专题09三角形的中位线与梯形（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题09三角形的中位线与梯形 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】..........................3 【题型02 与三角形中位线有关的证明】..............................5 【题型03 三角形中位线的实际应用】................................8 【题型04 中点四边形】...........................................13 【题型05 等腰梯形的定义】.......................................16 【题型06 直角梯形的定义】.......................................19 【题型07 等腰梯形的性质定理】...................................21 【题型08 等腰梯形的判定定理】...................................24 【题型09 解答题4题】...........................................27 ➸知识梳理 知识点01:三角形的中位线 一、核心定义 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。 一个三角形有3 条中位线，与三角形中线（连接顶点与对边中点）不同。 二、核心定理（三角形中位线定理） 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC，且 MN=BC。 三、重要推论与拓展 1.三条中位线的性质 三条中位线围成的小三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形。 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 2.中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是平行四边形。 原四边形对角线相等 → 中点四边形是菱形。 原四边形对角线垂直 → 中点四边形是矩形。 原四边形对角线垂直且相等 → 中点四边形是正方形。 知识点02:梯形 一、核心定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。 上底 / 下底：平行的一组对边，短边为上底，长边为下底。 腰：不平行的一组对边。 高：两底之间的垂线段长度。 二、特殊梯形 1.等腰梯形 定义：两腰相等的梯形。 性质：① 同一底上的两个内角相等。② 对角线相等。③ 是轴对称图形，对称轴为上下底中点连线。 判定：① 两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）。② 同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形。③ 对角线相等的梯形是等腰梯形。 2.直角梯形 定义：有一个角是直角的梯形。 性质：有两个相邻的角是直角，其中一条腰垂直于底边。 三、梯形中位线定理 定义：连接梯形两腰中点的线段。 定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 公式：中位线长度 = (上底 + 下底) ÷ 2。 面积公式：梯形面积 = 中位线 × 高（S = m·h）。 已知：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 的中点，F 是 CD 的中点。 结论：EF∥AD，EF∥BC，且 EF=(AD+BC)。 四、梯形面积公式. 常规公式：S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。 中位线公式：S = 中位线 × 高。 【题型1.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 利用中位线的性质计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握它们是解题的关键；P，Q分别为的中点，得；再由矩形的性质得，即求解． 【详解】解：∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；连接，交于点O，先证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，得，然后由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵菱形的边长为10， ∴，， ∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 【跟踪专练3】如图所示，在中，点，分别是，的中点，是上一点，连接．若，则的长度为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，掌握相应的考点知识，是解答本题的关键．根据三角形中位线的性质可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，问题随之得解． 【详解】解：∵在中，D，E分别是，的中点， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型2.与三角形中位线有关的证明】 【典例】我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线 时，它的中点四边形一定是菱形． 【答案】相等 【分析】本题考查了四边形中点四边形的性质．连接四边形各边中点形成的中点四边形的各边，根据中位线定理，中点四边形的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线长度的一半，所以中点四边形的形状和原四边形的对角线性质有关． 【详解】解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 【跟踪专练1】如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答． 【详解】解：连接、， ∵在中，G、H为、的中点， ∴，且， 在中，E、F为、的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【答案】84 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 【跟踪专练2】数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 【答案】A 【分析】甲中，如图，连接，由矩形，可得，则、、、、分别是、、、的中位线，，，即，四边形是菱形；乙中，由折叠可知，，，由矩形，可得，，则，，，四边形是菱形． 【详解】解：甲中，如图，连接，    ∵矩形， ∴， ∴、、、、分别是、、、的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，符合要求； 乙中，由折叠可知，，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线，菱形的判定，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【跟踪专练3】如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 【分析】首先说明拼成的四边形是平行四边形，周长=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得结论． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知，BC=N′N″，M′M″=2DE， ∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，BC=2DE， ∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″， ∴四边形M′M″N″N′是平行四边形， ∴四边形M′M″N″N′的周长=2MN+10， 如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J． ∵S△ABC=•BC•AH=10，BC=5， ∴AH=4， ∵∠ABC=45°， ∴AH=BH=4， ∴CH=CB-BH=5-4=1， ∵AH∥EJ，AE=EC， ∴JH=JC=， ∴EJ=AH=2，BJ=BH+JH=， ∴BE=， 当MN⊥BC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值=14， 当MN与线段BE重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的最大，最大值= ， ∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为． 故答案为． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，三角形面积，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是求出MN的最大值和最小值，属于中考填空题中的压轴题． 【题型4.中点四边形】 【典例】已知矩形的对角线长为10，那么顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长为（      ） A．40 B．10 C．20 D．5 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到AC=BD=10，再根据三角形中位线定理得到EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5，最后求出中点四边形的周长即可． 【详解】如图， 因为矩形的对角线相等，所以AC=BD=10， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点， ∴EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5， 故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20． 故选:  C． 【点睛】本题比较简单，只要熟知矩形的对角线相等，三角形的中位线等于第三边的一半即可． 【跟踪专练1】如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 【跟踪专练2】若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，根据中点四边形的性质，无论原四边形的形状如何，顺次连接各边中点得到的四边形一定是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、， ∴是的中位线， 故且； 同理：且； ∴且， ∴四边形为平行四边形， 故选D． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 【题型5.等腰梯形的定义】 【典例】梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 【答案】 平行 不平行 【分析】本题考查了梯形的定义，就是只有一组对边平行的四边形是梯形． 根据梯形的定义，梯形是只有一组对边平行的四边形，因此一组对边互相平行，另一组对边不平行． 【详解】解：梯形是指一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形． 故答案为：平行；不平行． 【跟踪专练1】如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质．根据平移的性质得，由于，可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：如图所示：由平移的性质得，， ∵， ∴， 设交于点O，过O作于Q， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【跟踪专练2】如图，梯形中，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为 ．    【答案】 【分析】连接，则与的面积的比等于：，再根据得到与的面积的比等于：，设的面积为，则可以表示出与四边形的面积，再求出比值即可． 【详解】解：如图，连接，设的面积为， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积， ∴四边形的面积为 的面积：四边形的面积： ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了几何图形的面积问题，根据梯形的性质得到面积的关系从而得到三角形与四边形的面积的比是解决本题的主要思路． 【跟踪专练3】在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 【题型6.直角梯形的定义】 【典例】下列说法正确的有 ．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 【跟踪专练1】在梯形中，，，，，，则 ． 【答案】9或3 【分析】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【详解】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：，. ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 【题型7.等腰梯形的性质定理】 【典例】如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 【跟踪专练1】一个等腰梯形，它的上底是12厘米，下底是22厘米，高和上底一样长，则这个等腰梯形的周长是 厘米． 【答案】60 【分析】设等腰梯形为，厘米，厘米，过点A作梯形的高，则厘米，由勾股定理可求得腰长，从而可求得周长． 【详解】解：如图，过点A作梯形的高，E为垂足， 则厘米， 由等腰梯形的性质得：厘米， 在中，由勾股定理得（厘米） ∴等腰梯形的周长为：（厘米） 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，由勾股定理求得腰长是关键． 【跟踪专练2】在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作，得到四边形是矩形，推出证明，得到，求出厘米，，继而得到厘米，求出厘米， 得到（平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米），求出（平方厘米），计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作 等腰梯形中，， ， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，（厘米） ， ， ， （厘米）， （平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米）， ，， ， 厘米， 厘米，厘米 （平方厘米） （平方厘米）， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，等腰梯形中， ，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型8.等腰梯形的判定定理】 【典例】下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确． 故选：D． 【跟踪专练1】下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 【跟踪专练2】已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 【跟踪专练3】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 解答题 1．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①，理由： ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴， ∴； 选择②，理由： ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴， ∴． 故答案为：①或②． 2．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 3．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 4．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【答案】（1）①；；②见解析（2）见解析 【分析】（1）①根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论． ②从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法． （2）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）①中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 【点睛】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．对灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09三角形的中位线与梯形 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】..........................3 【题型02 与三角形中位线有关的证明】..............................4 【题型03 三角形中位线的实际应用】................................4 【题型04 中点四边形】............................................6 【题型05 等腰梯形的定义】........................................6 【题型06 直角梯形的定义】........................................7 【题型07 等腰梯形的性质定理】....................................8 【题型08 等腰梯形的判定定理】....................................8 【题型09 解答题4题】............................................9 ➸知识梳理 知识点01:三角形的中位线 一、核心定义 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。 一个三角形有3 条中位线，与三角形中线（连接顶点与对边中点）不同。 二、核心定理（三角形中位线定理） 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC，且 MN=BC。 三、重要推论与拓展 1.三条中位线的性质 三条中位线围成的小三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形。 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 2.中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是平行四边形。 原四边形对角线相等 → 中点四边形是菱形。 原四边形对角线垂直 → 中点四边形是矩形。 原四边形对角线垂直且相等 → 中点四边形是正方形。 知识点02:梯形 一、核心定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。 上底 / 下底：平行的一组对边，短边为上底，长边为下底。 腰：不平行的一组对边。 高：两底之间的垂线段长度。 二、特殊梯形 1.等腰梯形 定义：两腰相等的梯形。 性质：① 同一底上的两个内角相等。② 对角线相等。③ 是轴对称图形，对称轴为上下底中点连线。 判定：① 两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）。② 同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形。③ 对角线相等的梯形是等腰梯形。 2.直角梯形 定义：有一个角是直角的梯形。 性质：有两个相邻的角是直角，其中一条腰垂直于底边。 三、梯形中位线定理 定义：连接梯形两腰中点的线段。 定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 公式：中位线长度 = (上底 + 下底) ÷ 2。 面积公式：梯形面积 = 中位线 × 高（S = m·h）。 已知：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 的中点，F 是 CD 的中点。 结论：EF∥AD，EF∥BC，且 EF=(AD+BC)。 四、梯形面积公式. 常规公式：S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。 中位线公式：S = 中位线 × 高。 【题型1.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D．9 【跟踪专练2】如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图所示，在中，点，分别是，的中点，是上一点，连接．若，则的长度为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【题型2.与三角形中位线有关的证明】 【典例】我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线 时，它的中点四边形一定是菱形． 【跟踪专练1】如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【跟踪专练1】如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【跟踪专练2】数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 【跟踪专练3】如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 ． 【题型4.中点四边形】 【典例】已知矩形的对角线长为10，那么顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长为（      ） A．40 B．10 C．20 D．5 【跟踪专练1】如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【跟踪专练2】若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为 ． 【题型5.等腰梯形的定义】 【典例】梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 【跟踪专练1】如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D． 【跟踪专练2】如图，梯形中，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为 ．    【跟踪专练3】在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【题型6.直角梯形的定义】 【典例】下列说法正确的有 ．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【跟踪专练1】在梯形中，，，，，，则 ． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【跟踪专练3】如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是 ． 【题型7.等腰梯形的性质定理】 【典例】如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】一个等腰梯形，它的上底是12厘米，下底是22厘米，高和上底一样长，则这个等腰梯形的周长是 厘米． 【跟踪专练2】在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，等腰梯形中， ，，则 ． 【题型8.等腰梯形的判定定理】 【典例】下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【跟踪专练1】下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【跟踪专练3】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 解答题 1．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 2．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 3．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 4．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $