结：（1）几何学习三步：识图→找关系→用性质。（2）研究思路：观察→猜想→验证→归纳→应用。 易错提醒：（1）互余、互补只看度数和，不看位置。（2）对顶角一定由两条直线相交形成。（3）不要把“补角”和“邻补角”当成同一个概念。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $