第8章 四边形 章节复习（13知识详解+58典例分析）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第8章 四边形 章节（13知识详解+58典例分析） 【知识点01】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 左图中的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”，读作“平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 ”. 1. 表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母； 2. “▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用. 2.平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 𝐴𝐵与𝐷𝐶，𝐴𝐷与𝐵𝐶互为对边；𝐴𝐷和𝐴𝐵 ，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶和𝐴𝐵 互为邻边. 角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐵𝐶𝐷 互为对角；∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶 与∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐷与∠𝐴𝐵𝐶 互为邻角. 对角线 线段𝐴𝐶和𝐵𝐷 . 【知识点02】平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 . 角 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴∠𝐴=∠𝐶 ,∠𝐵=∠𝐷 . 对角线 平行四边形的对角线相平分. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 . 对称性 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点𝑂 是▱𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称中心. 【知识点03】平行四边形的判定方法 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行考虑,具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义法） ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （2）判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （3）判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐶 ，∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 对角线 （4）判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 【知识点04】矩形的定义及其性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 示例1 矩形与平行四边形的关系 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（如下表）. 性质 符号语言 图示 角 矩形的四个角都是直角. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形， ∴ ∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷=90° . 对角线 矩形的对角线相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形, ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷 . 对称性 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴. 直线， 是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴. 【知识点05】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）. 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵∠𝐴𝐵𝐶=90∘，  ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形. 角 三个角是直角的四边形是矩形（判定定理1）. 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=90° ，∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理2）. 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐶=𝐵𝐷 ， ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形. 【知识点06】两条平行线之间的距离 1.两条平行线之间的距离： 两条行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示意图 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度. 联系 都是指某一条线段的长度. （注意：距离是数值） 2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等. 一般性结论:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 符号语言：如图所示，A，C是直线上任意两点， ∵// ，AB⊥，CD⊥，∴AB=CD . 【知识点07】菱形的定义及其性质 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 示例2 菱形与平行四边形的关系 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质,总结如下表. 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形, ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 . 对角线 菱形的对角线互相垂直.（性质定理） ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形, ∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 . 对称性 菱形是中心称图形，也是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 符号语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积= 底×高. 菱形的面积公式 菱形的对角线互相垂直. 菱形的面积= 对角线长的乘积的一半. 【知识点08】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（定义法） 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶 ， ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形. 四边相等的四边形是菱形.（判定定理） 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，∴  四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（判定定理） 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ， ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形. 【知识点09】正方形的定义及判定 1.正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形.换言之，既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 2.正方形的判定 判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.（从矩形出发） 有一个角是直角的菱形是正方形.（从菱形出发） 要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.因此除了正方形的判定定理，还可以“先判定矩形，再判定对角线互相垂直”或“先判定菱形，再判定对角线相等”等来判定正方形. 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【知识点10】正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的所有性质.总结如下表： 性质 符号语言 图示 边 正方形的四条边都相等. （性质定理） ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶 . 角 正方形的四个角都是直角. （性质定理） ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=90°. 对角线 正方形的对角线相等且互相垂直平分.（性质定理） ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=45∘  . 对称性 正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，过每组对边中点的两条直线及两条对角线所在的直线是它的对称轴. 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷，𝑚，𝑛 均是正方形的对称轴. 辨析：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 特性 轴对称图形 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 【知识点11】三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶 ，且𝐷𝐸=12𝐵𝐶 . 应用 （1）位置关系：证明两条直线平行.（2）数量关系：证明线段相等或倍分. 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 __________________（注意：一个三角形有三条中位线） 符号语言 ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐷𝐸 ，𝐸𝐹，𝐹𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐴𝐷 ，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 面积上： 三角形的中位线 三角形的中线 区别 周长上： 区别 【知识点12】梯形的概念 1.梯形的相关概念 定义 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 图示 相关概念 上底 互相平行的一组对边中，较短的边叫作梯形的上底. 下底 互相平行的一组对边中，较长的边叫作梯形的下底. 2.特殊的梯形 定义 符号语言 图示 等腰梯形 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果𝐴𝐵=𝐶𝐷 ，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是等腰梯形. 直角梯形 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果∠𝐵=90°，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是直角梯形. 【知识点13】梯形、三角形、平行四边形之间的关系 梯形、三角形、平行四边形之间的关系 【题型一】数图形中平行四边形的个数 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【题型二】利用平行四边形的性质求解 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【题型三】利用平行四边形的性质证明 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是的面积为，下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则； ③如果点在对角线上，则； ④若，则点一定在对角线上． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型四】平行四边形性质的其他应用 4．（22-23八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，请用两种方法作出边的中线．（尺规作图，保留痕迹）    【题型五】证明四边形是平行四边形 5．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【题型六】判断能否构成平行四边形 6．（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【题型七】添一个条件成为平行四边形 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【题型八】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 8．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型九】全等三角形拼平行四边形问题 9．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【题型十】利用平行四边形的判定与性质求解 10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【题型十一】平行四边形性质和判定的应用 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 【题型十二】矩形性质理解 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“任意画一个矩形，它的对角线相等”是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【题型十三】利用矩形的性质求角度 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则 ． 【题型十四】根据矩形的性质求线段长 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，分别是的中点，连接，则的长为 ． 【题型十五】根据矩形的性质求面积 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【题型十六】利用矩形的性质证明 16．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【题型十七】求矩形在坐标系中的坐标 17．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝ ． 【题型十八】矩形与折叠问题 18．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【题型十九】矩形的判定定理理解 19．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【题型二十】证明四边形是矩形 20．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）若矩形四边中点围成图形的面积是，则该矩形的面积为 ． 【题型二十一】添一条件使四边形是矩形 21．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是 ． 【题型二十二】根据矩形的性质与判定求角度 22．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，在正方形中，，则等于（　　）    A．45° B．55° C．65° D．75° 【题型二十三】根据矩形的性质与判定求线段长 23．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【题型二十四】根据矩形的性质与判定求面积 24．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【题型二十五】利用平行线间距离解决问题 25．（22-23八年级下·江苏南京·月考）如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点、、、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是 ． 【题型二十六】利用菱形的性质求角度 26．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则 ． 【题型二十七】利用菱形的性质求线段长 27．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则 ． 【题型二十八】利用菱形的性质求面积 28．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型二十九】利用菱形的性质证明 29．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件中是必然事件的为（   ） A．袋子中有黄球和白球，摸出一个球为黑球 B．明天会下雪 C．菱形对角线相等 D．367个同学中至少有两个同学生日是同一天 【题型三十】证明四边形是菱形 30．四边相等的四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定 【题型三十一】添一个条件使四边形是菱形 31．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型三十二】根据菱形的性质与判定求角度 32．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【题型三十三】根据菱形的性质与判定求线段长 33．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 【题型三十四】根据菱形的性质与判定求面积 34．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，是边的中点，连接交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【题型三十五】正方形性质理解 35．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 【题型三十六】根据正方形的性质求角度 36．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M． (1)求的度数； (2)当时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 【题型三十七】根据正方形的性质求线段长 37．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，平面内三点A、B、C，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ． 【题型三十八】根据正方形的性质求面积 38．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）已知正方形的对角线长为6，则它的面积为 ． 【题型三十九】正方形折叠问题 39．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么与相等吗？分别过点、作、，垂足分别为、，通过证明，得到． 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题． 【探究1】 如图2，在正方形中，点在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形中，点、分别在、上，将正方形沿着翻折，点、分别落在、处，且经过点，将纸片展开，延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【题型四十】求正方形重叠部分面积 40．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【题型四十一】根据正方形的性质证明 41．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F、G，连接、，与交于点H，则下列结论中①；②是等腰直角三角形；③；④平分；⑤．正确个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型四十二】正方形的判定定理理解 42．能判别一个四边形是正方形的条件是（　　） A．对角线相等，对边平行且相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．一组邻边相等，对角线互相平分 【题型四十三】证明四边形是正方形 43．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在如图正方形网格中，有格点，请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解题： (1)画出将绕点顺时针旋转后的三角形； (2)画出关于点成中心对称的（其中点、、的对应点分别为点、、）； (3)若连接、，则四边形的形状是________． 【题型四十四】添一个条件使四边形是正方形 44．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 【题型四十五】根据正方形的性质与判定证明 45．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数． 【题型四十六】根据正方形的性质与判定求角度 46．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【题型四十七】根据正方形的性质与判定求线段长 47．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（   ） A． B．3 C． D．4 【题型四十八】根据正方形的性质与判定求面积 48．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【题型四十九】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 49．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【题型五十】（特殊）平行四边形的动点问题 50．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【题型五十一】四边形中的线段最值问题 51．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【题型五十二】四边形其他综合问题 52．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【题型五十三】与三角形中位线有关的求解问题 53．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为 ． 【题型五十四】与三角形中位线有关的证明 54．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，锐角三角形中，（），，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，求证：四边形是等腰梯形． 【题型五十五】三角形中位线的实际应用 55．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某城市规划局计划在一片矩形空地上建造一座纪念广场．为了增强广场的稳定性和美观性，设计师提出在矩形四边中点设置四根立柱，并用钢梁将这些立柱连接成一个四边形框架，工程师通过无人机测绘发现，原始矩形地块的对角线长度为150米．若用铝合金材料制作框架，每米造价为800元，问框架总预算至少需要多少万元（    ） A．24万元 B．30万元 C．48万元 D．60万元 【题型五十六】直角梯形的定义 56．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ． 【题型五十七】等腰梯形的性质定理 57．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，于点，于点，，，．点分别在线段上，顺次连接，线段、、、所围成的封闭图形记为，若点在线段上运动时，点也随之在线段上运动，使图形的形状发生改变，但面积始终为，设． (1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，为三角形？ (3)求出线段在运动过程中所扫过的区域的面积． 【题型五十八】等腰梯形的判定定理 58．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 章节（13知识详解+58典例分析） 【知识点01】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 左图中的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”，读作“平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 ”. 1. 表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母； 2. “▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用. 2.平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 𝐴𝐵与𝐷𝐶，𝐴𝐷与𝐵𝐶互为对边；𝐴𝐷和𝐴𝐵 ，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶和𝐴𝐵 互为邻边. 角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐵𝐶𝐷 互为对角；∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶 与∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐷与∠𝐴𝐵𝐶 互为邻角. 对角线 线段𝐴𝐶和𝐵𝐷 . 【知识点02】平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 . 角 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴∠𝐴=∠𝐶 ,∠𝐵=∠𝐷 . 对角线 平行四边形的对角线相平分. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 . 对称性 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点𝑂 是▱𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称中心. 【知识点03】平行四边形的判定方法 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行考虑,具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义法） ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （2）判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （3）判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐶 ，∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 对角线 （4）判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 【知识点04】矩形的定义及其性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 示例1 矩形与平行四边形的关系 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（如下表）. 性质 符号语言 图示 角 矩形的四个角都是直角. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形， ∴ ∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷=90° . 对角线 矩形的对角线相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形, ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷 . 对称性 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴. 直线， 是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴. 【知识点05】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）. 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵∠𝐴𝐵𝐶=90∘，  ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形. 角 三个角是直角的四边形是矩形（判定定理1）. 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=90° ，∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理2）. 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐶=𝐵𝐷 ， ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形. 【知识点06】两条平行线之间的距离 1.两条平行线之间的距离： 两条行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示意图 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度. 联系 都是指某一条线段的长度. （注意：距离是数值） 2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等. 一般性结论:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 符号语言：如图所示，A，C是直线上任意两点， ∵// ，AB⊥，CD⊥，∴AB=CD . 【知识点07】菱形的定义及其性质 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 示例2 菱形与平行四边形的关系 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质,总结如下表. 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形, ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 . 对角线 菱形的对角线互相垂直.（性质定理） ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形, ∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 . 对称性 菱形是中心称图形，也是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 符号语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积= 底×高. 菱形的面积公式 菱形的对角线互相垂直. 菱形的面积= 对角线长的乘积的一半. 【知识点08】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（定义法） 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶 ， ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形. 四边相等的四边形是菱形.（判定定理） 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，∴  四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（判定定理） 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ， ∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形. 【知识点09】正方形的定义及判定 1.正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形.换言之，既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 2.正方形的判定 判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.（从矩形出发） 有一个角是直角的菱形是正方形.（从菱形出发） 要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.因此除了正方形的判定定理，还可以“先判定矩形，再判定对角线互相垂直”或“先判定菱形，再判定对角线相等”等来判定正方形. 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【知识点10】正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的所有性质.总结如下表： 性质 符号语言 图示 边 正方形的四条边都相等. （性质定理） ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶 . 角 正方形的四个角都是直角. （性质定理） ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=90°. 对角线 正方形的对角线相等且互相垂直平分.（性质定理） ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=45∘  . 对称性 正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，过每组对边中点的两条直线及两条对角线所在的直线是它的对称轴. 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷，𝑚，𝑛 均是正方形的对称轴. 辨析：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 特性 轴对称图形 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 【知识点11】三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶 ，且𝐷𝐸=12𝐵𝐶 . 应用 （1）位置关系：证明两条直线平行.（2）数量关系：证明线段相等或倍分. 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 __________________（注意：一个三角形有三条中位线） 符号语言 ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐷𝐸 ，𝐸𝐹，𝐹𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐴𝐷 ，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 面积上： 三角形的中位线 三角形的中线 区别 周长上： 区别 【知识点12】梯形的概念 1.梯形的相关概念 定义 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 图示 相关概念 上底 互相平行的一组对边中，较短的边叫作梯形的上底. 下底 互相平行的一组对边中，较长的边叫作梯形的下底. 