专题12 锐角三角函数（2大题型2难点2热点1新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦“锐角三角函数”专题，涵盖求锐角三角函数值和解直角三角形实际应用两大核心题型，包含设未知数表示线段、网格求值等难点，测量楼高/距离（背靠背、母子、拥抱模型）等热点及实物模型新考法，构建完整知识体系。 清单以“题型—难点—热点—新考法”分级呈现，通过母题溯源学方法、变式训练破难点、模拟闯关提能力的三阶设计，培养学生几何直观与空间观念。标注难点01“设未知数表线段”、热点模型应用提示，如“测量楼高用背靠背模型”，助力学生用数学思维推理、用数学语言表达，既方便学生自主复习，也为教师教学提供系统辅助。

专题12 锐角三角函数 （2大题型2难点2热点1新考法，题型清单） 题型一：求锐角三角函数值 难点01： 设未知数表示位置线段长度 难点02： 结合网格求三角函数值 题型二：解直角三角形的实际应用 热点01：测量楼高问题（背靠背、母子、拥抱模型） 热点02：测量距离问题（背靠背、母子、拥抱模型） 新考法01：实物模型问题 题型一：求锐角三角函数值 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】难点01 设未知数表示位置线段长度 （2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】难点02 结合网格求三角函数值 （2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 ． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 6．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 7．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 9．（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1） ，（2）的值为 ． 10．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 11．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，交于点G，交于点F，则 ． 12．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 13．（2025·浙江杭州·三模）如图，为的直径，为上一点，为弧的中点，交的延长线于点． (1)求证：直线为的切线； (2)延长，交于点．若，，求的值． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 15．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 16．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 题型二：解直角三角形的实际应用 1.测量楼高和距离问题 2.实物模型问题 先分析题意，将实物模型抽象成几何图形，并把题中所给的角度和线段长在几何图形中标注，观察图形和所求，考虑用哪种模型求解，进而在对应模型中作辅助线，构造直角三角形.利用三角函数进行求解. 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【变式2-1】热点01：测量楼高问题 （2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【变式2-2】热点02：测量距离问题 （2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【变式2-3】新考法01：实物模型问题 （2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·江苏宿迁·二模）2025年宿迁市中小学生人工智能与机器人大赛于4月29日成功举办，该赛事全方位展现智能时代我市中小学生的创新思维与实践能力．如图，小明也是个科技爱好者，为了测量自家楼栋AB的高度，小明操控一架无人机在距离地面15米的空中飞行，在点处测得楼底的俯角为，楼顶的仰角为．求楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 3．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 4．（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 5．（2025·陕西西安·一模）实验中学校园1号教学楼前有一尊孔子雕像，活动实践课上，小晨所在的兴趣小组准备测量该孔子雕像的高度．测量方法如下：如图，小晨站在雕像前，从处测得雕像顶端的仰角为，小轩站在教学楼门前的台阶上，从处测得雕像顶端的仰角为．已知点在同一条直线上，所有点均在同一平面内，，台阶的高度．请你根据以上信息，求出孔子雕像的高度．（结果保留整数，参考数据：） 6．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 7．（2026·四川遂宁·一模）江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案： 课题 测量桥塔顶到江面的距离AB 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45° 测量说明 点在同一水平直线上，且 均垂直于 参考数据 … … 请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m) 8．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 9．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们测量长城第一墩高度的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 11．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表    时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 12．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 13．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 14．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 15．（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 16．（2026·湖北·模拟预测）如图，受电弓是动车从接触网取得电能的电气设备，已知受电弓的下臂杆，上臂杆，下臂杆与车顶的夹角，上臂杆与下臂杆的夹角． (1)求下臂杆的顶端与车顶的距离； (2)求上臂杆的顶端与车顶的距离参考数据：，，． 17．（2026·河北沧州·一模）如图1是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知． (1)如图2，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离； (2)如图3，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．（参考数据：） 18．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 19．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 20．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 21．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 22．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 23．（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 锐角三角函数 （2大题型2难点2热点1新考法，题型清单） 题型一：求锐角三角函数值 难点01： 设未知数表示位置线段长度 难点02： 结合网格求三角函数值 题型二：解直角三角形的实际应用 热点01：测量楼高问题（背靠背、母子、拥抱模型） 热点02：测量距离问题（背靠背、母子、拥抱模型） 新考法01：实物模型问题 题型一：求锐角三角函数值 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 【变式1-1】难点01 设未知数表示位置线段长度 （2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 【变式1-2】难点02 结合网格求三角函数值 （2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，取格点D，连接， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 4．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 7．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 9．（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1） ，（2）的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为， ∴， 即， ， ∴， 解得，（舍去）， 即； 在中，， 故， ∴． 故答案为：，． 10．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 11．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，交于点G，交于点F，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作于点H，过点A作于点T， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 12．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 13．（2025·浙江杭州·三模）如图，为的直径，为上一点，为弧的中点，交的延长线于点． (1)求证：直线为的切线； (2)延长，交于点．若，，求的值． 【详解】（1）证明：如图，连接，，    ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线为的切线； （2）解：如图，设交于点，设，    由（1）得：，又，则四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ， 在中，， ∴． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 15．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的长； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 题型二：解直角三角形的实际应用 1.测量楼高和距离问题 2.实物模型问题 先分析题意，将实物模型抽象成几何图形，并把题中所给的角度和线段长在几何图形中标注，观察图形和所求，考虑用哪种模型求解，进而在对应模型中作辅助线，构造直角三角形.利用三角函数进行求解. 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵，， ∴， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴仿真树信号塔的高度为20米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴C，D两点之间的距离约为米． 【变式2-1】热点01：测量楼高问题 （2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 【变式2-2】热点02：测量距离问题 （2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 【变式2-3】新考法01：实物模型问题 （2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·江苏宿迁·二模）2025年宿迁市中小学生人工智能与机器人大赛于4月29日成功举办，该赛事全方位展现智能时代我市中小学生的创新思维与实践能力．如图，小明也是个科技爱好者，为了测量自家楼栋AB的高度，小明操控一架无人机在距离地面15米的空中飞行，在点处测得楼底的俯角为，楼顶的仰角为．求楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【详解】解：过点P作于点C，则， 在中，米， ∴米， 在中， ∴米， ∴米， 答：楼的高度为米． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 即云梯底端在水平方向滑动的距离为． 3．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 【详解】解：由题意可得：，，米， ∴， ∵由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为． 5．（2025·陕西西安·一模）实验中学校园1号教学楼前有一尊孔子雕像，活动实践课上，小晨所在的兴趣小组准备测量该孔子雕像的高度．测量方法如下：如图，小晨站在雕像前，从处测得雕像顶端的仰角为，小轩站在教学楼门前的台阶上，从处测得雕像顶端的仰角为．已知点在同一条直线上，所有点均在同一平面内，，台阶的高度．请你根据以上信息，求出孔子雕像的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】孔子雕像的高度约为 【详解】解：过点D作于点F，则四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度约为． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】山高为米 【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，， ∵山坡长为26米，坡度为， ∴设，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：山高为米． 7．（2026·四川遂宁·一模）江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案： 课题 测量桥塔顶到江面的距离AB 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45° 测量说明 点在同一水平直线上，且 均垂直于 参考数据 … … 请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m) 【答案】 【详解】解：由题意，得，， 设，则． ， 在中， ∴ 在中， ，即 解得 ∴主桥塔顶到江面的距离为． 8．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 9．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们测量长城第一墩高度的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】长城第一墩的高度为 【详解】解：由题意，得：，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：长城第一墩的高度为． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 11．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表    时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 【答案】该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为 【详解】解：任务二：由题意得为矩形， ∴，， ∵在中， ∴， ∴， 答：该城市规划展览馆的高度为； 任务三：设打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：， 答：打印模型的高度约为． 12．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 13．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； （2）解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 14．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 15．（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 16．（2026·湖北·模拟预测）如图，受电弓是动车从接触网取得电能的电气设备，已知受电弓的下臂杆，上臂杆，下臂杆与车顶的夹角，上臂杆与下臂杆的夹角． (1)求下臂杆的顶端与车顶的距离； (2)求上臂杆的顶端与车顶的距离参考数据：，，． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在中， ，， ． 答：下臂杆的顶端 与车顶 的距离为． （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为． ， 四边形 为矩形， ，， ， ， 在中， ， ． ． 答：上臂杆的顶端与车顶 的距离约为． 17．（2026·河北沧州·一模）如图1是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知． (1)如图2，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离； (2)如图3，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．（参考数据：） 【详解】（1）解：如图2，过点作于，过点作于， 则， 四边形是矩形， ． 在中，，， ， ， 点到底座的距离为． （2）解：如图3，作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵， ， 四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 18．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 19．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 20．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 21．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 22．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 23．（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 【详解】（1）解：由题意可得：点P与圆O的位置关系是：点P在圆O上， 故答案为：点P在圆O上； （2）解：∵在中， ， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为，扇形的面积； （3）解：连接，过点P作，垂足为D， 由题意得：， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴5秒后，点P到直线的距离是； （4）解：延长交于点C，则点C为最高点， ∵点P在上，且与相切， ∴当点P在上，此时点P是切点， 连接，则， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由知：， ∴， ， ∴， ∴当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，t的值为． 1 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