专题一 高频易错题题型训练（第一章 三角形的证明）模型讲练+培优检测 共47题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册专项复习培优讲义

专题一 高频易错题题型训练 （第一章 三角形的证明） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 模型讲练 1 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 1 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 3 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 7 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 10 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 12 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 14 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 16 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 20 模型讲练九 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 23 模型讲练十 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 26 模型讲练十一 等边三角形的判定和性质 29 模型讲练十二 含30度角的直角三角形 31 模型讲练十三 直角三角形的两个锐角互余 35 模型讲练十四 锐角互余的三角形是直角三角形 37 模型讲练十五 线段的垂直平分线的性质和判定 39 模型讲练十六 角平分线的性质和判定 42 培优检测 能力提升 46 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 【典例分析】（24-25八年级上·江西上饶·期末）一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论； （2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【完整解答】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】（23-24七年级下·江西赣州·期末）【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 【答案】（1）44；57；79；（2）见解析（3），证明过程见解析 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， （2）结合（1）可得出结论； （3）由（2）得三角形内角和为，即可得出结论． 【完整解答】（1）解： ， ； ； 直线过点A， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ，即三角形内角和为； （3）解：由（2）三角形内角和为，即， ， ． 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例分析】如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【完整解答】（1）∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期中）已知直线，点，分别在直线，上，．点是直线上的动点（不与点重合），连接，和的平分线所在直线交于点． (1)如图1，若，点在射线上．则当时，______； (2)如图2，若，点在射线上． ①补全图形； ②探究与的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，若，直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1)20 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)或 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． （1）根据图形1，由平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可； （2）①先根据（1）中做法补全图形；②根据平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理得出与的数量关系； （3）分点在射线上和点在射线上两种情况，平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可． 【完整解答】（1）解：，点在射线上，，， ，， ， 、分别平分、， ，， ， ， ． 故答案为：20； （2）解：①若，点在射线上， 补全图形，如图所示： ②与的数量关系是，证明如下： ， ，， 、分别平分、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：若，则与的数值关系是：或． 当点在射线上时， ， ，， ，， 、分别平分、， ，， ， ， ， ； 当点在射线上时， ， ，， 、分别平分、， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，与的数值关系是或． 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例分析】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么 ． 【答案】/71度 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【完整解答】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 【典例分析】（25-26八年级上·山东青岛·期末）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用． 根据和的度数分别求出的度数，结合，求出，再由角平分线定理得到，结合三角形的内角和定理可得答案． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）     （2）    见解析 （3） 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理与角度的整体转化，掌握通过角度的加减与整体代换，将所求角转化为已知角的和差关系是解题的关键． （1）先在中用内角和求，再在中求，最后通过角的加减得到； （2）从特殊情况推广到一般，利用三角形内角和定理，将整体转化为，从而推导出与的数量关系； （3）改变三角尺位置后，重新分析角的组成，将和分别表示为与的组合，再通过内角和代换得到新的数量关系． 【完整解答】解：（1）在中，， 根据三角形内角和： 在中，，同理： （2）．证明如下： ， ， ． （3）． ． 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 【典例分析】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【完整解答】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【变式训练】（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 【答案】 【思路引导】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【完整解答】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查折叠的性质、平行线的性质、矩形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质和角与角之间的关系是解题的关键． 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 【典例分析】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路引导】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【完整解答】（1）解：由条件可知， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又， ， 即． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知和为一副直角三角板，． (1)将一副直角三角板按照图①所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上．两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是__________． (2)如图②，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一周，每秒旋转10°．在此过程中，经过多长时间边与边互相平行？ 【答案】(1)105° (2)经过或边与边互相平行 【思路引导】（1）利用平行线的性质和三角形内角和，求出的度数； （2）分两种情况讨论与平行时的位置关系，结合三角板的角度，计算出旋转的角度，再根据旋转速度求出时间． 【完整解答】（1）解：∵，， 在中，， ． ∴． （2）解：设经过边与边互相平行． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当在下方时，， 由题意，得，解得； ②如图②，当在上方时，， 由题意，得，解得． 综上所述，经过或边与边互相平行． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、旋转的性质以及分类讨论思想，解题关键是利用平行线的性质和旋转的角度关系建立方程，同时注意分类讨论平行的两种情况． 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作于点，若，则为（   ） A．4 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合已知可得，根据三线合一的性质即可求解． 【完整解答】解：∵，，， ∴，则 ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【思路引导】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【完整解答】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【考点剖析】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． (2)在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用网格，取格点，使即可； （2）利用网格，取格点，使即可． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，即为所求． 【考点剖析】本题考查作图−应用与设计作图、等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．    (1)如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使； (2)如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据平行线的判定与性质画出直线即可；取格点Q，使且，连接，交直线于点P，则点P即为所求． （2）根据三角形的高的定义画出即可；取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G，则点G即为所求． 【完整解答】（1）解：如图，直线即为所求． 取格点Q，使且，连接，交直线于点P， 则点P即为所求．    （2）解：如图，即为所求． 取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G， 则点G即为所求．    【考点剖析】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 模型讲练九 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例分析】如图是一张长方形纸片，已知，，点、在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则构成等腰三角形的个数为 ．，其中一个等腰三角形边最长是 【答案】 3 【思路引导】分三种情况当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【完整解答】解：∵，，， ∴，， 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 如图所示，当，是等腰三角形时，过点作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 综上所述，长是或或，最长的为 故答案为：；． 【考点剖析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式训练】如图1，，，． (1)求证：； (2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路引导】（1）先证明，根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定方法判断即可． 【完整解答】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ （）， ∴． （2）如图： 由（1）可知， ∴是等腰三角形； ∵点E是的中点，， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故等腰三角形有，，，． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 模型讲练十 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例分析】（23-24八年级上·湖南衡阳·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)厘米 (2)3秒、秒、6秒、秒 (3)2或6秒 【思路引导】（1）本题考查勾股定理，根据运动得到结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查动点围城等腰三角形问题，分类讨论等腰三角形的腰，结合勾股定理及动点路程问题根据腰相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查勾股定理及动点三角形周长问题，根据题意得到动点位置结合运动表示出线段的长度根据周长相等列式求解即可得到答案； 【完整解答】（1）解：如图1，由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ； （2）解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： ⅰ）如图3，若使， 此时，运动的路程为， ∴用的时间为，为等腰三角形； ⅱ）如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为，作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ）如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； （3）解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【变式训练】如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【思路引导】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【完整解答】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 模型讲练十一 等边三角形的判定和性质 【典例分析】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，点是边延长线上一点，且． (1)尺规作图：过点作，与交于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，，为中点．求的长． 【答案】(1)图见解析； (2)的长为． 【思路引导】（1）由外角性质可得，以点为圆心，适当的长为半径分别交、于点、，再以点为圆心，相同的长为半径画弧交于点，连接，以点为圆心，为半径交弧于点，连接并延长交于点，交于点，即为所求； （2）结合中点定义、等角对等边、含的直角三角形特征得，，再结合等边三角形的判定与性质可得，由求出，最后由是含的直角三角形即可求出的长． 【完整解答】（1）解：是的外角， ， 如下图，即为所求： （2）解：如图， 为中点， ， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， ，， ， ． 故的长为． 【考点剖析】本题考查的知识点是尺规作图作相等角、等角对等边、含的直角三角形特征、外角性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握尺规作图作相等角． 【变式训练】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 模型讲练十二 含30度角的直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则 ；（用含x的式子表示） (2)当时，求 ； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 【答案】(1) (2)8 (3)线段的长不发生变化，始终等于3，理由见详解 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形性质得，，再根据即可得出的长； （2）依题意得设，则，，由三角形内角和定理得，则是直角三角形，进而得，则，由此解出，继而可得的长； （3）过点P作，交于点H，则，，，由此得是等边三角形，则，，由此证明和全等得，则，然后根据得． 【完整解答】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意得：， 当时，设， ∴，， 在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8； （3）解：线段的长不发生变化，始终等于3，理由如下： 过点P作，交于点H，如图所示： ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：线段的长不发生变化，始终等于3． 【变式训练】（25-26八年级上·青海西宁·期末）如图，等边三角形的边长是，动点分别从两点同时出发，沿边匀速运动，的运动速度分别是，当点N到达点B时，两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定， 设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可． 【完整解答】解：设t秒后，是直角三角形， 则，， ∴． 若时，如图， ∵是等边三角形， ∴，   ∴， ∴， 即， 解得：， 即N到达B点时； 同理可得若时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得：当或时，是直角三角形． 故答案为：或． 模型讲练十三 直角三角形的两个锐角互余 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【完整解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质，掌握通过作辅助线构造平行线进行角的转化，结合角平分线和三角形内角和推导角度关系是解题的关键． 作辅助线构造平行线，将转化为；再利用角平分线和三角形内角和，通过角的差推导，从而得证． 【完整解答】证明：如图，过点作于点． ， ． 平分， ． ， ， ， ． ，， ， ， ． 模型讲练十四 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【完整解答】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式训练】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点O，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)猜想线段，，三者有什么数量关系，并说明理由； (3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（可以作辅助线，只要提出问题，不需要解答）． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质， 对于（1），根据等边三角形的性质得，再根据平行线的性质得，，则此题可证； 对于（2），先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，同理可得，再根据等边三角形的性质得出答案； 对于（3），结合题意可知点A，O在的垂直平分线上，再提出问题即可． 【完整解答】（1）证明：是等边三角形， ． ，， ，， 是等边三角形； （2）解：． 理由：平分， ． ， ， ， ． 同理，．由（1）知是等边三角形， ， ； （3）解：答案不唯一，如：①连接并延长，交于点F，求证：是直角三角形； ②若等边三角形的边长为1，求边上的高． 模型讲练十五 线段的垂直平分线的性质和判定 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是垂直平分线上的一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先由线段垂直平分线的性质得到，然后证明即可； （2）连接，先证明，则设，则，那么，即可求解． 【完整解答】（1）证明：连接， ∵点是垂直平分线上的一点， ∴ ∵，，， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，，， ∴ ∴， 设， 则， ∴， 解得，即． 【变式训练】已知：中，，，．点P在上以的速度从A向B运动，动点Q从B向C以的速度运动．运动时间为t，一个点到终点另外一个点也停止运动． (1)t为何值时，B在线段的垂直平分线上？ (2)连接 ，设四边形的面积为y，写出y与t的关系式． (3)t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)2或5 【思路引导】本题考查了在三角形中的双动点的相关知识，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线的性质，转化法求面积及分类讨论是解题的关键． （1）当时，点B在线段的垂直平分线上； （2）四边形的面积等于的面积减去的面积． （3）根据这个条件，当为直角三角形时，分两种情况讨论，根据在直角三角形中，对应的直角边是斜边的一半，可求出t的值． 【完整解答】（1）解：由题意得，，，， 当时，点B在线段的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴，点B在线段的垂直平分线上； （2）解：如图1，连接，分别过点A，P作的垂线，垂足分别为D，E． ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可求得， ∴， ∴四边形的面积； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图2，． ∵， ∴， ∴，即， 解得； ②如图3，． ∵， ∴， ∴，即， 解得． 综上所述，当t的值为2或5时，为直角三角形． 模型讲练十六 角平分线的性质和判定 【典例分析】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则在中边上的高为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题角平分线的作法和性质，直角三角形的性质，过点作于，由作图可知是的角平分线，即得，又根据直角三角形的性质得，即得到，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【完整解答】解：如图，过点作于， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线交于点． 若，点为中点． (1)【问题解决】线段与的位置关系为______． (2)【尝试证明】求证：； (3)【拓展提高】若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【思路引导】（1）根据得，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得结论； （2）如图，过点E作于点F，根据作图过程可知，平分，根据角平分线的性质得，证明得，即可推出，进而可得结论； （3）如图，延长交于，求解，证明，可得，，进一步可得，可得． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点E作于点F， 由作图过程可知：平分， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识． 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小桐把一副直角三角尺按如图的方式摆放在一起，其中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据三角形外角性质可得，，然后利用三角形内角和定理计算即可．本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【完整解答】解：如图， ∵，， ∵，， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【完整解答】解： 是的外角， ， ， ， 故选：D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，由等腰三角形三线合一的性质得出，，再由勾股定理即可得出． 【完整解答】解：∵，平分， ∴，， ∴， 故选A． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和39，则的面积为（   ） A．1 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等，作交于M，作，利用角平分线的性质得到，将三角形的面积转化为三角形的面积来求． 【完整解答】解：作交于M，作， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积分别为50和39， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是角平分线的性质、含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【完整解答】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 的面积为：， 故选：． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为 ． 【答案】75 【思路引导】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，垂足为，由角平分线的性质可得，得出，再求解即可． 【完整解答】解：作，垂足为，如图， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为50， ， ， 故答案为：75． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，垂直平分，与交于点，与交于点．若，，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质，可得，则，推出，即可得出，从而判断三角形的形状． 【完整解答】解：∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【考点剖析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和钝角三角形的判定，知道线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键． 9．（2026·辽宁阜新·一模）一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【思路引导】本题考查平行线性质，三角尺角度，角度计算等．根据题意可知，再利用平行线性质可得，继而求得本题答案． 【完整解答】解：∵一副直角三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【完整解答】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】16 【思路引导】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形30度所对的直角边是斜边的一半等内容，作E关于直线的对称点，连接时最小，此时也是最小，再求解即可． 【完整解答】解：作E关于直线的对称点，连接则， 当、P、F三点共线时取等， 而时最小，此时也是最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 12．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由平行线的判定定理证明． （1）先由角平分线的性质可得，再由，即可得，再由“内错角相等，两直线平行”证明即可； （2）根据三角形内角和为求解出的度数，再由，即“两直线平行，同位角相等”即可求解的度数． 【完整解答】（1）证明：∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 13．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查直角三角形的判定，高的定义，角平分线的性质，对顶角相等； （1）由题意得，即，，得即可解答； （2）由题意得，，，得即可解答． 【完整解答】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：∵是的角平分线， ∴． 由（1）得，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义，正确掌握平行线的判定与性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再证明，则，等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和定理列式计算，即可作答． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【完整解答】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 高频易错题题型训练 （第一章 三角形的证明） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 模型讲练 1 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 1 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 3 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 4 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 5 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 6 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 6 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 7 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 8 模型讲练九 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 9 模型讲练十 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 10 模型讲练十一 等边三角形的判定和性质 10 模型讲练十二 含30度角的直角三角形 11 模型讲练十三 直角三角形的两个锐角互余 12 模型讲练十四 锐角互余的三角形是直角三角形 13 模型讲练十五 线段的垂直平分线的性质和判定 14 模型讲练十六 角平分线的性质和判定 15 培优检测 能力提升 16 模型讲练一 三角形内角和定理的证明 【典例分析】（24-25八年级上·江西上饶·期末）一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【变式训练】（23-24七年级下·江西赣州·期末）【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 模型讲练二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例分析】如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期中）已知直线，点，分别在直线，上，．点是直线上的动点（不与点重合），连接，和的平分线所在直线交于点． (1)如图1，若，点在射线上．则当时，______； (2)如图2，若，点在射线上． ①补全图形； ②探究与的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，若，直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 模型讲练三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例分析】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么 ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 模型讲练四 三角形内角和定理的应用 【典例分析】（25-26八年级上·山东青岛·期末）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则 ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 模型讲练五 三角形折叠中的角度问题 【典例分析】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 模型讲练六 三角形的外角的定义及性质 【典例分析】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知和为一副直角三角板，． (1)将一副直角三角板按照图①所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上．两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是__________． (2)如图②，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一周，每秒旋转10°．在此过程中，经过多长时间边与边互相平行？ 模型讲练七 等腰三角形的性质和判定 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作于点，若，则为（   ） A．4 B．8 C．9 D．6 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 模型讲练八 格点图中画等腰三角形 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． (2)在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．    (1)如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使； (2)如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G． 模型讲练九 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例分析】如图是一张长方形纸片，已知，，点、在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则构成等腰三角形的个数为 ．，其中一个等腰三角形边最长是 【变式训练】如图1，，，． (1)求证：； (2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 模型讲练十 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例分析】（23-24八年级上·湖南衡阳·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【变式训练】如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 模型讲练十一 等边三角形的判定和性质 【典例分析】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，点是边延长线上一点，且． (1)尺规作图：过点作，与交于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，，为中点．求的长． 【变式训练】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 模型讲练十二 含30度角的直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则 ；（用含x的式子表示） (2)当时，求 ； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 【变式训练】（25-26八年级上·青海西宁·期末）如图，等边三角形的边长是，动点分别从两点同时出发，沿边匀速运动，的运动速度分别是，当点N到达点B时，两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为 ． 模型讲练十三 直角三角形的两个锐角互余 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．求证：． 模型讲练十四 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例分析】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式训练】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点O，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)猜想线段，，三者有什么数量关系，并说明理由； (3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（可以作辅助线，只要提出问题，不需要解答）． 模型讲练十五 线段的垂直平分线的性质和判定 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是垂直平分线上的一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练】已知：中，，，．点P在上以的速度从A向B运动，动点Q从B向C以的速度运动．运动时间为t，一个点到终点另外一个点也停止运动． (1)t为何值时，B在线段的垂直平分线上？ (2)连接 ，设四边形的面积为y，写出y与t的关系式． (3)t为何值时，为直角三角形？ 模型讲练十六 角平分线的性质和判定 【典例分析】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则在中边上的高为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线交于点． 若，点为中点． (1)【问题解决】线段与的位置关系为______． (2)【尝试证明】求证：； (3)【拓展提高】若，，求的长． 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小桐把一副直角三角尺按如图的方式摆放在一起，其中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和39，则的面积为（   ） A．1 B．5.5 C．7 D．3.5 6．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为 ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，垂直平分，与交于点，与交于点．若，，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 9．（2026·辽宁阜新·一模）一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 12．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 13．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $