专题3.2 导数的概念及其意义与运算（举一反三专项训练）（全国通用）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题3.2 导数的概念及其意义与运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 导数的定义及其应用】 1 【题型2 导数的运算】 3 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 5 【题型4 求曲线的切线方程】 6 【题型5 与切线有关的参数问题】 7 【题型6 切线的条数问题】 9 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 11 【题型8 与切线有关的最值问题】 14 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 导数的定义及其应用】 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义直接求得. 【解答过程】由题意可知， . 故选：D. 2．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【解题思路】利用导数求出的值，即可得出答案. 【解答过程】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解即可. 【解答过程】由导数的定义得，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 【题型2 导数的运算】 5．（2025·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【解答过程】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 6．（2025·河北沧州·模拟预测）定义在上的函数其导函数为，若为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合偶函数性质与求导法则可得，再令代入上式即可得. 【解答过程】因为为偶函数，则， 两边同时求导得， 将代入上式得，，得． 故选：A. 7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先应用赋值法计算，再结合复合函数求导得出 ，最后赋值计算即可. 【解答过程】因为，且，令，得. 对两边同时求导，得，即. 令，得. 令，得，故. 故选：C. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数和它的导函数的定义域均为，且，为奇函数．若，则（   ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 【答案】C 【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数关于中心对称，，得出函数的规律，分别求出为整数是函数的值，求出前2025项的和即可. 【解答过程】，，即关于中心对称， 为奇函数，且定义域为, 关于所中心对称，根据换元法则有关于中心对称， 则关于直线轴对称，则有， 可知,作差得，换元得 再作差，化简得， 即，函数周期为4. 当时，，解得， 当时，，解得， 由，可知，结合 可知，又， 故， 故选：C. 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 9．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数在处的切线斜率为（   ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】C 【解题思路】求出导函数，令即可求得斜率. 【解答过程】，故. 故选：C. 10．（2025·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围. 【解答过程】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C. 11．（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 . 【答案】 【解题思路】求导即可求解. 【解答过程】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为， 故答案为：. 12．（2025·上海金山·一模）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 . 【答案】 【解题思路】对函数求导，求出在点处的切线斜率，进而得出倾斜角. 【解答过程】因为，所以，则 所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：. 故答案为：. 【题型4 求曲线的切线方程】 13．（2025·湖南长沙·二模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可. 【解答过程】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D. 14．（2025·四川绵阳·一模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程. 【解答过程】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 15．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数满足，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用复合函数求导法则及导数的几何意义求出切线方程. 【解答过程】由，得，解得， 即点在函数的图象上，求导得， 令，则， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：B. 16．（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【解答过程】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 【题型5 与切线有关的参数问题】 17．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【解题思路】可设切点坐标，切点坐标满足函数方程，且有．解方程组可得k的值； 【解答过程】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A. 18．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】先求出，接着由求出参数a得切点代入切线方程即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以由题意得， 所以切点，所以. 故选：C. 19．（2025·河北沧州·模拟预测）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】先求曲线的切线方程，并联立切线与曲线方程，由即可求. 【解答过程】由，得， 所以， 则曲线在点处的切线方程为即. 联立，整理得， 因为切线与曲线相切， 所以，解得. 故选：D. 20．（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据和求出即可求解. 【解答过程】依题意有，， 又，即， ，，. 故选：D. 【题型6 切线的条数问题】 21．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【解答过程】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 22．（2025高三·全国·专题练习）函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解题思路】讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解． 【解答过程】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B. 23．（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可. 【解答过程】由题意设切点坐标， ， 切线斜率：，， 化简可得：， 解得：或， 所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条， 故选：C. 24．（2025·河南·模拟预测）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答. 【解答过程】因函数是奇函数，则由得恒成立，则， 即有，， 设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为， 而点不在曲线上，则，整理得， 即，解得或，即符合条件的切点有3个， 所以过点向曲线可作的切线条数是3. 故选：C. 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 25．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解题思路】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【解答过程】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 26．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可． 【解答过程】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A. 27．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 【答案】或（写出其中一条即可） 【解题思路】分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程； 【解答过程】设，，设公切线与相切于点，与相切于点， 因为，，则公切线斜率， 所以公切线方程为或， 整理得或， 所以，即. 所以，解得或， 所以公切线方程为或. 故答案为：或.（写出其中一条即可） 28．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【解题思路】设公共点为，由，可得，进而利用导数可得，求解即可. 【解答过程】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 【题型8 与切线有关的最值问题】 29．（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解. 【解答过程】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选：A. 30．（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【解答过程】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A. 31．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【解题思路】由得，由切线方程可得切点横坐标为，进而可得，根据基本不等式可得的最小值为9. 【解答过程】由得， 由直线与曲线相切可得，得， 故，得，又，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D. 32．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两点坐标表示距离公式可知的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由，得，又 ， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为 的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【解答过程】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B. 2．（2025·广东江门·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求函数的导函数，再求导函数在时的值，结合导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程． 【解答过程】因为，所以，故， 所以曲线在点处的切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A. 3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合奇函数的定义可得，求导代入运算求解即可. 【解答过程】因为是奇函数， 则， 可得，即， 则，， 可得，解得. 故选：B. 4．（2025·广东广州·模拟预测）若直线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可． 【解答过程】设切点为，曲线在切点处的斜率为，直线在切点处的斜率为1，切点处两者斜率相等， 所以，得，即切点横坐标， 又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以，也即． 故选：D． 5．（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逐一判断各选项中导函数的奇偶性即可. 【解答过程】对于选项A，为奇函数，A错误； 对于选项B，为非奇非偶函数，B错误； 对于选项C，，且，，， 则不是偶函数，C错误； 对于选项D，为偶函数，D正确. 故选：D. 6．（2025·河南·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【解答过程】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C. 7．（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程. 【解答过程】由已知， 则， 即切线斜率， 又， 所以切线方程为， 即， 故选：D. 8．（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求导公式求出函数的导数，再将切点的横坐标代入导数中，得到切线的斜率，最后利用点斜式方程求出切线方程. 【解答过程】对求导：. 将代入中，可得切线的斜率. 已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为. 将其化简为一般式： ， 的图象在点处的切线方程是. 故选：D. 9．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【解答过程】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 10．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【解答过程】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 ， 所以 关于 对称，且 ， 又 的一个周期为 2 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 的周期为 4 ，所以 A 选项错误； 因为 ， 所以 ， 又 的周期为 4 ，即， 所以 ， 所以 ，所以 B 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，, 即 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 C 选项错误，D 选项正确． 故选：D． 二、填空题 11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据导函数的奇偶性，代入求值即可. 【解答过程】由，得， 又， 所以为奇函数，所以. 故答案为：. 12．（2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解题思路】由导数的几何意义和导数的运算公式求解即可. 【解答过程】由，得，所以， 又因为，则切点坐标为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：.   B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A. 2．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，由题意可得，可得，分类讨论可求得. 【解答过程】，，， 根据题意，则有， 当时，显然不成立， 所以，若，，不满足题意； 若，则恒成立，解得. 故选：B． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知的斜率为，由得，进而可得直线的方程为：，进而由平行线间的距离公式可得. 【解答过程】由题意，切线的斜率为，则，得， 故，故切线的方程为：，即， 直线，即， 故两直线的距离为， 故选：B. 4．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【解答过程】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 5．（2025·河南·一模）抛物线在其上一点处的切线方程为，点A，B为C上两动点，且，则的中点M到y轴距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的切线方程，利用求导数，设切点，求出；接着设出，表示出点M到y轴的距离为：，利用抛物线的定义表达式，将其转化为两条焦半径的和，结合图形易得，故得解. 【解答过程】依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为，由求导可得：， 依题，，即化简得，故切点为，代入中，解得，故.    如图，设点则，点M到y轴的距离为：, 当且仅当线段经过点时，等号成立. 故的中点M到y轴距离的取值范围为. 故选：A. 6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（   ） A． B． C． D．28 【答案】C 【解题思路】由题可得，赋值计算可得为等差数列，可求得，由题可得 ，化简可得，根据，采用赋值计算可得，最后计算求解即可. 【解答过程】由，求导得， 又，所以， 令得， 又，所以， 又，所以， 又，所以. 综上，是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 由，易得， 又，所以，即， 因为，， 所以，，，， ，，， 即， 所以. 故选：C. 二、解答题 7．（2025·湖北黄冈·一模）设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）利用复合函数的值域即可求解. 【解答过程】（1）， 依题意知：， . （2） . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 8．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：函数有3个零点； (3)当时，对任意的，满足，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数； （3）在处的切线方程为，设，利用导数证明：当时，．进而得到，证得不等式. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以，．因此曲线在处的切线方程为． （2）的定义域是，， 若，令，得或，且． 当时，，单调递增：当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极大值， 在处取得极小值． 因为，所以，又， 所以，使得，即在上有1个零点； 因为，所以，则，所以， 所以，使得，即在上有1个零点； 又， 所以，使得，即在上有1个零点． 综上，当，有3个零点． （3）在处的切线方程为， 设， 下面证明：当时，． 设，则， 设，则，显然，时，，所以递增， 则，即，所以递减，则， 从而，即． 所以， 得 ． 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 导数的概念及其意义与运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 导数的定义及其应用】 1 【题型2 导数的运算】 2 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 2 【题型4 求曲线的切线方程】 3 【题型5 与切线有关的参数问题】 3 【题型6 切线的条数问题】 4 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 4 【题型8 与切线有关的最值问题】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 导数的定义及其应用】 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 4．（25-26高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【题型2 导数的运算】 5．（2025·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）定义在上的函数其导函数为，若为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数和它的导函数的定义域均为，且，为奇函数．若，则（   ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 9．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数在处的切线斜率为（   ） A．0 B．1 C．e D． 10．（2025·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 . 12．（2025·上海金山·一模）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 . 【题型4 求曲线的切线方程】 13．（2025·湖南长沙·二模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 14．（2025·四川绵阳·一模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数满足，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【题型5 与切线有关的参数问题】 17．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 18．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 19．（2025·河北沧州·模拟预测）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则（    ） A．4 B． C． D．2 20．（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D． 【题型6 切线的条数问题】 21．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 22．（2025高三·全国·专题练习）函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（2025·河南·模拟预测）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 25．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 26．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 27．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 28．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【题型8 与切线有关的最值问题】 29．（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 30．（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 31．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．10 D．9 32．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 2．（2025·广东江门·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）若直线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 二、填空题 11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则 ． 12．（2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·一模）抛物线在其上一点处的切线方程为，点A，B为C上两动点，且，则的中点M到y轴距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（   ） A． B． C． D．28 二、解答题 7．（2025·湖北黄冈·一模）设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 8．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：函数有3个零点； (3)当时，对任意的，满足，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $