函数的单调性与最值 课件-2026届高三数学一轮复习

第2节　函数的单调性与最值 1.函数的定义 函数的三要素 函数的表示法 2.分段函数 3.函数定义域的求法 4.求函数解析式的常用方法 直接法、列表法、图象法 给定解析式的函数定义域 待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法 定义域、值域和对应关系 抽象函数的定义域 课前回顾 考情探究 命题规律与备考策略 本节内容一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的奇偶性、周期性或图象进行考查.备考时要将学习重点放在综合运用上，对常见的结论和方法要加强记忆与理解. 1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性及单调区间. 2.理解函数的最大值、最小值的意义，会求函数的最大（小）值. 学习目标 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 . 自左向右看图象是 . f(x1)<f(x2) 单调递增 单调递增 f(x1)>f(x2) 单调递减 单调递减 上升的 下降的 函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征: 一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢 二是有大小,即x1<x2 三是同属一个单调区间 强调 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做y=f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 区间I 注意：若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈D,都有 ; (2)存在x0∈D,使得 . (3)对于任意x∈D,都有 ; (4)存在x0∈D,使得 . 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 说明 常用结论 常用结论 3.与函数运算有关的单调性结论 (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数. (5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. (6)复合函数单调性的判断方法:“同增异减”. 常用结论 D 2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(　 　) A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) B BD 9 (-∞,-1) 确定函数的单调性(区间) D 典例分析 图象法 2.函数f(x)=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为(　 　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(-1,1) D.(1,3) D 复合函数：同增异减 D 图象法 AC (1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. (2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法. (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 函数单调性的应用 B B 2.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] [变式训练] D B (2)已知函数f(x)=lg (x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[5,+∞) D 利用单调性求参数 (1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较. (2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的. (3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. [4,8) [变式训练] (1,4) 求函数的最值(值域) 3 -1 单调性法 分段函数 换元法 D 单调性法 1 图象法 [2,+∞) 基本不等式法 求函数最值(值域)的常用方法及注意点 (1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值. 方法总结 课堂小结 1.函数的单调性 2.判断函数单调性的常用方法 3.求函数最值（值域）的求法 定义法、图象法、利用已知函数的单调性、导数法 图象法、单调性法、换元法、基本不等式法、导数法 1.函数单调性的等价定义 设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则 (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减. 特别地,“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞); 单调递减区间是[-,0),(0,]. 若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数 若a<0,b>0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数 若a>0,b>0,则函数在区间(-,0),(0,)上是减函数, 在区间(-∞,-),(,+∞)上是增函数. 2.函数f(x)= ax + 的单调性 (3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性. 1.下列函数中是增函数的为(　 　) A.f(x)=-x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)= 3.(多选题)下列结论正确的有(　 　) A.函数y=的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞) B.函数y=-x在区间(0,+∞)上单调递减 C.若y=f(x)在区间I上单调递增,则函数y=kf(x)(k<0),y=在区间I上都单调递减 D.若函数y=f(x)满足∀x1,x2∈I,x1≠x2,>0(<0),能判定f(x)在区间I上的单调性 4.函数f(x)=9x2+的最小值为　　　　.  5.函数f(x)=的单调增区间为　　　　.  1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为减函数的是(　 　) A.y=-sin x B.y=x2-2x+3 C.y=ln(x+1) D.y=2 02 4.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　 　) A.y=ex-e-x B.y=|x2-2x| C.y=x+cos x D.y= 3.函数f(x)=|4-x|(x-1)在下列哪个区间上单调递增(　 　) A.(,5) B.(3,4) C.(-∞,3) D.(5,+∞) [例1] 已知函数f(x)为R上的偶函数,对任意x1,x2∈ (-∞,0),且x1≠x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,若a=f(ln),b=f(), c=f(),则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b [变式训练] 1.已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系式成立的是(　　) A.f(-)<f(-3)<f(4) B.f(-3)<f(-)<f(4) C.f(-3)<f(4)<f(-) D.f(4)<f(-)<f(-3) [例2] 已知定义在区间[-1,3]上的函数f(x),满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[1,3]时,f(x)=-x3.则满足不等式f(2a+1)>f(a)的实数a的取值范围为　 .  (-1,) [例3] (1)已知函数f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为(　　) A.[,) B.[,] C.(0,) D.[,1) 3.若函数f(x)=对于R上的任意x1≠x2,都有>0,则实数a的取值范围是　　　　.  4.若函数f(x)=loga[(-2)x]在(-∞,0)上是减函数,则a的取值范围是　　　. (2)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　;  2-6 (3)函数f(x)=2x2-的最小值为　　　　　.  [例4] (1)函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　;  [变式训练] 1.函数f(x)=+2x的值域为(　　) A.[-1,+∞) B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 2.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　.  3.函数y=的值域是　　　　.  $