2.特殊的梯形 定义 符号语言 图示 等腰梯形 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果𝐴𝐵=𝐶𝐷 ，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是等腰梯形. 直角梯形 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果∠𝐵=90°，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是直角梯形. 【知识点13】梯形、三角形、平行四边形之间的关系 梯形、三角形、平行四边形之间的关系 【题型一】数图形中平行四边形的个数 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 【题型二】利用平行四边形的性质求解 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 【题型三】利用平行四边形的性质证明 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是的面积为，下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则； ③如果点在对角线上，则； ④若，则点一定在对角线上． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，掌握平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键． 根据平行四边形的性质得，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断③；最后根据已证关系式，得出，判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 设点到，，，的距离分别是，，，，点到的距离分别为， 则，，，． ， ，故①正确； 根据， 能得出，故②正确； 点在对角线上， ， ， ，故③正确； 由和，得， ， 点一定在对角线在上，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【题型四】平行四边形性质的其他应用 4．（22-23八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，请用两种方法作出边的中线．（尺规作图，保留痕迹）    【答案】见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、作垂线(尺规作图)、平行四边形性质的其他应用 【分析】作的垂直平分线得到的中点，从而得到中线；分别以、为圆心，、为半径画弧得到平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到中线． 【详解】解：如图1，如图2，为所作．    【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【题型五】证明四边形是平行四边形 5．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 【题型六】判断能否构成平行四边形 6．（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 【题型七】添一个条件成为平行四边形 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【答案】①④ 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴无法得出四边形是平行四边形，故②不正确； ③∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． 【题型八】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 8．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 【题型九】全等三角形拼平行四边形问题 9．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 【题型十】利用平行四边形的判定与性质求解 10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【题型十一】平行四边形性质和判定的应用 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 【答案】（1）图见解析，的面积为3．（2）① 图见解析；② 7 （3） 【知识点】利用网格求三角形面积、平行四边形性质和判定的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，分割法求几何图形面积，熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点，画出 ，利用分割法即可求解的面积； （2）① 根据平行四边形的面积公式，构造底边为5，高为1的平行四边形即可，② 通过取不同的格点，结合利用割补法，图象的翻转，即可找到所有满足条件的平行四边形； （3）通过构造小矩形长为，宽为的矩形网格图，然后取格点，使得，，，再利用割补法即可求解； 【详解】解：（1）取格点，画出 ，如图所示， ， 故的面积为3． （2）① 取格点，依次连接M、N、P、Q，构成平行四边形， 平行四边形的底边为5，高为1， 平行四边形的面积为5. ② 这样的平行四边形共有7个，除了第①中的平行四边形外，还有以下6种情况， ， ， ， ． （3）在备用图中，设矩形网格图中，小矩形长为，宽为，取格点，如图所示， ，，， 符合题意， 的面积为：， 的面积． 【题型十二】矩形性质理解 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“任意画一个矩形，它的对角线相等”是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】必然 【知识点】事件的分类、矩形性质理解 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解题的关键是掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据矩形的性质、必然事件的概念解答即可． 【详解】解：矩形的对角线相等， “任意画一个矩形，它的对角线相等”是必然事件． 故答案为：必然． 【题型十三】利用矩形的性质求角度 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则 ． 【答案】32 【知识点】利用矩形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由四边形内角和定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，将矩形绕点C顺时针旋转到矩形， ，， ∵，， ， ， ， 故答案为∶32． 【题型十四】根据矩形的性质求线段长 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】6.5// 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，在和中，分别使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 在矩形中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【题型十五】根据矩形的性质求面积 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键． （1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框” ∴； 故答案为： （2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为：1 （3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为； 当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为或． 【题型十六】利用矩形的性质证明 16．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明 【分析】（1）由矩形的性质可得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由线段垂直平分线的性质可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴D在的垂直平分线， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线， ∴垂直且平分. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【题型十七】求矩形在坐标系中的坐标 17．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝ ． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长． 【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3）， ∴OB= ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 【题型十八】矩形与折叠问题 18．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，，，E为边的中点， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，点D的对应点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 【题型十九】矩形的判定定理理解 19．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【答案】(1)四个角都是直角的四边形是矩形 (2)见解析 【知识点】矩形的判定定理理解、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，尺规作图，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理结合作图方法即可得到答案； （2）如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）； （2）解：如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【题型二十】证明四边形是矩形 20．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）若矩形四边中点围成图形的面积是，则该矩形的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解答的关键．先画图，根据矩形的判定与性质得到，，，，，根据三角形的面积和矩形的面积求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵G、E分别为、的中点， ∴，， ∴，又，， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理，，， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴， 则矩形的面积为， 故答案为：． 【题型二十一】添一条件使四边形是矩形 21．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】轴对称图形的识别、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型二十二】根据矩形的性质与判定求角度 22．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，在正方形中，，则等于（　　）    A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求角度、根据矩形的性质与判定求角度、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】作于F，证明，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：作于F，    又四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【题型二十三】根据矩形的性质与判定求线段长 23．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 【题型二十四】根据矩形的性质与判定求面积 24．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 【题型二十五】利用平行线间距离解决问题 25．（22-23八年级下·江苏南京·月考）如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点、、、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是 ． 【答案】5 【知识点】正方形性质理解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行线间距离解决问题 【分析】过作，交于点，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据正方形的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的面积公式，结合二次根式的性质计算即可． 【详解】解：过作，交于点，交于点， ，， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了平行线之间距离、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【题型二十六】利用菱形的性质求角度 26．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则 ． 【答案】64 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 【题型二十七】利用菱形的性质求线段长 27．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则 ． 【答案】1 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】由菱形的性质可得，可证和是等边三角形，可得，可证≌，可得，由勾股定理列出方程组，即可求解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形，， ， 和是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ≌， ， 设， 是等边三角形，点E为CD中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【题型二十八】利用菱形的性质求面积 28．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 【题型二十九】利用菱形的性质证明 29．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件中是必然事件的为（   ） A．袋子中有黄球和白球，摸出一个球为黑球 B．明天会下雪 C．菱形对角线相等 D．367个同学中至少有两个同学生日是同一天 【答案】D 【知识点】事件的分类、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然发生的事件．逐一分析各选项是否符合必然事件的定义． 【详解】解：A、袋子中只有黄球和白球，摸出黑球为不可能事件，不符合题意． B、明天下雪受天气条件影响，属于随机事件，不符合题意． C、菱形的对角线相等是不可能事件，不符合题意． D、一年最多有366天，367个同学中必有两人生日在同一天，属于必然事件． 故选D． 【题型三十】证明四边形是菱形 30．四边相等的四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查的是菱形的判定，根据菱形的判定方法可得答案. 【详解】解：四边相等的四边形一定是菱形. 故选：B 【题型三十一】添一个条件使四边形是菱形 31．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 【题型三十二】根据菱形的性质与判定求角度 32．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型三十三】根据菱形的性质与判定求线段长 33．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 【题型三十四】根据菱形的性质与判定求面积 34．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，是边的中点，连接交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)156 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明，进而由勾股定理得，再利用菱形的性质与判定得，然后由菱形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边的中点， ， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； ， ， 即四边形的面积为156． 【题型三十五】正方形性质理解 35．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 【答案】80 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形的性质是解题的关键．过点D作交延长线于点M，过点F作点N，由正方形的性质可证得可得，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，进而求得,最后求面积即可解答． 【详解】解：过点D作交延长线于点M，过点F作点N，如图所示：    ∵直角三角形，四边形为正方形，过点C作的垂线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形的面积为：． 故答案为：80． 【题型三十六】根据正方形的性质求角度 36．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M． (1)求的度数； (2)当时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)3 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，证明可得，再证明，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）证明可得，再根据即可解答； （3）由中点的定义可得，设，则，可得，、，如图：连接，利用勾股定理可算得，进而可求得即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中． ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵M是的中点， ∴， 设，则，， 由（2）同理可得， ∴， ∴， ∴， 如图：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型三十七】根据正方形的性质求线段长 37．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，平面内三点A、B、C，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的旋转，三角形的三边关系，解题关键是手拉手模型的构建． 将绕点顺时针旋转，得是等腰直角三角形，当最大时，值最大，在中，，得最大值为，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，点A落在点M处，得到△CDM， ∴，，， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，值最大， ∵， ， 最大值为， 最大值为， 故答案为：． 【题型三十八】根据正方形的性质求面积 38．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）已知正方形的对角线长为6，则它的面积为 ． 【答案】18 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查正方形的性质．根据正方形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：正方形的对角线长为6， 它的面积． 故答案为：18． 【题型三十九】正方形折叠问题 39．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么与相等吗？分别过点、作、，垂足分别为、，通过证明，得到． 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题． 【探究1】 如图2，在正方形中，点在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形中，点、分别在、上，将正方形沿着翻折，点、分别落在、处，且经过点，将纸片展开，延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】[探究1]见解析；[探究2]（1）见解析；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： [探究1]以为圆心，为半径画弧，交于，连接即可； [探究2]（1）利用翻折的性质和证明，然后利用全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过F作于N，可得四边形是矩形，得出，，，，利用翻折的性质，等边对等角以及外角的性质可得，进而得出，从而得出，类似材料中的思路可证得，得出，即可得出答案． 【详解】[探究1]解：如图，即为所求，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由作图知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； [探究2]（1）证明：∵翻折， ∴，， 又， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，过F作于N，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， ∵翻折， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴． 【题型四十】求正方形重叠部分面积 40．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【知识点】求正方形重叠部分面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【题型四十一】根据正方形的性质证明 41．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F、G，连接、，与交于点H，则下列结论中①；②是等腰直角三角形；③；④平分；⑤．正确个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】由正方形性质证明，从而可判断①；再证明，可证明为等腰直角三角形，所以，，即平分，从而可判断②④；设交于点，连接，由知，，由为等腰直角三角形知，证明，可得，，从而为等腰直角三角形，故得，在中，由勾股定理可得，即，可判断⑤；结合全等三角形的性质以及勾股定理，进行列式化简，即可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①符合题意 ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形， 故②符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④符合题意； 设交于点，连接，如图所示， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，故⑤符合题意； ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ 则 即； 故③符合题意； 综上，正确的序号为①②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 【题型四十二】正方形的判定定理理解 42．能判别一个四边形是正方形的条件是（　　） A．对角线相等，对边平行且相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．一组邻边相等，对角线互相平分 【答案】C 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定，判断一个四边形是不是正方形，先判定它是平行四边形，再判定既是矩形也是菱形即可． 【详解】解：A选项中对边平行且相等，可得其为平行四边形，又对角线相等，可得其为矩形，但不一定是正方形，故A不符合题意； B选项中只能判定是平行四边形，故B不符合题意；； C选项对角线互相平分是平行四边形，平行四边形的对角线相等是矩形，平行四边形的对角线互相垂直是菱形，故四边形为正方形，故C符合题意； D选项对角线互相平分是平行四边形，，平行四边形的一组邻边相等是菱形，但不一定是正方形，故D不符合题意． 故选：C． 【题型四十三】证明四边形是正方形 43．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在如图正方形网格中，有格点，请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解题： (1)画出将绕点顺时针旋转后的三角形； (2)画出关于点成中心对称的（其中点、、的对应点分别为点、、）； (3)若连接、，则四边形的形状是________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)正方形 【知识点】证明四边形是正方形、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】（1）将的顶点绕点顺时针旋转后，连线即可得到； （2）作的三个顶点、、关于点成中心对称的点、、，连线即可得到； （3）由网格中四边形的四条边均为三个小正方形（或）构成的长方形的对角线长，数形结合即可判定． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：如图所示： 如图所示，， 四边形是菱形， 如图所示，， 四边形是正方形， 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及旋转作图、作中心对称图形、网格中求线段长及正方形的判定等知识，掌握旋转作图、作中心对称图形是解决问题的关键． 【题型四十四】添一个条件使四边形是正方形 44．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】此题主要考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定定理即可得出结论． 【详解】四边形是矩形， 添加一个条件：， 四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四十五】根据正方形的性质与判定证明 45．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答； （3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：如图，连接， ， ， 根据（1）中可得， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 则， 在中，， 即可得， 解得， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， 点是的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 【题型四十六】根据正方形的性质与判定求角度 46．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、根据正方形的性质证明、证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【题型四十七】根据正方形的性质与判定求线段长 47．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则，即可解答． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， ∴． 故选A． 【题型四十八】根据正方形的性质与判定求面积 48．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键． 根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， ， 四边形是菱形， ， ，即， 四边形是正方形， ，， ∴设，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积是． 故选：B． 【题型四十九】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 49．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【题型五十】（特殊）平行四边形的动点问题 50．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)20 (2)或 (3)当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）过点D作交于点E，证出四边形为矩形，得出，，根据勾股定理即可求出． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，分为当点P在上运动，即时，运用求解，和当点P在上运动，即时，运用即可求解； （3）分为①当时，②当时，③当时，④当时，分别画图求解即可计算； 【详解】（1）解：过点D作交于点E， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图1，当点P在上运动，即时， 则， ； 如图2，当点P在上运动，即时， 则， ； 综上，或； （3）如图，①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形为平行四边形； ③当时，四边形是平行四边形， ， 此时； ④当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中考常考题． 【题型五十一】四边形中的线段最值问题 51．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】四边形中的线段最值问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，     四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 【题型五十二】四边形其他综合问题 52．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②8；（2）；（3） 【知识点】四边形其他综合问题、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用30°直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴，即， ∴最小值为 【题型五十三】与三角形中位线有关的求解问题 53．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为 ． 【答案】12 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；连接，交于点O，先证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，得，然后由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵菱形的边长为10， ∴，， ∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 【题型五十四】与三角形中位线有关的证明 54．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，锐角三角形中，（），，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查学生对三角形中位线定理及等腰梯形的判定的理解及运用能力．已知E、D、F分别是各边的中点，根据三角形中位线定理可得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可推出，从而不难推出四边形是等腰梯形． 【详解】解：∵E、D、F分别是各边的中点． ∴， ，， ． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，垂足为H，F是的中点． ∴． ∴． ∵． ∴四边形是等腰梯形． 【题型五十五】三角形中位线的实际应用 55．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某城市规划局计划在一片矩形空地上建造一座纪念广场．为了增强广场的稳定性和美观性，设计师提出在矩形四边中点设置四根立柱，并用钢梁将这些立柱连接成一个四边形框架，工程师通过无人机测绘发现，原始矩形地块的对角线长度为150米．若用铝合金材料制作框架，每米造价为800元，问框架总预算至少需要多少万元（    ） A．24万元 B．30万元 C．48万元 D．60万元 【答案】A 【知识点】三角形中位线的实际应用、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查的是中点四边形，连接矩形四边中点形成的四边形是一个菱形，根据三角形中位线分别求出框架的各边长，进而求出框架的周长，计算即可． 【详解】解：如图， ∵E、F、G、H分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴（米）， ∴框架的周长为米， ∵铝合金框架总长度为300米，每米造价800元， ∴总费用为元，即24万元， 因此，框架总预算至少需要24万元， 故选：A． 【题型五十六】直角梯形的定义 56．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、直角梯形的定义 【分析】根据平移的性质可得，再根据梯形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 【详解】解：由平移的性质得，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【题型五十七】等腰梯形的性质定理 57．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，于点，于点，，，．点分别在线段上，顺次连接，线段、、、所围成的封闭图形记为，若点在线段上运动时，点也随之在线段上运动，使图形的形状发生改变，但面积始终为，设． (1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，为三角形？ (3)求出线段在运动过程中所扫过的区域的面积． 【答案】(1) (2)当或时，图形为三角形 (3)线段在运动过程中所扫过的区域的面积是 【知识点】等腰梯形的性质定理、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据，，由此即可求解； （2）为三角形，分类讨论，当在一条直线上，为高；当在一条直线上，为高；底为，由此即可求解； （3）线段在运动过程中所扫过的区域是两个全等的三角形，结合（2）的取值范围，由此即可求解． 【详解】（1）解：等腰梯形中，于点，于点，，，，，，图形的面积始终为， ∴矩形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． （2）解：如图所示， ①当在一条直线上，为高时，为底，且， ∴，即， ∴； ②当在一条直线上，为高时，为底，且， ∴，且， ∴，解得，； 综上所述，当或时，图形为三角形． （3）解：由可知，当增大时减小，即增大时随之减小， ∴如图所示，当从运动到时，当从运动到， ∴线段在运动过程中所扫过的区域的面积是两个全等三角形，即，，且，过点作于，且， ∴， ∴，， ∴ ∴线段在运动过程中所扫过的区域的面积是． 【点睛】本题主要考查等腰梯形，三角形，动点的综合，掌握梯形的性质，面积公式，三角形的性质，面积公式，动点的分类讨论是解题的关键． 【题型五十八】等腰梯形的判定定理 58．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】等腰梯形的性质定理、等腰梯形的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $