第1章 三角形的证明（章节复习检测提升卷）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册章节复习优选题检测卷

2025-2026学年北师大版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材） 第1章 三角形的证明●能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，点为边上的点，连接．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：，根据，可得：，从而可知的度数． 【完整解答】解：是的外角， ， ，， ， ， . 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由，得，由三角形的外角性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【完整解答】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，根据垂线段最短，得的最小值即为到的距离，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，得到的距离到的距离，又因为，的面积为5，故到的距离，即可作答． 【完整解答】解：∵E是上一动点， ∴的最小值即为到的距离， ∵平分交于点D， ∴到的距离到的距离， ∵，的面积为5， ∴到的距离 ∴到的距离， 即的最小值为2， 故选：B． 5．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【思路引导】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【完整解答】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长， 故选：B． 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若的面积为4，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【完整解答】解：如图，过点作于， ， ， 平分，， ， 的面积为， ， 点为的中点， ． 故选：D． 7．（25-26八年级上·福建莆田·期末）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【完整解答】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接．为延长线上一点，，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查垂直平分线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的角度关系．关键是利用垂直平分线得到等腰三角形，再结合外角性质和直角三角形两锐角互余求解． 【完整解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 故选：B． 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，先利用勾股定理求得，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出即可． 【完整解答】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【完整解答】 解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形． 故①正确． 由轴对称可知，，， ． 故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ，． ． 平分． 故③正确． ，， ． ， ． ． 故④正确． 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则 cm． 【答案】18 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【完整解答】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 12．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，梯形中，，，，，的垂直平分线交于E，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】17 【思路引导】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．由的垂直平分线交于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得，即可得四边形的周长为，继而求得答案． 【完整解答】解：∵的垂直平分线交于E， ∴， ∵，，， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：17． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则 °． 【答案】130 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【完整解答】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 14．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【完整解答】解：∵， ∴， 过点作于点，如图所示： 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ∴的面积为， 故答案为：18． 15．（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由角平分线的定义可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【完整解答】解：，是的平分线， ， 是的外角， ，     ， 故答案为： 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查对三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出、的长是解此题的关键． 如图，分别延长，交于点，通过直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到、，根据勾股定理求出，最后根据线段的和差关系求出线段的长． 【完整解答】解：如图，分别延长，交于点． 在中，，， ． 又， ． 在中，由勾股定理，得． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解答即可． 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握性质是解题的关键． 【完整解答】解：垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N， ∴，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 18．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为 ． 【答案】或 【思路引导】当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作，交延长线于，先证明四边形为矩形，得，，设，则，再证明得，由此得，然后在中，由勾股定理求出，由此可得的长；②当时，过点作于，先证明得，再证明得，由此可得，综上所述即可得的长． 【完整解答】解：依题意得，当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点作，交延长线于，如图所示： ∵， ∴， 又∵，交延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则； ②当时，过点作于，如图2所示： ∵，于， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【考点剖析】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握梯形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得，结合，即可证明． 【完整解答】证明：由三角形的外角性质得， ∵， ∴，即． 20．（本题6分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点．交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）作出的图形中，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形． （1）根据垂直平分线的作法，作出的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 21．（本题8分）（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，，于．    (1)求证：； (2)分别交、于、，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，等边对等角． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据等边对等角可得，根据对顶角相等得出，即可得出，进而根据等角的余角相等，即可得证． 【完整解答】（1）证明：，于， ，， ； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 22．（本题8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1） 由垂直平分得，推出，再由平分得，从而，最后在中用内角和计算的度数． （2） 设，则，结合，用三角形内角和建立等式，推导与的关系式． 【完整解答】（1）解：是边的中点，， ， ． 平分， ， ． ，， ， 即， ． （2）解：由（1）知． ，， ， 即， ． 23．（本题8分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，点为上的动点（与点均不重合），点在射线上，且． 【特例感知】 （1）若，则___________； 【问题探究】 （2）如图2，作线段的垂直平分线交所在的直线于点，连接，请判断线段与的位置关系，并写出推理过程； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，已知线段和的长度均为整数，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）或1 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形的性质即可求解． （2）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，于是得到结论； （3）连接，设，则，设，则，根据勾股定理得出，结合线段和的长度均为整数和点为上的动点（与点均不重合），即可得到结论． 【完整解答】解：（1）在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）， 理由如下：∵， ， ∵作线段的垂直平分线交所在的直线于点， ， ∴， ， ， ， ， ． （3）连接，设，则，设，则， ， ， ， 整理得：， ∵线段和的长度均为整数， ∴或， 即或1． 【考点剖析】该题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理、二元一次方程的解、线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（本题8分）（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【完整解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 25．（本题10分）（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边三角形的性质，得到，角的和差关系得到，角平分线的定义，推出，等边对等角，求出的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）设，三角形的外角得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义求出的度数，即可． 【完整解答】（1）解：为等边三角形， ， 又平分， ， ， ， 又 ； （2）解：．理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ． 26．（本题10分）（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【思路引导】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）根据题意求出，过点作于点，交于点，过点作于点，利用三角形的面积公式即可解答． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【考点剖析】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，平行的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材） 第1章 三角形的证明●能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，点为边上的点，连接．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若的面积为4，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 7．（25-26八年级上·福建莆田·期末）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 8．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接．为延长线上一点，，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D．1 10．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则 cm． 12．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，梯形中，，，，，的垂直平分线交于E，连接，则四边形的周长为 ． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则 °． 14．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 15．（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则 ． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 17．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N．若，则的度数为 ． 18．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 20．（本题6分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点．交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）作出的图形中，连接，求的周长． 21．（本题8分）（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，，于．    (1)求证：； (2)分别交、于、，若，求证：平分． 22．（本题8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 23．（本题8分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，点为上的动点（与点均不重合），点在射线上，且． 【特例感知】 （1）若，则___________； 【问题探究】 （2）如图2，作线段的垂直平分线交所在的直线于点，连接，请判断线段与的位置关系，并写出推理过程； 【拓展延伸】 （3） 在（2）的条件下，若，已知线段和的长度均为整数，求线段的长． 24．（本题8分）（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 25．（本题10分）（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 26．（本题10分）（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $