专题二 压轴题题型训练（第一章 三角形的证明）模型讲练+培优检测 共49题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册专项复习培优讲义

专题二 压轴题题型训练 （第一章 三角形的证明） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 模型讲练 1 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 1 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 5 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 10 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 13 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 15 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 20 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 23 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 25 模型讲练九 找出图中的等腰三角形 30 模型讲练十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 33 模型讲练十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 37 模型讲练十二 等边三角形的判定和性质 40 模型讲练十三 含30度角的直角三角形 44 模型讲练十四 直角三角形的两个锐角互余 47 模型讲练十五 锐角互余的三角形是直角三角形 50 模型讲练十六 线段的垂直平分线的性质与判定 52 模型讲练十七 角平分线的性质与判定 54 培优检测 能力提升 57 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 【典例分析】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【完整解答】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式训练】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；；（2）①互余，理由见解析；②；（3）10秒或16秒． 【思路引导】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①利用平行线的性质及角平分线的定义推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【完整解答】（1）证明；如图1，延长到点， 过点作的平行线． （两直线平行，同位角相等）． ． ； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即与互余； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，   ∴； （3）∵旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为（秒），此时，延长交于点Q， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， ∴（秒）， 综上，的值为10秒或16秒． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例分析】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 【答案】(1)，， (2)， (3)或 【思路引导】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论； （2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论； （3）直线与的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论． 【完整解答】（1）解：当平分时，如解图1； 又∵平分， ∴，， ， ∴， ∴； 当平分时，如解图2； 又∵平分， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， （2）当平分时，，，如解图3， ∴，， ，， ∴，， ∴，即 ∴， 当平分时，， 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵，， ∴， ①当时，如解图5，则， ∵， ∴； ②当时，如解图6，点P在射线的反向延长线上，不合题意舍去， 中，； ③当时，延长交直线于H，如图7，则， ∵， ∴ 中，； 综上，的度数为或． 【变式训练】问题情境：    (1)如图1，已知，求证：；（过A点作，请按照上述思路继续完成证明过程） 尝试运用： (2)如图2，若，且经过A点，，求的度数； 拓广探索： (3)如图3，在中，点D是延长线上的一点，点M是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，与交于点F，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】[问题情境]过点作, 根据平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论； 如图2, 过作,根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的性质即可得到结论； 由结合外角的性质可得出, 再根据角平分线的定义可得出 ，由此可得出 ，从而得出 根据的度数即可得出结论. 【完整解答】（1）证明: 过点作, ∴, ∵, ∴； （2）如图2,过作,   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵, ∴. ∵平分, 平分, ∴，， ， ． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等 (或互补) 的角是关键. 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例分析】已知，点D、F分别为线段上两点，连接交于点E． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1)180 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由余角性质可得，进而由即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可求解； （3）作的平分线交于，可证，得到，同理，进而即可求证． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：180． （2）解：∵平分，平分， ， ， （3）解：作的平分线交于M， ∵， ， ， 平分， ， 在与中 ， ， ， 同理， ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上移动． 【探究发现】 如图①，是的外角的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）若，则__________． （2）的度数会随着点，的移动而发生变化吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，求的度数． 【答案】（1） （2）不会   见解析 （3）． 【思路引导】本题考查了内外角平分线求角，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）由题干可知是直角三角形，根据已知度数可求得和的度数，再根据角平分线可求得和的度数，进而推出的度数； （2）首先判断不会发生变化，然后进行证明；根据角平分线求出的表达式发现是一个定值，即不会变化； （3）按照第二问的求证思路进行求解即可． 【完整解答】解：（1）在中， ∴ ∵BC平分，AD平分 ∴， ∴． （2）不会．理由如下： ，分别平分，， ，， ， 的度数不会随着点，的移动而发生变化． （3），， ． 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 【典例分析】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【完整解答】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图， ． 【答案】/度 【思路引导】本题主要考查三角形的内角和为，将所求角的度数转化为某些三角形的内角和是解题的关键． 由，得所求角的度数和等于的内角和，即可得到答案． 【完整解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 【典例分析】（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【完整解答】（1）解： 沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何中角度的计算，根据题意利用折叠的性质构造平行线，逐一判断即可． 【完整解答】如图，当点落在的边上时， ，，．， ， 即为是直角三角形， 当点落在的边上时， ， 同理，， 是直角三角形，故①正确； 当点落在的边上时， ，， ， ，不一定成立，故②错误； 当点落在内部时， 过点作，点作，则， ①当在和之间时， ，， ， ，， ， ， ②当与重合时， ， ， ，， ， ③当在的上方时， ， ，，， ，，， ， 综上，， 故③正确； 当点落在的边下方时，过点作，点作， ， 则， ， ，， ， ， ； 当点落在的边上方时，过点作，点作， ， 则， ，， ， ， ， ， ， ，即； ，故④正确； 故选：D． 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 【典例分析】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得出，然后根据高线的定义即可求出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出，根据高线和三角形内角和定理得出，然后根据角的和差即可得出答案． 【完整解答】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知和为一副直角三角板，． (1)将一副直角三角板按照图①所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上．两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是__________． (2)如图②，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一周，每秒旋转10°．在此过程中，经过多长时间边与边互相平行？ 【答案】(1)105° (2)经过或边与边互相平行 【思路引导】（1）利用平行线的性质和三角形内角和，求出的度数； （2）分两种情况讨论与平行时的位置关系，结合三角板的角度，计算出旋转的角度，再根据旋转速度求出时间． 【完整解答】（1）解：∵，， 在中，， ． ∴． （2）解：设经过边与边互相平行． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当在下方时，， 由题意，得，解得； ②如图②，当在上方时，， 由题意，得，解得． 综上所述，经过或边与边互相平行． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、旋转的性质以及分类讨论思想，解题关键是利用平行线的性质和旋转的角度关系建立方程，同时注意分类讨论平行的两种情况． 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定，证明是解题的关键． （1）可证明，再利用证明得到，再由等角对等边可证明结论； （2）可证明，得到，再由三角形内角和定理可推出，据此可证明结论． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24九年级上·河南商丘·期末）综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【思路引导】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解； （3）过点C作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求出的长． 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；， ∴； ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过点C作，且，连接，    ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 【典例分析】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形网格中，其顶点称为格点，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)在图1中画出，使，且． (2)在图2中画出，使，且． (3)在图3中画出，使，且非直角三角形，该的面积为________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析，． 【思路引导】本题主要考查了网格中的等腰直角三角形构造、勾股定理的应用及三角形面积的计算，熟练掌握网格的边长特征与勾股定理是解题的关键． （1）取格点，连接、，则点为所求； （2）取格点，连接、，则点为所求； （3）取格点，连接、，则点为所求，利用割补法求出面积即可； 【完整解答】（1）解：如图，点即为所求； 证明：，，， ∴．， ∴． （2）解：如图，点为所求； 证明：，，， ∴．， ∴． （3）解：如图，点即为所求； ∵，， ∴． 的面积为． 【变式训练】由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，，都是格点，点是与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：           (1)在图1中画出格点，使； (2)在图1中画出矩形； (3)在图2中画出的角平分线； (4)在图2中画出点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析． 【思路引导】（1）如图3，利用网格图中全等三角形可得点D； （2）如图3，连接格点，与格线交于点Q，四边形即为所求；如图，可证， ，，可进一步证明，，于是，所以，从而四边形为矩形，即为所求； （3）延长至格点N，连接，经过格点Z，射线交于点M，线段即为所求．由网格图知，，点Z是线段的中点，故平分，所以，线段即为所求； （4）如图，连接格点，交于点T，延长交于点，即为所求．由图可知，得，可证，于是，所以点E是点C关于的对称点． 【完整解答】（1）解：如图3，，点D为所求． 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 点D即为所求．    （2）解：如图3，连接格点，与格线交于点Q，四边形即为所求，同（1）可证， ∴ ∴ 同（1）可证 ∴ 又, ∴ ∴ ∴四边形为矩形，即为所求． （3）解：延长至格点N，连接，经过格点Z，射线交于点M，线段即为所求． 由网格图知，， ∴ 由图知，点Z是线段的中点， ∴平分 ∴是角平分线，即为所求．       （4）解：如图，连接格点，交于点T，延长交于点，即为所求． 由图知，， ∴ ∵，点Z是中点， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴点E是点C关于的对称点．    【考点剖析】本题考查勾股定理，全等三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，矩形的判定，轴对称；灵活利用网格图寻求等角及相等线段是解题的关键． 模型讲练九 找出图中的等腰三角形 【典例分析】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【完整解答】（1）解：如图所示： （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 【变式训练】（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【完整解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 模型讲练十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例分析】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【完整解答】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】(1)10 (2)当点P在线段上时，；点P在射线上时， (3)t的值为5或6或 (4)或 【思路引导】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【考点剖析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 模型讲练十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例分析】（23-24八年级上·湖南衡阳·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)厘米 (2)3秒、秒、6秒、秒 (3)2或6秒 【思路引导】（1）本题考查勾股定理，根据运动得到结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查动点围城等腰三角形问题，分类讨论等腰三角形的腰，结合勾股定理及动点路程问题根据腰相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查勾股定理及动点三角形周长问题，根据题意得到动点位置结合运动表示出线段的长度根据周长相等列式求解即可得到答案； 【完整解答】（1）解：如图1，由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ； （2）解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： ⅰ）如图3，若使， 此时，运动的路程为， ∴用的时间为，为等腰三角形； ⅱ）如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为，作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ）如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； （3）解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【变式训练】如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【思路引导】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【完整解答】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 模型讲练十二 等边三角形的判定和性质 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图①，是等边三角形，，分别交，于点，． (1)请补全证明过程． 证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ， （ ）． 是等腰三角形． 又，是等边三角形． (2)如图②，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得．求证：是等边三角形． 【答案】(1)，，等角对等边 (2)见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，外角定理，掌握等边三角形的角为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． （1）利用平行线的同位角相等，结合等边三角形的角为，得到，从而由等角对等边得，再结合判定等边三角形； （2）利用等边三角形角平分线的性质求出和的度数，通过外角定理得，结合判定等边三角形． 【完整解答】（1）解：∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（等角对等边） ∴是等腰三角形 ∵ ∴是等边三角形 （2）证明：是等边三角形， ． 是的平分线，是的平分线， ，， ． 是的外角， ． ， 是等边三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在等边三角形ABC中，，P是AB边上一动点，作，垂足为E；过点E作，垂足为F；过点F作，垂足为Q． (1)设，，则y与x之间的函数关系式为_______________． (2)当点P和点Q重合时，线段EF的长为_______． (3)当点P和点Q不重合，但线段PE，FQ相交时，求它们与线段EF围成的三角形的周长m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）由已知等边中，可得每个角都是，根据作，垂足为；过点作，垂足为；过点作，得三个直角三角形且都有的角，据此用可表示出，，，相继表示出，，求出与之间的函数关系式； （2）当点和点重合时，满足，结合（1）中所求可求出的值，由此可求出线段的长； （3）当点和点不重合，但线段，相交时，根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是，即所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于长，由题意得，可求出的范围，当点和点重合时，最短，求出的值，即可得到的取值范围．． 【完整解答】（1）解：． 是等边三角形，． ，． ，，， ， ，，，. ∴， ∴． （2）解：． 当点和点重合时，满足，即， 解得：， ． （3）解：设线段，相交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ∴是等边三角形， ∵点与点不重合，且线段，相交， ，即， ， ． 又， ． 又，， ， ∴当点和点重合时，最短，长度为， ． 【考点剖析】此题考查的是等边三角形判定和性质以及一次函数问题，解题的关键是由已知等边三角形和已知作的垂线得角的直角三角形求解． 模型讲练十三 含30度角的直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且交于点P，，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为10 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得、，进而根据证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）由（1）可得、即；然后说明为直角三角形、，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【完整解答】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴ ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【完整解答】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 模型讲练十四 直角三角形的两个锐角互余 【典例分析】（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，在中，，是高，，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．6 D．16 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了角直角三角形的性质，直角三角形的性质．根据直角三角形锐角互余得到，然后在和中运用角直角三角形的性质求解即可． 【完整解答】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或2． 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形面积与线段比的关系，分类讨论思想，掌握勾股定理及其逆定理，以及分类讨论的方法是解题的关键． （1）先求出的长度，由得到的长度，再用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到，最后在中用勾股定理求的长． （2）分点在线段上和延长线上两种情况，由面积比得到与的比例，求出的长度，再通过角度关系证明，进而得到的长． 【完整解答】（1）解：， ． ，， ， 是直角三角形，且， ． 在中，． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ． ，， ； ②当点在线段的延长线上时，如图． ， ， ． ， ． 同理可得， ． 综上所述，的长为或2． 模型讲练十五 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【思路引导】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【完整解答】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 【变式训练】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点O，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)猜想线段，，三者有什么数量关系，并说明理由； (3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（可以作辅助线，只要提出问题，不需要解答）． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质， 对于（1），根据等边三角形的性质得，再根据平行线的性质得，，则此题可证； 对于（2），先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，同理可得，再根据等边三角形的性质得出答案； 对于（3），结合题意可知点A，O在的垂直平分线上，再提出问题即可． 【完整解答】（1）证明：是等边三角形， ． ，， ，， 是等边三角形； （2）解：． 理由：平分， ． ， ， ， ． 同理，．由（1）知是等边三角形， ， ； （3）解：答案不唯一，如：①连接并延长，交于点F，求证：是直角三角形； ②若等边三角形的边长为1，求边上的高． 模型讲练十六 线段的垂直平分线的性质与判定 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解． （1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得结论． 【完整解答】（1）证明：是等边三角形， ． ， ∴点B、点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【完整解答】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：D． 模型讲练十七 角平分线的性质与判定 【典例分析】（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上． (1)求的度数； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【思路引导】本题主要考查角平分线、垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据题意，可得，又平分，则，进而得到，结合内角和即可得到； （2）由30度直角三角形的性质，得，结合，则，再根据即可求解． 【完整解答】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了作角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （3）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【完整解答】（1）解：即为的平分线，如图所示 （2）解：如图，过点作于点． 因为平分，，， 所以， 所以 （3）证明：过点分别作于，于． 平分 同理 在和中： 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查三角形外角的性质，由得，由可求出的度数 【完整解答】解：∵，， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查折叠问题、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，由于，所以，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案． 【完整解答】解：∵等腰直角中，∵， ∴， ∵折叠 ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 中，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 的周长等于； ∵， ∴不平分， ∴①，③错误，②④正确， 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据线段垂直平分线性质得，，，再根据的周长为得的长，再根据的周长为，即可得解． 【完整解答】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，点，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的边长为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据等边三角形的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质和图形规律即可解答． 【完整解答】解：如图所示： 为等边三角形， ，， ． ， ． ， ． ， ， ． ，等边三角形， ，． ，，， ，， ，， ，， ，，， 以此类推，． 故选：C． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】利用三角形外角性质计算即可． 本题考查了三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【完整解答】解：根据题意，得， 故答案为：110． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 【答案】28 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 【完整解答】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】或 【思路引导】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分和两种情况讨论求解即可． 【完整解答】解：设， ∵是的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴，　 ∴ 连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的平分线， ∴， ∴且 ∵是等腰三角形， ∴有两种情况： ①，此时， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②，此时， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在等边的顶点A、C处各有一只蚂蚁，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过后，它们分别爬到了D、E处，连接，和交于点F，则 ． 【答案】/120度 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的定义和性质．先证明 ，推出，再根据三角形外角的性质得出，等量代换后即可求解． 【完整解答】解： 是等边三角形， ，， 又两只蚂蚁以相同的速度爬行， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形的内角和问题．根据题意，易得垂直平分，进而推出，根据角平分线定义，得到，再由三角形的内角和定理得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)， 【思路引导】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）解：∵， ， ， ． 12．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)方案一所铺设的管道总长较短，见解析 【思路引导】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论． 【完整解答】（1）解：是直角三角形． 理由如下：因为， 所以，所以是直角三角形； （2）因为的， 所以（千米）． 方案一：铺设的管道总长为：（千米）； 方案二：铺设的管道总长为： （千米）， 因为千米＜千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 13．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点． （1）通过角度计算证明是等边三角形从而得出边相等； （2）利用含角的直角三角形的性质结合求出，再根据角度关系得出的长度即可． 【完整解答】（1）证明：由题意，得，． 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ． 又， ， ， ． ， ． 14．（25-26八年级上·山东德州·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【完整解答】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）     （2）    见解析 （3） 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理与角度的整体转化，掌握通过角度的加减与整体代换，将所求角转化为已知角的和差关系是解题的关键． （1）先在中用内角和求，再在中求，最后通过角的加减得到； （2）从特殊情况推广到一般，利用三角形内角和定理，将整体转化为，从而推导出与的数量关系； （3）改变三角尺位置后，重新分析角的组成，将和分别表示为与的组合，再通过内角和代换得到新的数量关系． 【完整解答】解：（1）在中，， 根据三角形内角和： 在中，，同理： （2）．证明如下： ， ， ． （3）． ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 压轴题题型训练 （第一章 三角形的证明） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 模型讲练 1 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 1 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 3 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 4 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 6 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 6 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 7 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 8 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 9 模型讲练九 找出图中的等腰三角形 10 模型讲练十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 11 模型讲练十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 12 模型讲练十二 等边三角形的判定和性质 13 模型讲练十三 含30度角的直角三角形 14 模型讲练十四 直角三角形的两个锐角互余 15 模型讲练十五 锐角互余的三角形是直角三角形 16 模型讲练十六 线段的垂直平分线的性质与判定 17 模型讲练十七 角平分线的性质与判定 17 培优检测 能力提升 18 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 【典例分析】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【变式训练】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例分析】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 【变式训练】问题情境：    (1)如图1，已知，求证：；（过A点作，请按照上述思路继续完成证明过程） 尝试运用： (2)如图2，若，且经过A点，，求的度数； 拓广探索： (3)如图3，在中，点D是延长线上的一点，点M是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，与交于点F，若，求的度数． 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例分析】已知，点D、F分别为线段上两点，连接交于点E． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上移动． 【探究发现】 如图①，是的外角的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）若，则__________． （2）的度数会随着点，的移动而发生变化吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，求的度数． 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 【典例分析】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图， ． 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 【典例分析】（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 【典例分析】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知和为一副直角三角板，． (1)将一副直角三角板按照图①所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上．两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是__________． (2)如图②，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一周，每秒旋转10°．在此过程中，经过多长时间边与边互相平行？ 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：． 【变式训练】（23-24九年级上·河南商丘·期末）综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 【典例分析】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形网格中，其顶点称为格点，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)在图1中画出，使，且． (2)在图2中画出，使，且． (3)在图3中画出，使，且非直角三角形，该的面积为________． 【变式训练】由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，，都是格点，点是与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：           (1)在图1中画出格点，使； (2)在图1中画出矩形； (3)在图2中画出的角平分线； (4)在图2中画出点关于的对称点． 模型讲练九 找出图中的等腰三角形 【典例分析】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【变式训练】（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 模型讲练十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例分析】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 模型讲练十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例分析】（23-24八年级上·湖南衡阳·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【变式训练】如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 模型讲练十二 等边三角形的判定和性质 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图①，是等边三角形，，分别交，于点，． (1)请补全证明过程． 证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ， （ ）． 是等腰三角形． 又，是等边三角形． (2)如图②，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得．求证：是等边三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在等边三角形ABC中，，P是AB边上一动点，作，垂足为E；过点E作，垂足为F；过点F作，垂足为Q． (1)设，，则y与x之间的函数关系式为_______________． (2)当点P和点Q重合时，线段EF的长为_______． (3)当点P和点Q不重合，但线段PE，FQ相交时，求它们与线段EF围成的三角形的周长m的取值范围． 模型讲练十三 含30度角的直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且交于点P，，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 模型讲练十四 直角三角形的两个锐角互余 【典例分析】（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，在中，，是高，，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．6 D．16 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 模型讲练十五 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【变式训练】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点O，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)猜想线段，，三者有什么数量关系，并说明理由； (3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（可以作辅助线，只要提出问题，不需要解答）． 模型讲练十六 线段的垂直平分线的性质与判定 【典例分析】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模型讲练十七 角平分线的性质与判定 【典例分析】（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上． (1)求的度数； (2)当时，求的值． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，点，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的边长为 （ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为 ．    9．（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在等边的顶点A、C处各有一只蚂蚁，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过后，它们分别爬到了D、E处，连接，和交于点F，则 ． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为 ． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 12．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 13．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 14．（25-26八年级上·山东德州·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $