专题4.1 平面向量的线性运算及数量积（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的线性运算及数量积核心考点，按线性运算、数量积性质与结论、解题策略的逻辑架构梳理知识，通过考点精析、方法归纳、题型突破（6类题型含变式）及高考真题训练的教学环节，帮助学生系统构建知识网络，突破模长、夹角等难点。 资料以“题型+变式+真题”分层设计练习，创新采用基底法与坐标法双路径解决数量积问题，如在模长计算中结合几何意义与坐标运算培养学生数学思维，通过共线定理参数问题训练提升逻辑推理能力。精准对接高考命题规律，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

专题4.1 平面向量的线性运算及数量积（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、平面向量的线性运算及数量积 平面向量的运算是高考的热点内容。从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的线性运算、平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题。学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，学会灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 平面向量的线性运算及数量积 新高考Ⅱ卷：第13题，5分 全国乙卷（文数）：第6题，5分 全国乙卷（理数）：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第4题，5分 新高考I卷：第3题，5分 新高考Ⅱ卷：第3题，5分 全国甲卷（理数）：第9题，5分 全国一卷：第6题，5分 全国二卷：第12题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，平面向量的运算的考情将继续维持稳定态势。仍然以选择题、填空题为主，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦数量积、模长夹角、以及平行与垂直关系，难度不大；也可能结合实际情境（如速度、位移等）或新定义情境，或延续与三角函数、平面几何等相结合命题，难度中等。 知识点1 平面向量线性运算问题及其解题策略 1．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2．向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 3．利用共线向量定理解题的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 知识点2 向量数量积的性质和常用结论 1．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数λ，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 2．向量数量积的常用结论 (1)； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 以上结论可作为公式使用. 知识点3 平面向量数量积问题的解题策略 1．平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 2．夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 3．向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 4．向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 【题型1 向量的线性运算】 【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解. 【解答过程】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D. 【变式1-1】（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， . 故选：D. 【变式1-2】（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解. 【解答过程】在中，. 故选：C. 【变式1-3】（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【解答过程】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A. 【题型2 向量共线定理及其应用】 【例2】（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由向量共线得到，求解即可. 【解答过程】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A. 【变式2-1】（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【解答过程】若与共线， 则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C. 【变式2-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 【变式2-3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【解答过程】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 【题型3 平面向量数量积的运算】 【例3】（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ） A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【解答过程】因为. 故选：B. 【变式3-1】（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解. 【解答过程】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D. 【变式3-2】（2025·浙江杭州·一模）设向量.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】由向量的坐标表示出，然后解方程即可. 【解答过程】， ∴， 解得. 故选：A. 【变式3-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【解答过程】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 【题型4 平面向量的夹角问题】 【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）已知非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量垂直得到方程组，设，则，，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】， 所以，不妨设，则，， 所以，故， 又，故与的夹角为. 故选：D. 【变式4-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围，注意排除同向共线的情况即可. 【解答过程】由题意， 若，此时同向共线，非锐角， 所以且. 故选：B. 【变式4-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知，利用平面向量夹角公式求解. 【解答过程】， ， ， ， ∴，则. 故选：B. 【变式4-3】（2025·甘肃·模拟预测）若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量垂直关系得到，再由向量夹角公式即可求解. 【解答过程】设与的夹角是，因为， 所以，即①， 又因为， 所以，即②， 由①②知， 所以. 故选：B. 【题型5 平面向量的模长问题】 【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【解题思路】由，得到，通过即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以 ， 故选：C. 【变式5-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【解答过程】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 【变式5-2】（2025·云南·一模）已知是单位向量，且.若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的坐标，由此可得模长. 【解答过程】由题意得，，设， ∵，∴，故. 如图，以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，使的起点与重合，终点在第二象限，则， 设，则，故， ∴，故. 故选：C. 【变式5-3】（2025·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【解答过程】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D. 【题型6 向量数量积与其他知识交汇】 【例6】（2025·辽宁·模拟预测）设锐角的外心为，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案. 【解答过程】    如图，圆是锐角的外接圆，设其半径为， 则， 由可得，即， 也即①. 又由两边平方可得，即， 也即② 联立①和②，解得，因为锐角三角形，故有，， 从而，， 于是，. 故选：A. 【变式6-1】（2025·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，所以，设为边的中点，根据向量的运算法则，求得，结合圆的性质，即可求解. 【解答过程】由，可得圆心，半径， 因为直线交圆于两点，且圆被截得两段弧的长度比为， 所以，可得， 设为边的中点，可得， 则 ， 当且仅当与方向相同时，等号成立， 因为，所以. 所以的最大值为. 故选：B. 【变式6-2】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【解答过程】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 【变式6-3】（2025·浙江·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，，，且，则（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数图象得出，再求出点的坐标及数量积公式计算，最后求出函数值. 【解答过程】由题干图象可知，则，所以，所以 ， 由，得，，即，， 因为，所以，则. 又，则，又 ，， ，解得（负根舍去）， 所以，所以. 故选：C. 考点一 平面向量的线性运算及数量积 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【解答过程】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解答过程】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【解答过程】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】由得，结合，得，由此即可得解. 【解答过程】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解题思路】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【解答过程】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或 然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【解答过程】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出图形,根据几何意义求解. 【解答过程】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 二、填空题 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 9．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 . 【答案】； 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【解答过程】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【解答过程】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 平面向量的线性运算及数量积（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、平面向量的线性运算及数量积 平面向量的运算是高考的热点内容。从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的线性运算、平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题。学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，学会灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 平面向量的线性运算及数量积 新高考Ⅱ卷：第13题，5分 全国乙卷（文数）：第6题，5分 全国乙卷（理数）：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第4题，5分 新高考I卷：第3题，5分 新高考Ⅱ卷：第3题，5分 全国甲卷（理数）：第9题，5分 全国一卷：第6题，5分 全国二卷：第12题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，平面向量的运算的考情将继续维持稳定态势。仍然以选择题、填空题为主，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦数量积、模长夹角、以及平行与垂直关系，难度不大；也可能结合实际情境（如速度、位移等）或新定义情境，或延续与三角函数、平面几何等相结合命题，难度中等。 知识点1 平面向量线性运算问题及其解题策略 1．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2．向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 3．利用共线向量定理解题的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 知识点2 向量数量积的性质和常用结论 1．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数λ，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 2．向量数量积的常用结论 (1)； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 以上结论可作为公式使用. 知识点3 平面向量数量积问题的解题策略 1．平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 2．夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 3．向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 4．向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 【题型1 向量的线性运算】 【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 向量共线定理及其应用】 【例2】（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【变式2-1】（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量数量积的运算】 【例3】（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ） A．7 B．1 C． D． 【变式3-1】（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·浙江杭州·一模）设向量.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【题型4 平面向量的夹角问题】 【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）已知非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 【变式4-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·甘肃·模拟预测）若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 平面向量的模长问题】 【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【变式5-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·云南·一模）已知是单位向量，且.若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式5-3】（2025·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【题型6 向量数量积与其他知识交汇】 【例6】（2025·辽宁·模拟预测）设锐角的外心为，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【变式6-3】（2025·浙江·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，，，且，则（   ）    A．4 B． C． D． 考点一 平面向量的线性运算及数量积 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 ． 9．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 . 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $