3.2 函数的单调性与最值课件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值核心考点，依据高考评价体系系统梳理定义、图象特征及最值条件，通过知识清单构建单调性判断、单调区间求解、最值应用、值域求法四大模块，精准对接高考常考题型，突出考点权重分析与解题方法归纳，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“知识清单+典型例题+方法归纳”的实战体系，如通过导数法、复合函数分析法突破单调区间求解，结合换元法、分离常数法解析值域求法，培养学生数学思维与符号表达能力。例题解析注重逻辑推理与模型构建，帮助学生掌握高考高频题型答题技巧，助力教师精准把握复习重点，提升备考效率。

第三章 函数 3.2 函数的单调性与最值 知识清单 1.函数的单调性 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是________的 自左向右看图象是________的 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升 下降 如果函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 知识清单 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有________； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m 结论 M为最大值 m为最小值 f(x)≤M f(x)≥m 【常用结论】 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 知识清单 【常用结论】 4.奇函数在关于原点对称区间上的单调性_______，偶函数在关于原点对称区间上的单调性______． 5. y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是_______．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是________． 相反 相同 增函数 减函数 热点命题——1.函数单调性的判断与证明 例1 (2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解析：方法二　f′(x)＝ ＝. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法三　f(x)＝a，图象由g(x)＝平移得到，与其在对应区间的单调性相同，由图象不难判断：当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 热点命题——2.求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. (2)f(x)＝. 解析：(1)∵f(x)＝其图象如图所示， 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． 热点命题——2.求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. (2)f(x)＝. (2)函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]， 由二次函数的图象可知函数y＝3＋2x－x2的单调递增区间为[－1，1]，递减区间为[1，3] ， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为[－1，1]，递减区间为[1，3]. 热点命题——2.求函数的单调区间 练习 （1）函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是_________________． 练习 （2）函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) (－1，2)，(5，＋∞) C 热点命题——3.单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 例 3 已知函数f(x)对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，则f(2)，f(π)，f(3)的大小关系为____________． 解析：因为函数f(x)对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)， 都有<0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， 因为π>3>2，所以f(π)<f(3)<f(2)． 热点命题——3.单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 变式 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c 解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且在(1，＋∞)上单调递减． 所以a＝f(－)＝f()， f(2)>f()>f(3)，所以b＞a＞c. 方法归纳：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较． 热点命题——3.单调性的应用 考向2　求函数的最值 例4 设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为________． 解析：若a＝0，f(x)＝∴＝0； 若a<0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求； 若a>0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)>f(a)＝－a2＋1， 当x>a时，f(x)min＝ ∴－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2，解得0<a≤1.综上可得0≤a≤1. 方法归纳：利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法． 热点命题——3.单调性的应用 考向3　解函数不等式 例 5 函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　) A．() B．[) C．() D．[) 解析：由题意知函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数， 则由f(2x－1)<f，得0≤2x－1<， 解得≤x<，即x∈. 方法归纳：在求解与抽象函数或结构复杂的函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性脱去“f”符号，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域． 热点命题——3.单调性的应用 3.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是___________________． 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 且f(1)＝ln 1＋2＝2， 所以由f(x2－4)<2得0<x2－4<1， 解得－<x<－2或2<x<. 热点命题——3.单调性的应用 考向4　求参数的取值范围 例 6 已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 解析：当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝＋a2－a， 若函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0； 当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln (x＋1)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln (0＋1)＝1，解得a≥－1. 综上可得－1≤a≤0.故选B. 方法归纳：利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 热点命题——4.函数的值域 例1 函数f(x)＝1＋2的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．R 解析：函数f(x)＝1＋2的定义域为[1，＋∞)， 则x－1≥0， 则2≥0， 则1＋2≥1， 则函数f(x)＝1＋的值域为[1，＋∞)． 拆解函数，利用熟悉函数求值域 常见应用：求三角函数在给定区间上的值域 热点命题——4.函数的值域 跟踪训练3　函数f(x)＝的值域为________． 解析：因为二次函数y＝x2－x＋2＝2＋的值域为， 所以f(x)＝定义域是R，值域为 热点命题——4.函数的值域 例4 函数y＝1－x＋的值域为(　　) A．(－∞，] B．[0，＋∞) C．[，＋∞) D．(，＋∞) 解析：令则x＝， 所以函数y＝1＋，函数在［0，＋∞）上单调递增， t＝0时，y有最小值所以函数y＝1－x＋的值域为 换元法，复杂函数转化为简单函数 注意新元取值范围 热点命题——4.函数的值域 例 5 函数y＝的值域是________． 解析：函数y＝有意义，则x2－x－6≠0，解得x≠－2且x≠3， ∵ 显然则由得 所以函数的值域是 方法归纳：针对分式结构下，分母的最高次为1次，分子的最高次为1次或2次的函数，可利用分离常数法化简函数，再进行函数的求解. 热点命题——4.函数的值域 例6 函数y＝(x>0)的值域为________． 解析：因为y＝整理得yx2－(6y＋1)x＋7y＋1＝0， 可知关于x的方程yx2－(6y＋1)x＋7y＋1＝0有正根， 若y＝0，则－x＋1＝0，解得x＝1，符合题意； 若y≠0，则 可得 热点命题——4.函数的值域 例6 函数y＝(x>0)的值域为________． 可得 解得或且则或或 综上所述，y>或即函数y＝的值域为 方法归纳：针对分式结构下，分母的最高次为2次，分子的最高次为1次或2次的函数，有时没有办法利用分离常数法化简为可求值域的简单函数，此时可将函数转化为关于x的二次方程（把y视为方程的参数），通过方程有实根，即Δ≥0，判断出y的取值范围. $$