专题09分式寒假预习讲义（3）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题09分式寒假预习讲义(3) 预习目标 掌握分式加减、乘除及乘方的核心法则，能熟练套用公式计算 ·会找最简公分母、能对多项式因式分解，搞定异分母分式通分和乘除约分 ·理清分式混合运算顺序，避开符号、漏乘、运算顺序等常见易错点 。能完成分式的基础化简求值，做到步骤规范、结果最简 ·理解分式运算的前提条件，明确分母不为0的各类限制要求 预习内容概览 1.分式的加减 2.特殊题型：分式的化简求值 预习必备 3.分式的乘除 4.分式乘除的化简求值 知识点梳理 5,核心要点 1.同分母分式加减法 2.异分母分式加减法 3整式与分式相加减 4.由分式恒等式确定分子分母 5.分式加减混合运算 6.分式加减的实际应用 常考题型 7.分式乘法 8.分式除法 精讲精炼 9.分式乘除混合运算 10.分式乘方 11.含乘方的分式乘除混合运算 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 强化巩固 (解答题5题) 3 知识点梳理 【知识点O1.分式的加减】 试卷第1页，共3页 同分母分式的加减 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 公式表示：是±名=些(c≠0) 关键注意： 分子相加减时，分子是多项式的要加括号，避免符号错误； 计算结果需约分化简，化为最简分式或整式。 二、异分母分式的加减 核心步骤：先通分，将异分母分式化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计 算。 1通分定义：把几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程； 2.最简公分母确定方法： ①取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母： ②分母是多项式时，先因式分解，再找最简公分母； 法则公式：骨±=芒 (b≠0，d≠0) 易错点：通分后分子要根据分式的基本性质同步变形，勿漏乘。 三、分式加减的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的： 2.简便运算：可利用加法交换律、结合律，或拆分分式简化计算； 3最终要求：结果必须为最简分式（分子分母无公因式）或整式。 【知识点02.特殊题型分式的化简求值】 步骤：先化简分式（加减运算后约分），再代入数值计算： 注意：代入的数值需使原分式所有分母不为0，且化简过程中约去的因式也不为 0。: 【知识点03.分式的乘除】 一、分式的乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 公式表示：是×是=器(b≠0，d≠0) 简便技巧：先约分（分子分母交叉约去公因式），再相乘，减少计算量。 试卷第1页，共3页 二、分式的除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式表示：是÷号=景×是=肥b(b≠0，c≠0，d≠0) 关键：除法变乘法，除式变倒数是核心，切勿直接分子分母相除。 三.分式的乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 公式表示：（层）n=(b≠0，n为正整数) 注意：分子或分母是多项式时，乘方要给整体加括号，再按乘方运算法则计算。 四、分式乘除（含乘方）的混合运算 1.运算顺序：先乘方，再乘除，同级运算从左到右依次进行； 2.核心技巧： ①所有多项式分母/分子先因式分解（提公因式、平方差、完全平方等）； ②全程优先约分，直到分子分母无公因式： 限制条件：计算过程中，所有分母及被约去的因式都不能为0。 【知识点04.分式乘除的化简求值】 1.与加减化简求值一致：先化简（乘除+约分），再代入； 2.特殊代入：若已知条件为比例式、整式等式，可先变形代换（如整体代入）， 简化计算。 【知识点05.核心要点】 ·分式有意义的前提：所有分母不为0，是分式运算的基础： ·因式分解的作用：分式加减的通分、乘除的约分，均需先对多项式因式分解， 是分式运算的关键工具； ·结果要求：所有运算的最终结果，必须化为最简分式（分子分母无公因式）或 整式： ·符号法则：分式的分号、分子、分母的符号，任意改变两个，分式的值不变（可 利用此法则化简负号)。 常考题型精讲精练 试卷第1页，共3页 【题型1.同分母分式加减法】 【典例】化简m-3”+2”的结果是() m-n m-n A.1 B.-1 C.3 D. m-5n m-n ,侧2 【跟踪专练1】已知= 【跟踪专练2】化简4-m的结果是（) m-2m-2 A.-m-2 B.m-2 C.m-2 D. m+2 m+2 1m-2 【题型2.异分母分式加减法】 【典例】计算+2红-x的结果是」 【跟踪专练1】计算 a ,结果是() a-b b-a A.-1 B.0 C.1 D.2 【跟踪专练2】小刚从家到学校骑车需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑 车速度为vkm/h,在下坡路上的骑车速度为3vkm/h,则小刚从家到学校需要的时间t(h)可 以表示为() 动 5 3v B. C. 3v 4 D.3 【题型3.整式与分式相加减】 【典例】计算a+2 -1的结果是() A.0+1 a B,2 C.1 D.a+1 a 【跟踪专练1】若片，且y≠0，则+=】 【跟踪专练2】己知a=1-1,b=1-1 b ，用a表示c的代数式为() 1 A.c=T-b 1 B.a= 1-c C.c=1-a D.c=a-1 a 【题型4.由分式恒等式确定分子分母】 【典例】已知二-二=3，则分式)的值为() 'x y A.1 B.-1 C. 1 D.3 试卷第1页，共3页 3x-22 a b 【跟踪专练1】已知x+2x-)x+2x-5,则a+h= 【跟踪专练2】已知6r+10x-4r+B+Cx+D,其中A,B,C,D为常数，则 x4+x2+1x2+x+1x2-x+1 A+B+C+D= 【题型5.分式加减混合运算】 【典例】计算：a-1+ a+1 【跟踪专练1】已知F为整式，若计算，F -b的结果为 ab+b2 a+ab 2,则F=() ab A.a-b B.a+b C.b D.a 【跟踪专练2】对于代数式m和n,定义运算“⑧”：m②n=3m-n+4 ,例如： mn 482=3×4-2+47 4×2 =4,若(x+08(x-2)=A+B x+1-2,则2A-B= 【题型6.分式加减的实际应用】 【典例】某工程队要修路Q米，原计划平均每天修b米.因天气原因，平均每天少修c米 （c<b)·因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为() ab ac ab ac A. b(b-c) B. b(b-c) C.b(b+c) D.b(b+c) 【跟踪专练1】一项工程，甲单独做Q天完成，乙单独做b天完成，若甲、乙两人一起做， 则需要 天完成， 【跟踪专练2】甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的 时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程 以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走(x,y均大于0且x≠y), 则() A.甲先到达B地B.乙先到达B地 C.甲乙同时到达B地D.不确定 【题型7.分式乘法】 【典例】计算：m.4 2 m 【跟踪专练1】如图是4张卡片，卡片上式子的化简结果是x的有() y x xy2 x2y x y x+ x-yx-y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】定义两种运算：aAb= a+b’a*b a2-b,则m4n÷(m*n= b 【题型8.分式除法】 【典例】计算上÷2 的结果是() yy 2 A.2x B.2y C. D. 【跟踪专练1】计算3b÷2(a≠0，b≠0)的结果是」 【跟踪专练2】设实数x、y满足x+Vx2+2021y+V少2+2021=2021，则x+y=() A.1 B.-1 C.0 D.2021 【题型9.分式乘除混合运算】 【奥例】计算x÷X.二的结果是(). y x A.1 B.xy c. D. y 【跟踪专练1】计算：4÷a Sb b3= 【跟踪专练2】若口÷ 3a a-b a2-b2 运算的结果是整式，则“”内的式子可能是() A.ab B.a+b C.a-b D. 【题型10.分式乘方】 【典例】计算： 【跟踪专练1】下列计算正确的是() -b -D x 2x -3y-9y D. x-a x2-a2 【跟踪专练2】计算 2a2(x-y) 的结果是」 3b-1 【题型11.含乘方的分式乘除混合运算】 试卷第1页，共3页 【典例】计算(2衣的结果为〈) A.x B.2y C.y D. 【跟踪专练1】计算 2x 的结果是 8x 【跟踪专练2】关于代数式a+之的值，以下结论不正确的是（） A.当a取互为相反数的值时，a2+，的值相等 a B.当a取互为倒数的值时，a2+的值相等 a C.当a>1时，d越大，a2+三的值就越大 D.当0<a<1时，4越大，2+二的值就越大 a 【题型12.分式加减乘除混合运算】 1 【典例】化简：x+y二= y 【跟踪专练1】一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需要ah,bh可注满空池， 现两管同时打开，那么注满空池的时间是() A.1+ 1 1 B. C. D.ab a b ab a+b a+b 231 .352 【跟踪专练2】观察以下等式：第1个等式：千2：第2个等2式后5：第3个 学式号子-子第4个等式子品按敏以上规佛，写出第10个等式一 【题型13.分式化简求值】 分子那么。的值等于（) 【典例】如果=5， b A.3 B C.1 D.1 【跟踪专练1】若a≠b且a+b=3,则a_ 6的值为一 a-b'b-a 【跟踪专练2】如果a,b,c是正数，且满足a+b+c=6,1+1-L=2, a+66+cc+a6,那么 a-b+c,的值为() b+cc+aa+b A.4 B.5 C.6 D.7 试卷第1页，共3页 5 强化巩固通关 1.计算： (10+9ba+3b 3ab 3ab (2)+4 1 x2+3x3x+ ③)a_1-2a a-11-a ④2m-n+m n n-m m-n n-m 2.计算： (2) -3a62)2 2c2d3 3.先化简，再求值： -21+1-x, x2-xx-1 其中x=-3. 4.我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形.类似的，“几个分式相加”与“将 一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方 向相反的变形为“分式分解”. 2x-1 2x-1x+(x-1x 例如，将xx-可分式分解： x-111 x(x-)x(-刂x(x-可xx-可x-+e 2x+1 (①)将xx+分式分解的结果为 ； (2)若5r-4 mx2-3x+1 可以分式分解为P十，9，（其中m,P,9是常数），则P=, x-1'2x-1 q= (3)当x>1时，判断 与小关系并证引 5已知a<60,试t较子与分的大小 试卷第1页，共3页 专题09分式寒假预习讲义（3） · 掌握分式加减、乘除及乘方的核心法则，能熟练套用公式计算 · 会找最简公分母、能对多项式因式分解，搞定异分母分式通分和乘除约分 · 理清分式混合运算顺序，避开符号、漏乘、运算顺序等常见易错点 · 能完成分式的基础化简求值，做到步骤规范、结果最简 · 理解分式运算的前提条件，明确分母不为 0 的各类限制要求 预习必备 知识点梳理 1.分式的加减 2.特殊题型:分式的化简求值 3.分式的乘除 4.分式乘除的化简求值 5,核心要点 常考题型 精讲精炼 1.同分母分式加减法 2.异分母分式加减法 3.整式与分式相加减 4.由分式恒等式确定分子分母 5.分式加减混合运算 6.分式加减的实际应用 7.分式乘法 8.分式除法 9.分式乘除混合运算 10.分式乘方 11.含乘方的分式乘除混合运算 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式的加减】 一、同分母分式的加减 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 公式表示：±（c0） 关键注意： 分子相加减时，分子是多项式的要加括号，避免符号错误； 计算结果需约分化简，化为最简分式或整式。 二、异分母分式的加减 核心步骤：先通分，将异分母分式化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算。 1.通分定义：把几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程； 2.最简公分母确定方法： ① 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母； ② 分母是多项式时，先因式分解，再找最简公分母； 法则公式：±（b0，d0） 易错点：通分后分子要根据分式的基本性质同步变形，勿漏乘。 三、分式加减的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的； 2.简便运算：可利用加法交换律、结合律，或拆分分式简化计算； 3.最终要求：结果必须为最简分式（分子分母无公因式） 或整式。 【知识点02.特殊题型分式的化简求值】 步骤：先化简分式（加减运算后约分），再代入数值计算； 注意：代入的数值需使原分式所有分母不为 0，且化简过程中约去的因式也不为 0。: 【知识点03.分式的乘除】 一、分式的乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 公式表示：×（b0，d0） 简便技巧：先约分（分子分母交叉约去公因式），再相乘，减少计算量。 二、分式的除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式表示：×b（b0，c0，d0） 关键：除法变乘法，除式变倒数是核心，切勿直接分子分母相除。 三.分式的乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 公式表示：()n（b0，n为正整数） 注意：分子或分母是多项式时，乘方要给整体加括号，再按乘方运算法则计算。 四、分式乘除（含乘方）的混合运算 1.运算顺序：先乘方，再乘除，同级运算从左到右依次进行； 2.核心技巧： 1 所有多项式分母 / 分子先因式分解（提公因式、平方差、完全平方等）； 2 全程优先约分，直到分子分母无公因式； 限制条件：计算过程中，所有分母及被约去的因式都不能为 0。 【知识点04.分式乘除的化简求值】 1.与加减化简求值一致：先化简（乘除 + 约分），再代入； 2.特殊代入：若已知条件为比例式、整式等式，可先变形代换（如整体代入），简化计算。 【知识点05.核心要点】 · 分式有意义的前提：所有分母不为 0，是分式运算的基础； · 因式分解的作用：分式加减的通分、乘除的约分，均需先对多项式因式分解，是分式运算的关键工具； · 结果要求：所有运算的最终结果，必须化为最简分式（分子分母无公因式）或整式； · 符号法则：分式的分号、分子、分母的符号，任意改变两个，分式的值不变（可利用此法则化简负号）。 【题型1.同分母分式加减法】 【典例】化简的结果是（   ） A．1 B．－1 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据分式运算法则求解，即可获得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 【跟踪专练2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母分式的减法计算即可． 本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【题型2.异分母分式加减法】 【典例】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练1】计算，结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先把分母进行变形，然后利用分式的减法运算进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练2】小刚从家到学校骑车需要走的上坡路、的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则小刚从家到学校需要的时间可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式加减计算的应用，根据时间路程速度分别计算出上下坡的时间即可． 【详解】解：， 故选：B． 【题型3.整式与分式相加减】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练1】若，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由等式，两边同时除以，可得，进而根据分式的性质求解即可 【详解】，且， 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的性质，等式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入消去b，进行化简即可得到结果． 【详解】解：把代入，得 ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型4.由分式恒等式确定分子分母】 【典例】已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 【跟踪专练1】已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：5． 【跟踪专练2】已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【题型5.分式加减混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 【跟踪专练1】已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 【跟踪专练2】对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 【题型6.分式加减的实际应用】 【典例】某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 【跟踪专练1】一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成． 【答案】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 【跟踪专练2】甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走（均大于0且），则（    ） A．甲先到达B地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时，根据题意可得：，从而可得：小时，再根据题意可得：小时，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时， 由题意得：， 解得：小时， 由题意得：小时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴甲先到达地， 故选：A． 【题型7.分式乘法】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算法则，熟练掌握分式乘法中分子相乘、分母相乘以及约分的方法是解题的关键．本题是分式的乘法运算，解题思路为：根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，然后进行约分化简． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是4张卡片，卡片上式子的化简结果是x的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式化简求值，根据分式的性质将四个卡片上的式子分别化简，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 综上可知，卡片上式子的化简结果是x的有3个， 故选C． 【跟踪专练2】定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型8.分式除法】 【典例】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，直接根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选 D． 【跟踪专练1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键． 先把分式的除法改成乘法，然后再进行求解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【跟踪专练2】设实数x、y满足，则（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化．根据题意可得，，然后两式左右两边分别相加，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 同理， ∴， ∴， 即． 故选：C 【题型9.分式乘除混合运算】 【典例】计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是把除法转化成乘法、以及约分． 先把除法转化成乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：原式， 故选：C． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除、同底数幂的除法，掌握相关法则是解题的关键． 根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 【跟踪专练2】若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意； B、，结果不是整式，故选项不符合题意； C、，结果不是整式，故选项不符合题意； D、，结果不是整式，故选项不符合题意； 故选：A． 【题型10.分式乘方】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘方，根据分式的乘方法则：把分式的分子和分母分别乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则，分子分母分别乘方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原题计算错误，不符合题意； C、，原题计算错误，不符合题意； D、，原题计算错误，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【题型11.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法运算，先算乘方再算乘法，最后约分化简即可． 【详解】原式， 故答案为：． 【跟踪专练2】关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 【答案】D 【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可； 【详解】当a取互为相反数的值时，即取m和-m，则-m+m=0， 当a取m时，① ，当a取-m时，② ， ①=②，故A正确； B、当a取互为倒数的值时，即取m和 ，则 ， 当a取m时，①，当a取时，② ①=②，故B正确； C、可举例判断，由＞1得，取a=2，3（2＜3） 则＜ ， 故C正确； D、可举例判断，由得，取a=，（＞） ， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 【题型12.分式加减乘除混合运算】 【典例】化简： ． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】， 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需要a h，b h可注满空池，现两管同时打开，那么注满空池的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1． 注满空池的时间＝工作总量1÷甲乙效率之和，设工作总量为1，求出甲乙的工作效率，然后求共同工作的时间． 【详解】解：设工作量为1，甲乙的工作效率分别为、， 依题意得：． 故选：D． 【跟踪专练2】观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 【题型13.分式化简求值】 【典例】如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式变形成含已知分式的式子是解题关键．将分式进行变形即可得． 【详解】解：设， 则， 故选：B. 【跟踪专练1】若且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将原式通分后利用平方差公式化简，再代入已知条件求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果，，是正数，且满足，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据将化为，然后根据同分母的分式加减运算法则作进一步化简，再将代入即可．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴的值为． 故选：C． 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同分母分式的加减，注意符号． （1）分母不变，分子相减，最后要约分； （2）分母不变，分子相减，最后因式分解要约分； （3）先转化为同分母，再分子相加； （4）先转化为同分母，再进行分子运算． 【详解】（1） （2） （3） （4） 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】此题考查分式的化简求值，先计算分式的混合运算，再将字母的值代入化简后的式子中求出结果即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 4．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、解二元一次方程组，解决本题的关键是根据分式的性质进行计算，利用求差法比较分式的大小． （1）仿照题干提供的解题思路分解分式； （2）根据分式的性质进行计算，可得，根据可以分式分解为，可得，从而得关于关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值； （3）根据分式的性质进行计算可得：，因为，可得：，从而可知． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 可以分式分解为， ， ， 解得：， 故答案为：，； （3）解：， 证明： ， ， ，， ， ， ， ． 5．已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $