专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量的概念与运算核心考点，按概念、线性运算、数量积、基本定理及坐标运算的逻辑层次梳理知识，通过命题规律分析、方法技巧总结、7大题型例题与变式训练、高考真题演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破重点难点。 讲义采用“考点-题型-变式”分层训练模式，结合近三年高考真题统计与2026年命题预测，通过共线共面向量定理应用等题型设计，培养学生的数学思维与运算能力。设置基础到综合的练习梯度，配合即时反馈，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、空间向量的概念与运算 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，其中空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础。从近三年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，主要以选择题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等内容，难度较易，复习时要熟练掌握空间向量的概念与运算相关内容。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 空间向量的概念与运算 全国乙卷（文数）：第19题，12分 全国甲卷（理数）：第11题，5分 上海卷（秋考）：第15题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，空间向量的概念与运算的考情将继续维持稳定态势，考查概率较低。最有可能在选择题中考察，主要考查空间向量的坐标运算、空间向量的数量积，分值稳定在5分左右；侧重考查数学运算能力和空间想象能力，要学会灵活求解。 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 知识点3 空间向量的数量积 1．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 2．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点4 空间向量基本定理及其应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点5 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【方法技巧与总结】 1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型1 空间向量的线性运算】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（24-25高二上·陕西咸阳·月考）三棱锥中，，点为中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·天津静海·月考）如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 【题型2 空间共线向量定理及其应用】 【例2】（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式2-1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 【变式2-3】（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【题型3 空间共面向量定理及其应用】 【例3】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 【变式3-1】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 空间向量数量积及其应用】 【例4】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量基本定理】 【例5】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量平行、垂直的坐标表示】 【例6】（2025·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（25-26高二上·青海·月考）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【题型7 空间向量夹角、模长的坐标表示】 【例7】（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式7-2】（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·全国·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 考点一 空间向量的概念与运算 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、空间向量的概念与运算 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，其中空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础。从近三年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，主要以选择题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等内容，难度较易，复习时要熟练掌握空间向量的概念与运算相关内容。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 空间向量的概念与运算 全国乙卷（文数）：第19题，12分 全国甲卷（理数）：第11题，5分 上海卷（秋考）：第15题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，空间向量的概念与运算的考情将继续维持稳定态势，考查概率较低。最有可能在选择题中考察，主要考查空间向量的坐标运算、空间向量的数量积，分值稳定在5分左右；侧重考查数学运算能力和空间想象能力，要学会灵活求解。 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 知识点3 空间向量的数量积 1．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 2．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点4 空间向量基本定理及其应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点5 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【方法技巧与总结】 1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型1 空间向量的线性运算】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【解答过程】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 【变式1-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【解答过程】如图，， ， ，. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西咸阳·月考）三棱锥中，，点为中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【解答过程】，又为中点， 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·天津静海·月考）如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解. 【解答过程】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 【题型2 空间共线向量定理及其应用】 【例2】（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【解题思路】根据三点共线得出，应用平行坐标关系计算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解题思路】由空间向量的坐标表示与共线定理，有，即可解得的值，进而可求的值. 【解答过程】. 因为三点共线，所以，即，解得， 则. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【解题思路】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C. 【题型3 空间共面向量定理及其应用】 【例3】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 【答案】D 【解题思路】根据共面向量基本定理可求. 【解答过程】由题意可知，存在实数使得， 即， 则，得. 故选：D. 【变式3-1】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【解答过程】由平行六面体的特征可得，    则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 【变式3-2】（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的线性运算表示，利用共面求出参数，据此求出即可得解. 【解答过程】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：B. 【变式3-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【解答过程】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 【题型4 空间向量数量积及其应用】 【例4】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算可得，，即可根据数量积的运算律求解. 【解答过程】由可得，， 故， ， 又，， 故 ， 故选：C. 【变式4-1】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【解答过程】向量，，则， 所以. 故选：A. 【变式4-2】（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【解答过程】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C. 【变式4-3】（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【解答过程】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【题型5 空间向量基本定理】 【例5】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合几何图形，利用给定的基底表示向量. 【解答过程】在三棱柱中，. 故选：B. 【变式5-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【解答过程】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可. 【解答过程】易知 . 故选：D. 【变式5-3】（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【解答过程】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 【题型6 空间向量平行、垂直的坐标表示】 【例6】（2025·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，进而可得，求解即可. 【解答过程】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解. 【解答过程】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·青海·月考）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出向量、的坐标，分析可知，结合空间向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【解答过程】因为、、，所以，. 由、、三点共线，可得，可得，解得. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解题思路】根据空间向量平行、空间向量垂直的坐标表示逐项计算判断即可. 【解答过程】因为向量， 所以， 所以不垂直，选项A,C错误； 因为，所以. 因为，所以，B正确. 故选：B. 【题型7 空间向量夹角、模长的坐标表示】 【例7】（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据求出，再求即可. 【解答过程】，，若，则， 解得，则. 故选：A. 【变式7-1】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【解题思路】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【解答过程】由题设，， 所以. 故选：D. 【变式7-2】（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【解答过程】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式7-3】（25-26高二上·全国·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【解答过程】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 考点一 空间向量的概念与运算 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【解答过程】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解； 法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【解答过程】法一： 连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以，则， 又，，所以，则， 又，，所以，则， 在中，， 则由余弦定理可得， 故，则， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为. 法二： 连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以， 在中，， 则由余弦定理可得，故， 所以，则， 不妨记， 因为，所以， 即， 则，整理得①， 又在中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为. 故选：C. 二、解答题 3．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积. 【解答过程】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $