2026年九年级中考数学一轮专题复习二十五：二次函数的最值

2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习二十五：二次函数的最值 1．已知为抛物线为常数）上的两个点， (1)当时，求的值； (2)若，且当时，函数有最大值，求的值． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值 3．如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求与的函数表达式，并求的最大值． 4．某水果批发商销售每箱进价为50元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于75元．市场调查发现，若每箱以60元的价格销售，平均每天销售100箱，价格每提高1元，平均每天少销售5箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为x元（）．（不考虑其他支出） (1)当每天的利润为1000元时，求x的值； (2)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 5．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线与轴交点的坐标； (2)若二次函数的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，若点，为该抛物线上的不同两点，，且，判断与的关系，并说明理由． 6．如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 7．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 8．记二次函数的图像为抛物线，一次函数的图像为直线，与交于点、． (1)设与轴交于点，点在上运动，求的最小值及此时点的坐标； (2)作点关于轴的对称点，记为，连接交轴于点． （I）求点的坐标； （II）设坐标原点为，记与的面积之和为，求的最小值． 9．在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示． x … 0 1 … y … 3 4 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标． (3)点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围． (4)将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值． 10．已知：如图，中，，，点是边上的一个动点（不与，点重合），． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 12．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线． (1)t的值为_____； (2)当时，y的最大值为9，求抛物线对应的函数表达式； (3)当时，，求的最大值． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点． (1)当时，求的最小值． (2)当时， ①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式． ②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围． (3)①若，直接写出的最大值． ②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值． 14．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求a的值、函数的对称轴及顶点坐标． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C点，且点B为线段的中点，求t值． (3)设，抛物线的一段（）均在与x轴平行的直线，之间，若直线，之间的距离为16，写出的最大值． 15．已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求t的值； (2)当时，函数有最大值m和最小值n，求证：． 参考答案 1．【详解】（1）解：把代入得 把代入得 （2）解：由题意得抛物线的对称轴为： 当即时，当时，最大为4，即 解得：（舍去）. 当即时，时最大为4，则 解得：（舍去）或 综上所述，． 2．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即函数的最大值为； 当时，； 分情况讨论： ①当时，，此时， ∴当时，函数有最大值；当时，函数有最小值为； 根据题意列方程：，解得(舍去)或， ②当时，此时， ∴当时，函数有最大值；当时，函数有最小值为； 最大值与最小值的差为，不符合题意； ②当时，函数随着的增大而减小， ∴当时，函数有最大值为，最小值为， 根据题意列方程：，方程无实数解，舍去． 综上，的值为． 3．【详解】（1）解：， ， 又，，， ， ， ； （2）解：，，， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 4．【详解】（1）解：设该水果批发商每箱苹果的销售单价为x元， 则每天的销售量为． 根据题意，得， 即， 解得． 答：x的值为60或70． （2）解：设平均每天的销售利润为w元． 根据题意，得 ． ， 当时，w取最大值1125． 答：当每箱苹果的销售单价定为65元时，平均每天的销售利润最大，最大利润是1125元． 5．【详解】（1）解：， ， ， 当时，由得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：由题意知：， ， ， 解得，（舍）， ． （3）解：． ，都在抛物线上， ，． ∵， ∴， ， ， ∴， 即：， ， ． 6．【详解】（1）解：∵，则平行于墙的一边长为，根据题意得 ， 解得，， ， ， 不符合题意． 答：当时，菜园的面积为． （2）解：设菜园的面积为， ， 当时，菜园的面积最大，最大面积为． 7．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵D是抛物线的对称轴上一点， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴直线与抛物线对称轴的交点即为D，如下图： ∵抛物线解析式为的对称轴为直线， 令，则， ∴， ∵， 设所在的直线函数解析式为，把点和点代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 把代入得：， ∴； （3）解：设， 又∵点和点， ∴， 由题意得： ， ， 当时，有最大值为， 当时，， ． 8．【详解】（1）解：在中，令，则， ， 设， ，令，则， 当，即时，取得最小值，故的最小值为， 此时，， 点的坐标为或； （2）解：（I）设，，则， 联立，得， ，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令，则， ； （II）解：设，， 联立，得， ，， 设一次函数与y轴的交点为C， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ，， ， 故的最小值为． 9．【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：， 顶点坐标为． （3）解：点，在二次函数的图象上， ，， ， ， 解得： （4）解：二次函数的图象向左平移m个单位长度， 平移后对应的函数表达式为， 图象开口向下，对称轴为直线， ①当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：（不符合题意，舍）； ②当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：或（不符合题意，舍）； ③当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：或（不符合题意，舍）； ④当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：（不符合题意，舍）； 综上可知，m的值为或． 10．【详解】（1）解：，， ， ，， 又，， ， ； （2）解：，， ， 又，， ∴，， ， ， ， ， ， ∴抛物线开口向上， 当时，取最小值，此时. 当为时，取最小值，最小值是. 11．【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，， 设直线的解析式为，将，代入得： 得，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点，连接，，如下图所示： 则， ∴ ， ∵， 故当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大， 此时面积最大，， 当时，， 此时点的坐标为． 12．【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴，即， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，函数值在处取得最大值9， 将，代入，得， ， 抛物线的表达式为； （3）解：由（1）可得：，对称轴为直线， ∴二次函数的解析式为， ∵，且当时，， ∴二次函数的最小值为， ∵当时，， 关于x的取值范围一定包含， 当时，，解得：或， 若，则，若，则， 综上所述的最大值是． 13．【详解】（1）解：∵ ∴， ∴顶点坐标为 ∵， ∴的最小值为； （2）解：①当时， ∴对称轴为直线， 设点的横坐标为， ∵， ∴ 又∵关于直线对称， ∴ 解得：或 ∴或 ②∵当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，对称轴为直线， ∴当时，，当时， 即 ∴ （3）解：①∵图象的顶点为， 当时， ∴ 即的最大值为 ②∵图象的顶点为，对称轴为直线，则 点为抛物线上一点，当时， ∵，的最大值为，最小值为， ∴， ∴ 14．【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； ∴， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解： 由（1）知：对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入， 得：， ∴； （3）解： ∵抛物线开口向上，对称轴为，顶点是最低点， ∴当时，抛物线的最小值为， ∵抛物线在的一段，位于平行x轴的两条直线，之间，间距为16， ∴这段抛物线的最大值为， ∴， 解得：， ∵， ∴取， ∴的最大值为：． 15．【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上， ∴， ∴ 解得或； （2）证明：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，且当时函数有最大值，最大值为， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴ ∴ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $