5.2分式的运算寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学（知识点梳理+题型精讲+强化巩固）

5.2分式的运算寒假预习讲义（北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.高频考点★过关测试 🎯课前预习★目标 ◆记住分式基本性质，会正确约分、通分； ◆掌握分式乘除运算法则，能正确计算； ◆掌握分式加减运算法则，分清同分母、异分母； ◆了解分式混合运算顺序，会简单混合运算； 💦重点知识★梳理归纳 ● 一、分式的乘、除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用字母表示为：，其中是整式，． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用字母表示为：，其中是整式，． （3）步骤：先因式分解→再约分→最后计算。 ● 二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）． ● 三、分式的加减 （1） 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；法则可用式子表为：； （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：； （3）整式与分式相加减：把整式看成分母为1的分式。 ● 四、分式的混合运算 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号里面。 2.结果必须化为最简分式（分子分母无公因式）。 ● 五、常见易错点 1. 符号：分数线有括号作用，分子加减时注意变号； 2. 约分：只能约公因式，不能约单独项； 3. 分母不能为0. ✏ 核心考点★精讲精练 题型1分式乘法 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要 kg． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型2分式除法 例2．计算（    ） A． B． C． D．1 变式1．，则 ． 变式2．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 题型3分式乘除混合运算 例3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．计算的结果为 ． 变式2．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 题型4分式乘方 例4．化简的结果是（  ） A． B． C． D． 变式1．计算：（1） ；（2） ；（3） ． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型5含乘方的分式乘除混合运算 例5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算：． 题型6同分母分式加减法 例6．计算：（  ） A． B． C． D． 变式1．化简的结果是 ． 变式2．计算：． 题型7最简公分母 例7．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 变式1．分式，，的最简公分母为 ． 变式2．直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________ (2)；__________ (3)；__________ (4)；__________ (5)．__________ 题型8通分 例8．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 变式1．对分式，，进行通分，通分的结果分别是 ． 变式2．将下列分式通分： (1)和． (2)和． 题型9异分母分式加减法 例9．化简的结果是（  ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．化简： 题型10整式与分式相加减 例10．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 变式1．计算：的结果是 ． 变式2．先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 题型11已知分式恒等式，确定分子或分母 例11．若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．若常数M，N满足，则 ． 变式2．已知，求的值． 题型12分式加减混合运算 例12．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 变式1．如果，那么 ， ． 变式2．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 题型13分式加减的实际应用 例13．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1） （用含有的式子表示）； （2） （填“甲”或“乙”）首先到达终点． 变式1．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 变式2．已知，，以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 题型14分式加减乘除混合运算 例14．计算的结果是 ． 变式1．化简：． 变式2．计算： (1) (2) 题型15分式化简求值 例15．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 变式1．已知，则 ． 变式2．下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 题型16分式最值 例18．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 变式1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （2）分式的最小值为 ． 变式2．已知，且，求的最小值． ✍ 高频考点★过关测试 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B．C．D． 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 7．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 8．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11． ． 12．已知，则 ． 13．计算： ． 14．计算： ． 15．对分式，通分，两个分式的最简公分母是 ，通分的结果是 ；= ． 16．计算 的结果是 ． 17．已知代数式满足．若，则代数式的值为 ． 三、解答题 18．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 19．计算： (1)； (2)． 20．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 21．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 22．甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 23．一条小船顺流航行后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为，水流的速度为，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？ 24．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2分式的运算寒假预习讲义（北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.高频考点★过关测试 🎯课前预习★目标 ◆记住分式基本性质，会正确约分、通分； ◆掌握分式乘除运算法则，能正确计算； ◆掌握分式加减运算法则，分清同分母、异分母； ◆了解分式混合运算顺序，会简单混合运算； 💦重点知识★梳理归纳 ● 一、分式的乘、除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用字母表示为：，其中是整式，． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用字母表示为：，其中是整式，． （3）步骤：先因式分解→再约分→最后计算。 ● 二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）． ● 三、分式的加减 （1） 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；法则可用式子表为：； （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：； （3）整式与分式相加减：把整式看成分母为1的分式。 ● 四、分式的混合运算 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号里面。 2.结果必须化为最简分式（分子分母无公因式）。 ● 五、常见易错点 1. 符号：分数线有括号作用，分子加减时注意变号； 2. 约分：只能约公因式，不能约单独项； 3. 分母不能为0. ✏ 核心考点★精讲精练 题型1分式乘法 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再进行约分即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 变式1．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要 kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2分式除法 例2．计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 变式1．，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除运算．根据题意得出，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 变式2．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 题型3分式乘除混合运算 例3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 变式1．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式2．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 题型4分式乘方 例4．化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除、乘方运算，掌握分式的乘除、乘方运算的运算法则是解题关键．运用先乘方、再乘除的运算顺序化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 化简结果为 ． 故选： B． 变式1．计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 1 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和分式的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键。 （1）任何非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，据此求解即可； （2）任何非零数的零次幂等于1，据此求解即可； （3）分式的乘方法则，分式的乘方等于分子和分母分别乘方，据此求解即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：1； （3）根据分式的乘方法则，． 故答案为： 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式和分式的乘方与乘法运算，正确运用运算法则是解题的关键． （1）将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可； （2）先计算分式的乘方，再通过约分完成分式乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5含乘方的分式乘除混合运算 例5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 题型6同分母分式加减法 例6．计算：（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；运用同分母分式减法法则，分母不变、分子相减，再约分即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 变式1．化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减运算法则． 两个分式分母相同，直接合并分子后化简． 【详解】解： = = = 1其中， 故答案为：1． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查异分母分式的加减运算，掌握其运算法则是关键，先因式分解后约分，再计算和差，最后再化简即可． 【详解】解：根据分式有意义的性质得到，， ． 题型7最简公分母 例7．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 变式1．分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 确定各分母的系数的最小公倍数和字母因式的最高次幂，然后相乘得到最简公分母． 【详解】解：分母系数，，的最小公倍数为； 字母因式和的最高次幂分别为和， 故最简公分母为， 故答案为：． 变式2．直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________ (2)；__________ (3)；__________ (4)；__________ (5)．__________ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）（2）（3）（4）（5）根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】（1）的最简公分母． 故答案为：； （2）的最简公分母． 故答案为：； （3）的最简公分母． 故答案为：； （4）的最简公分母． 故答案为：； （5）的最简公分母． 故答案为：． 题型8通分 例8．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 变式1．对分式，，进行通分，通分的结果分别是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 变式2．将下列分式通分： (1)和． (2)和． 【答案】(1)   (2)   【分析】本题考查了分式的通分，掌握找最简公分母的方法，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，再将分子分母同乘相应因式是解题的关键． （1）先确定两个分式的最简公分母为，再将两个分式的分子分母同乘相应因式，化为同分母分式； （2）先确定两个分式的最简公分母为，再将两个分式的分子分母同乘相应因式，化为同分母分式． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． 题型9异分母分式加减法 例9．化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，关键是先将异分母分式转化为同分母分式，再利用分式加法法则计算，最后通过因式分解约分得到最简结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，关键是熟练应用运算法则进行计算；将分母因式分解后通分，合并分子并约分． 【详解】解：原式＝ ， 故答案为：． 变式2．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，平方差公式，正确通分是解题关键． 结合平方差公式将异分母转化为同分母进行加减即可． 【详解】解：原式 ． 题型10整式与分式相加减 例10．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 变式1．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为0 【分析】题目主要考查分式和整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的乘法运算及分式的混合运算法则计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴取，原式． 题型11已知分式恒等式，确定分子或分母 例11．若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键，先将进行通分，得到，再根据，得到，从而求得，代入即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 变式1．若常数M，N满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 变式2．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 题型12分式加减混合运算 例12．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．如果，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 变式2．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 题型13分式加减的实际应用 例13．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1） （用含有的式子表示）； （2） （填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 变式1．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【答案】甲：（元）；乙：（元） 【分析】根据平均单价＝ 总钱数 两次购买的质量和 ，求出甲、乙所购饲料的平均单价即可； 【详解】解：设两次购买的饲料单价分别为元和元（，是正数，且）， 则甲两次购买饲料的平均单价为（元）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元）． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，熟知分式混合运算的法则． 变式2．已知，，以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， 故选项C正确， ∵， ∴， 故选项A不正确， ∵， ∴， 故选项B不正确， ∵， ∴， 故选项D不正确， 故选：C 题型14分式加减乘除混合运算 例14．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法运算、平方差公式的应用以及因式分解，熟练掌握分式通分、约分的方法和平方差公式是解题的关键． 先对分母进行因式分解，找到最简公分母，再对两个分式进行通分，然后合并分子并化简，最后约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式1．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；先算乘法，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 变式2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型15分式化简求值 例15．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 变式1．已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，利用完全平方公式，将已知条件平方后减去常数项，进而可求解． 【详解】解：由，即，则， 所以． 故答案为：2． 变式2．下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 【答案】(1)四； (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题中的计算过程解答即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第四步进行化简时分子的符号没改变， 故答案为：四； （2）解： ， 当时，原式． 题型16分式最值 例18．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 变式1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （2）分式的最小值为 ． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 变式2．已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 【详解】解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． ✍ 高频考点★过关测试 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确． 【详解】A: （分子从变为，分母从变为，未同时乘以或除以相同整式）． 变形不一定正确． B:（分子分母同乘，且）． 变形一定正确． C: （除非）． 变形不一定正确． D: （分子分母同乘得，，除非）． 变形不一定正确． 故选B． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握乘除混合运算按从左到右顺序进行，除法转化为乘法后再计算是解题的关键． 根据运算顺序从左到右计算，除以分数相当于乘以倒数． 【详解】解：, ∴最后结果为 故选：B． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 5．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的减法，熟记“同分母分式的减法法则”是解答本题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分即可. 【详解】解：∵ ∴ 当时， 故选：C． 7．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的确定．先将分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：C． 8．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算．通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形进行减法运算，再化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 二、填空题 11． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后利用同底数幂的除法法则简化表达式． 【详解】解：∵ ；， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 13．计算： ． 【答案】 【分析】按照分式的乘方、乘除运算法则逐步化简，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方与乘除混合运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负指数幂，积的乘方及分式的乘除运算，先根据积的乘方去括号再进行单项式的乘除法，最后把结果转化为正整数指数幂的形式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．对分式，通分，两个分式的最简公分母是 ，通分的结果是 ；= ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 16．计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则进行化简。 【详解】原式 = = = = = = 故答案为 ． 17．已知代数式满足．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，解题关键是通过因式分解和通分化简分式，再求出的表达式． 先根据分式的运算求出的表达式，再代入计算即可． 【详解】解：由已知方程，右边化简： ， 所以， 则， 当时，． 故答案为：． 三、解答题 18．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【分析】本题考查整式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握整式和分式的相关运算法则是解答的 关键． （1）先根据整式的混合运算法则和乘法公式化简原式，再代值求解即可； （2）先利用分式的减法运算法则进行括号内运算，再进行括号外的分式除法运算化简原式，再代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简． （2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果． 【详解】（1）解： （2） ． 20．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 21．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 22．甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 【答案】(1)， (2)时，两人同时到；时，乙先到． 【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本题的关键． （1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速度，再计算时间即可； （2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： 甲所需的时间为： 乙所需的时间为： （2）解：∵ ∵ ∴当时，，两人同时到； 当时，，，即，则乙先到． 答：时，两人同时到；时，乙先到． 23．一条小船顺流航行后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为，水流的速度为，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？ 【答案】小时 【分析】本题考查分式加减的应用，先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间． 【详解】 解：依题意有 小时. 答：顺流航行比逆流航行少用 小时． 【点睛】 24．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的规律以及分式的化简，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为；；；；… 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第5个等式为：． 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边 右边， 所以此等式成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $