第二章 第2节 函数的单调性与最值学案-2026届高三数学一轮复习

第2节　函数的单调性与最值 [学习目标] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义. 项目 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间 I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地,当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征,三者缺一不可:一是任意性,即任意两数x1,x2∈I;二是有大小,即x1<x2;三是同属一个单调区间. (2)单调区间的定义. 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有 f(x)≤M; ∃x0∈D,使得 f(x0)=M ∀x∈D, 都有f(x)≥M; ∃x0∈D, 使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 1.函数单调性的等价定义. 设任意x1,x2∈I(x1≠x2). (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减. 2.函数f(x)=ax+的单调性. 若a>0,b<0,则函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;若a<0,b>0,则函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;若a>0,b>0,则函数f(x)在区间[-,0),(0,]上单调递减,在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增. 特别地,“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为[-,0),(0,]. 3.与函数运算有关的单调性结论. (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)当k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;当k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性. (4)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. (5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)若f(-4)>f(3),则f(x)在[-4,3]上单调递减.(　　) (2)闭区间[a,b]上的“单峰”函数,一定存在最大值或最小值.(　　) (3)函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (4)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(　　) 【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(人教B版必修第一册P108练习B T2(1)改编)若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) 【答案】 B 【解析】 因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),所以a2-a>a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故选B. 3.(2023·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 【答案】 C 【解析】 f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误; f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确;因为f()===,f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,显然f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C. 4.(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=在[3,4]上的最大值为(　　) A.2 B. C. D.4 【答案】 A 【解析】 y===1+,因为y=1+在[3,4]上单调递减,所以当x=3时,y取得最大值,最大值为1+=2.故选A. 考点一　函数的单调性与单调区间 [例1] (1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得<0”成立的是(　　) A.f(x)=-x2-2x+1 B.f(x)=x- C.f(x)=x+1 D.f(x)=log2(2x+1) (2)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是　 .  【答案】 (1)A　(2)[1,2] 【解析】 (1)由题意,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,选项A,f(x)=-x2-2x+1为二次函数,其图象的对称轴为直线x=-1,开口向下,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,符合题意;选项B,f(x)=x-,其导数f′(x)=1+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;选项C,f(x)=x+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;选项D,由复合函数的单调性知,f(x)=log2(2x+1)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.故选A. (2)f(x)= 画出f(x)的大致图象(如图所示), 由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 判断函数的单调性或求函数单调区间的常见方法 (1)利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值的函数的单调区间常用此法. (3)导数法:利用导数确定函数的单调区间. (4)复合函数法:如果是复合函数,那么首先将一个函数“拆分”成几个简单函数,利用复合函数单调性的判断规则判断. 说明:求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域. [针对训练] 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【答案】 D 【解析】 由x2-2x-8>0,得f(x)的定义域为{x|x>4或x<-2}. 设t=x2-2x-8,又y=ln t为增函数, 所以函数f(x)的单调递增区间即为函数t=x2-2x-8的单调递增区间(定义域内). 因为函数t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减, 所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 考点二　函数单调性的应用 角度一　利用单调性比较大小 [例2] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记 a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b [溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P160复习参考题4 T5(2). 【答案】 A 【解析】 令g(x)=-(x-1)2,则g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1, 因为-1-(1-)=-,而(+-42=9+6-16=6-7>0, 所以-1>1-, 由二次函数的性质知g()<g(), 因为-1-(1-)=-, 而-42=8+4-16=4-8=4(-2)<0, 即-1<1-,所以g()>g(), 综上,g()<g()<g(). 又y=ex为增函数,故a<c<b,即b>c>a. 故选A. 利用单调性比较大小的方法 利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小. 角度二　利用函数的单调性解不等式 [例3] 已知f(x)=2x+x,则不等式f(|2x-3|)<3的解集为　　　　.  【答案】 (1,2) 【解析】 函数y=2x,y=x都是R上的增函数,则函数f(x)=2x+x是R上的增函数,不等式f(|2x-3|)<3⇔f(|2x-3|)<f(1)⇔|2x-3|<1,则-1<2x-3<1,解得1<x<2,所以不等式f(|2x-3|)<3的解集为(1,2). 利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间I上单调递增,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1<x2;若函数y=f(x)在区间I上单调递减,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1>x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域. 角度三　由函数单调性求参数取值范围 [例4] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.[-5,0) B.(-∞,-2) C.[-5,-2] D.(-∞,0) 【答案】 C 【解析】 由题意解得-5≤a≤-2.故选C. 利用单调性求参数 (1)依据函数的单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较. (2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. [针对训练] 1.(角度一)已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】 D 【解析】 易知f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增,又>>>1,故f()>f()>f(),即c>b>a.故选D. 2.(角度二) (2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为(　　) A. (,+∞) B.(-∞,) C.(,1) D.(-1,) 【答案】 A 【解析】 由f(x)=x|x|=故f(x)在R上单调递增,由f(2x)>f(1-x),有2x>1-x,解得x>.故选A. 3.(角度三)(2025·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0) B.[-1,0) C.(-∞,] D.(0,] 【答案】 B 【解析】 根据题意,设t=1-ax,则y=,因为y=在t∈[0,+∞)上单调递增,所以t=1-ax在区间[-1,2]上单调递增,则有解得-1≤a<0.故选B. 考点三　求函数的最值 [例5] (1)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　.  (2)函数y=+的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  【答案】 (1)1　(2)2　 【解析】 (1)法一　在同一平面直角坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象, 依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分. 易知点A(2,1)为图象的最高点, 因此h(x)的最大值为h(2)=1. 法二　依题意,h(x)= 当0<x≤2时,h(x)=log2x单调递增; 当x>2时,h(x)=3-x单调递减. 因此h(x)在x=2处取得最大值,h(2)=1. (2)要使函数有意义,需满足解得-1≤x≤1,所以函数的定义域为[-1,1],且y≥0,则y2=1-x+1+x+2=2+2.当x=0时,x2取得最小值0,故y2=2+2取得最大值4,则函数y=+的最大值为2;当x=±1时,x2取得最大值1,故y2=2+2取得最小值2,则函数y=+的最小值为. 求函数最值的五种常用方法 (1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值. [针对训练] (1)函数y=的值域为(　　) A.(0,) B.(0,] C.(-∞,) D.[,+∞) (2)函数f(x)=+2x的值域为(　　) A.[-1,+∞) B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【答案】 (1)A　(2)D 【解析】 (1)因为2x>0⇒2x+3>3⇒0<<,所以函数y=的值域为(0,).故选A. (2)令x-1≥0,解得x≥1,函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)∈[2,+∞),即函数f(x)的值域为[2,+∞).故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节　函数的单调性与最值 [学习目标] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义. 项目 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间 I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间I上 . 特别地,当函数 f(x)在它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征,三者缺一不可:一是任意性,即任意两数x1,x2∈I;二是有大小,即x1<x2;三是同属一个单调区间. (2)单调区间的定义. 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有 ; ∃x0∈D,使得 ∀x∈D, 都有 ; ∃x0∈D, 使得 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 1.函数单调性的等价定义. 设任意x1,x2∈I(x1≠x2). (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减. 2.函数f(x)=ax+的单调性. 若a>0,b<0,则函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;若a<0,b>0,则函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;若a>0,b>0,则函数f(x)在区间[-,0),(0,]上单调递减,在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增. 特别地,“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为[-,0),(0,]. 3.与函数运算有关的单调性结论. (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)当k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;当k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性. (4)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. (5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)若f(-4)>f(3),则f(x)在[-4,3]上单调递减.(　　) (2)闭区间[a,b]上的“单峰”函数,一定存在最大值或最小值.(　　) (3)函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (4)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(　　) 2.(人教B版必修第一册P108练习B T2(1)改编)若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) 3.(2023·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 4.(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=在[3,4]上的最大值为(　　) A.2 B. C. D.4 考点一　函数的单调性与单调区间 [例1] (1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得<0”成立的是(　　) A.f(x)=-x2-2x+1 B.f(x)=x- C.f(x)=x+1 D.f(x)=log2(2x+1) (2)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 .  判断函数的单调性或求函数单调区间的常见方法 (1)利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值的函数的单调区间常用此法. (3)导数法:利用导数确定函数的单调区间. (4)复合函数法:如果是复合函数,那么首先将一个函数“拆分”成几个简单函数,利用复合函数单调性的判断规则判断. 说明:求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域. [针对训练] 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 考点二　函数单调性的应用 角度一　利用单调性比较大小 [例2] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记 a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b [溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P160复习参考题4 T5(2). 利用单调性比较大小的方法 利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小. 角度二　利用函数的单调性解不等式 [例3] 已知f(x)=2x+x,则不等式f(|2x-3|)<3的解集为 .  利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间I上单调递增,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1<x2;若函数y=f(x)在区间I上单调递减,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1>x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域. 角度三　由函数单调性求参数取值范围 [例4] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.[-5,0) B.(-∞,-2) C.[-5,-2] D.(-∞,0) 利用单调性求参数 (1)依据函数的单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较. (2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. [针对训练] 1.(角度一)已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 2.(角度二) (2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为(　　) A. (,+∞) B.(-∞,) C.(,1) D.(-1,) 3.(角度三)(2025·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0) B.[-1,0) C.(-∞,] D.(0,] 考点三　求函数的最值 [例5] (1)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 .  (2)函数y=+的最大值是 ,最小值是 .  求函数最值的五种常用方法 (1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值. [针对训练] (1)函数y=的值域为(　　) A.(0,) B.(0,] C.(-∞,) D.[,+∞) (2)函数f(x)=+2x的值域为(　　) A.[-1,+∞) B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $