专题15 与圆的基本性质有关计算（3大题型4难点1新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题15 与圆的基本性质有关计算 （3大题型4难点1新考法，题型清单） 题型一：与圆周角有关计算 难点01：已知圆周角构造圆心角 难点02：已知直径构造90°圆周角 题型二：与垂径定理有关计算 难点03：与圆周角定理及其推论结合考查 新考法01：传统文化情境 题型三：与圆内接四边形有关计算 难点04：构造圆内接四边形，与圆周角定理及其推论结合考查 题型一：与圆周角有关计算 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】难点01：已知圆周角构造圆心角 （2026·山东临沂·模拟预测）如图，为等腰三角形且，，圆O为的外接圆，圆上有一点D，连接，交于点E，点E恰好为边上靠近C的三等分点，已知，则圆O的半径为（   ）（提示： ，） A． B． C． D． 【变式1-2】难点02：已知直径构造90°圆周角 （2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，为的直径，，点D为上一个动点，E为的中点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 7．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则 ． 9．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． 10．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 11．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． (1)求证：平分； (2)若，，求半径的长． 12．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 题型二：与垂径定理有关计算 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】难点03：与圆周角定理及其推论结合考查 （2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【变式2-2】新考法01：传统文化情境 （2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【中考模拟闯关·练提分】 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 4．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为 ． 5．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为 ． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 7．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ． 8．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，为直径，为弦，点C为弧的中点，以点C为切点的切线与的延长线交于点E，连接交于点F，若，，则的长度为 ；的长度为 9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 10．（2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为 ． 11．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，点是劣弧的中点，连接，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 12．（2026·安徽·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4） 如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 题型三：与圆内接四边形有关计算 圆内接四边形的性质 性质1:圆内接四边形的对角互补; 性质2:任意一个外角等于它的内对角 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】难点04：构造圆内接四边形，与圆周角定理及其推论结合考查 （2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山西运城·一模）如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是 . 6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则 ． 7．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，的半径为5，圆周角，则劣弧的长为 ． 9．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为 ． 11．（2025·广东深圳·二模）如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 12．（2025·河南濮阳·一模）如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为 ，最小值为 ． 13．（2025·陕西榆林·一模）问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 14．（2026·江苏苏州·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15与圆的基本性质有关计算 (3大题型4难点1新考法，题型清单) 01 题型盘点·中考全景扫描 题型一：与圆周角有关计算 题型三：与圆内接四边形有关计算 难点01：已知圆周角构造圆心角 难点04：构造圆内接四边形，与圆周角定理 难点02：已知直径构造90°圆周角 及其推论结合考查 题型二：与垂径定理有关计算 难点03：与圆周角定理及其推论结合考查 新考法01：传统文化情境 02 题型突破·解题技巧攻坚 题型一：与圆周角有关计算 解题大招火 常见 B 0 形式 根据直径所对利用同弧或等弧 找到同弧所对的圆周角和圆心角，通过其角度的 方法 的圆周角是90°所对的圆周角相 关系进行计算 进行计算 等进行计算 结论 ∠ACB=5A0B ∠ACB=90° ∠ACB=∠ADB 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】(2025四川中考真题)如图，点A,B,C在⊙0上，若∠0=64°，则∠A=() 1 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.16° B.32° C.48° D.64° 【答案】B 【详解】解：：∠0=64°， .∠A=5∠0=320 故选：B. 【变式1-1】难点01：已知圆周角构造圆心角 (2026-山东临沂模拟预测)如图，△ABC为等腰三角形且AB=AC,∠A=30°，圆0为△ABC的外接圆， 圆上有一点D,连接BD,交AC于点E,点E恰好为AC边上靠近C的三等分点，已知BEED=32,则圆 0的半径为()（提示： sm15°-6,5cos15-6+5, 4, 4,tan15=2-V3 E A.4V6-4W2 B.6V6-6V2 c.46+4V2 D.6V6+6V2 【答案】B 【详解】解：连接OB.OC.CD,过点O作OF⊥AC于点F, 2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B ∠A=30°， ∠D=∠A=30°，∠B0C=2∠A=60°， 又：∠AEB=∠DEC, ∴△AEBP△DEC, AE BE DECE' ∴，AECE=BEDE, .BE ED=32, .AE-CE=32, :点E恰好为AC边上靠近C的三等分点， .AE =2CE, 设AE=2x,CE=x,则2x2=32 解得：x=4或x=-4(舍去)， ∴，AC=AE+CE=2x+x=12, OF⊥AC, :CF=)4C=6: 2 :OB=OC,∠BOC=60°， ∴△OBC为等边三角形， :.∠0CB=60°， .AB=AC, ∠4CB=∠ABc=180,∠4=75 2 ∠OCA=∠ACB-∠OCB=15°， CF 6 6 cos∠00F=c0s15°=V6+V2 OC= =6W6-6√2 3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √6-6√2 圆0的半径为 故选：B, 【变式1-2】难点02：已知直径构造90°圆周角 (2025江苏无锡中考真题)如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD=CA,DB的延 长线交⊙0于点E. E 0 (1)求证：AB=BD: 2)若B=3,cos∠ABE= ,求AD的长. 【详解】(1)证明：如图，连接BC, E 是 的直径， D:AB⊙O ∠ACB=90°， BC⊥AD, 又CD=CA, ∴.BC垂直平分AD, :AB=BD (2)解：如图，连接AE, E 是 的直径， D:AB⊙O ∴.∠AEB=90° os∠ABE=BE=BE-I AB33 .BE=1, 4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE2=AB2-BE2=32-12=8, 由(1)得AB=BD=3, .DE=BD+BE=3+1=4, .AD=AE2+DE2=8+4=26 【中考模拟闯关·练提分】 1.(2025四川巴中：中考真题)如图，A、B、C是⊙0上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点 D,使AD=AC,连接CD,则∠ACD为() D C A.70° B.50° C.45 D.40° 【答案】C 【详解】解：BC是圆的直径， ∠BAC=90°， .∠CAD=90°， AD=AC, ∠D=∠4CD=180°-∠CAD=450 2 故选：C 2.(2025山西中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙0上位于AB异侧的两点，连接 AD、CD.若AC=BC,则∠D的度数为() D B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【详解】解：连接AC、BC, D B AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°， ..AC=BC .∠CAB=∠CBA=45°， ∠D=∠CBA=45°， 故选：B. 3.(2026广西贵港一模)如图，O0的直径MB垂直于弦CD,垂足是E,已知 4=22.5°，0C=2√2 则CD的长为() 3√2 B.4 C.4v2 D.3 【答案】B 【详解】解：：BC所对圆周角为∠A=22.5°，所对圆心角为∠BOC, .∠B0C=2∠A=45°， AB⊥CD, 六∠CE0=90°， CE=DE-CD 2 :∠0CE=90°-∠B0C=45°， 6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0E-cE-20c-5x22-2 ∴△OCE是等腰直角三角形， 2 2 .CD=2CE=4, 故选：B 4.(2025·甘肃平凉中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC,连接BD,若∠ABC=70°， 则∠BDC的度数为() A.20° B.35° C.55° D.70° 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O, ∴，∠ABC+∠ADC=180°， ∠ABC=70°， ∴∠ADC=180°-70°=110°， .AB=BC, .AB=BC ∠ADC=∠BDC, :∠BDC=110°x)=55°， 2 故选：C 5.(25-26九年级上安徽马鞍山期末)如图，AB为⊙0的直径，AC=4,点D为⊙0上一个动点，E为 AD的中点，∠ABC=30°，则CE的最小值为() B > 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 8.2V3 c.25-2 .3-1 【答案】A 【详解】解：如图，连接OE、OC, ∴.CE≥OC-OE, 当点O、C、E共线时，CE的值最小， E为AD的中点， .OE⊥AD, :AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°， :∠ABC=30°， 点.∠BAC=60°， 0A=0C, ∴△OAC为等边三角形， :.OA=0C=AC=4, ∴点E为OC的中点时，CE的值最小 “CE的最小值为20C=2 故选：A. 6.(2025江苏宿迁中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D在边AB上，过 CD 点A作AE⊥CD,垂足为点E,则DE的最小值是一 B E D 8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1 【详解】解：，AE⊥CD ∴.∠AEC=90% 1 点E在以4C中点为圆心，24C长为半径的半圆上， 如图，此时CD>DE B D .'∠ACB=90° B.D C,E 当 重合时， 重合， B(D) C(E) CD 此时CD=DE' 则DE =1 CD “DE的最小值是1 故答案为：1. 7.(2025江苏常州中考真题)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦.若∠DCB=45°，AD=1,则 AB= 0 B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】V吃 【详解】解：：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， :∠DCB与∠DAB对应同一段弧BD, .∠DCB=∠DAB=45°， .∠ABD=90°-∠DAB=45°， .BD=AD=1, 4B=VAD+BD=2 √2 故答案为： 8.(2025辽宁抚顺：一模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB∥OC,∠D=20°，则∠A0C=一· B 【答案】140° 【详解】解：连接OB, B D ∠BDC=20°， ∠B0C=2×20°=40°， :AB∥OC, ∠AB0=∠BOC=40°， .OA=OB ∠A=∠AB0=40°， 1