精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

南京师大附中2025—2026学年度第一学期 高一年级期末考试数学试卷 1.28 命题人：高一数学备课 组审阅人：高一数学备课组 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】由，解得，所以， 由，解得，所以. 所以， 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：C 3. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式进行计算. 【详解】. 故选：B 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】. 故选：D 6. 设，则“”是“存在，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】或， 所以“”是“存在，使”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以. 故选：A 8. 如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【详解】 如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系， ，，即， ，，即， 又，， ，解得，， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是平行四边形法则与三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答. 9. 若为正实数，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于ABC，利用基本不等式求解判断；对于D，利用二次函数的性质求出最小值再进行判断. 【详解】对于A，，故A错； 对于B，， 当时取等，故B对； 对于C，，故C错； 对于D，，故D对. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 关于的方程有实数解 C. 在区间上单调递减. D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据周期函数的定义进行判断；对于C，根据复合函数的单调性进行判断；对于B，根据函数的单调性进行判断；对于D，利用函数的对称性进行判断. 【详解】对于A，，其中，且，故A对； 对于C：在区间上和单调递增，根据复合函数单调性可知函数单调递增，故C错； 对于B，因为， 且在上单调递增，所以存在使得，故B对； 对于D，，故D对. 故选：ABD 11. 定义在上的函数满足：，且为偶函数.当时，.则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上的所有零点之和为50 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由和，可得函数的图象关于对称，由为偶函数得函数的图象关于对称，从而得到函数的周期，即可判断A选项；结合周期有，化简可得，即可判断B选项；对于C，由解得或，结合指数的运算即可求解；对于D，已知得，代入计算即可求解. 【详解】由，得，又，则， 即函数的图象关于对称，由为偶函数得， 即函数的图象关于对称，所以周期为4，故A对； 已知，结合上述周期有， 所以，因此函数为偶函数，故B对； ，即或， 当时，在区间上的解为； 当时，在区间上的解为， 所有零点之和为，故C错误； 由已知得， 故D对. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数运算性质和对数运算性质求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 设，若函数是单调函数，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合指数函数与对数函数的性质即可求解. 【详解】令,，分别作出这两个函数的图象如下： 由已知函数是单调函数，则此函数仅能单调递增， 故要满足题意需， 由于时，，满足, 结合图象可得的最小值为. 故答案为： 14. 设，若对任意，存在，使得.则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出原命题的否定为真时的范围，再求出其补集即可. 【详解】命题“对任意，存在，使得”， 的否定为：存在，对任意，， 解不等式，得， 于是存在，， 则两区间长度需要满足，解得， 因此对任意，存在，使得成立时，， 又，则，所以的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设. （1）若，求的值： （2）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）由，结合的关系列式求解. 【小问1详解】 依题意，，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，则， 由，得， 所以. 16. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可； （2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解． 【小问1详解】 由已知得， 因为三点共线，所以，即. 【小问2详解】 由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由最值得，由周期得，再由五点法求出，即可求解； （2）将问题等价化为，即可求解. 【小问1详解】 由图中函数的最值得，半周期，即，所以. 现知， 再由函数图象零点知， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 ， 等价于， 所以，解得， 即取值范围为. 18. 设，已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值： （2）若，求函数的最小值； （3）若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解； （2）由题化简可得，，结合二次函数的图像与性质即可求解； （3）当时，由得，由函数在上单调递增，得，解不等式即可；当时，由得，由函数在上单调递增，结合单调性说明满足条件的不存在. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，， 即，，化简得， 所以； 【小问2详解】 当时，，故， 所以， 所以， 设， 则时取等， 所以的最小值为； 【小问3详解】 ①时，由得， 因为函数在上单调递增，所以要满足题意需， 即，化简得， 即，所以 解得，所以； ②因为函数在上单调递增， 当时，由得， 因为增函数，该不等式的解集形如，不存在最小整数解，故此种情况不成立， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知函数的定义域为，若恰好存在个实数，使得（其中），则称函数为“级函数”. （1）判断函数是否为“级函数”？若是，求出的值：若不是，请说明理由； （2）设，记，其中.若函数是“4级函数”，且满足条件的分别为. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）是，0； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用“级函数”的定义，结合基本不等式求解判断. （2）①求出函数，令函数，结合指数函数、对勾函数性质探求函数的性质，再利用“4级函数”的定义，结合一元二次方程实根分布列式求出范围；②令函数，进而探求函数的性质并确定，再利用分析法，结合基本不等式推理得证. 【小问1详解】 由函数是级函数，得存在满足，即，即， 而，当且仅当时取等， 所以只有满足题意，即是1级函数. 【小问2详解】 ①依题意，，由函数是4级函数， 得方程有四个不同的实数解， 令函数，由，得为偶函数， 且，函数， 当时，函数在上递增，函数在上递增， 因此函数在上递增，值域为， 方程，令， 因此关于的一元二次方程在上有两个不等的实数解， 则，解得，所以的取值范围是. ②由①不妨设，设， 而，即函数为偶函数，则， 而，由①得， ，， 则，， 因此，， 要证，即证，即证， 而函数在上递增，即证，即证， 即证，即证， 即证， 由基本不等式得， 因此， 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2025—2026学年度第一学期 高一年级期末考试数学试卷 1.28 命题人：高一数学备课 组审阅人：高一数学备课组 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 6. 设，则“”是“存在，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 若为正实数，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 关于的方程有实数解 C. 在区间上单调递减. D. 的图象关于直线对称 11. 定义在上的函数满足：，且为偶函数.当时，.则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上的所有零点之和为50 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 13. 设，若函数是单调函数，则的最小值为__________. 14. 设，若对任意，存在，使得.则的取值范围为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设. （1）若，求的值： （2）若，且，求的值. 16. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，都有，求的取值范围. 18. 设，已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值： （2）若，求函数的最小值； （3）若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，若恰好存在个实数，使得（其中），则称函数为“级函数”. （1）判断函数是否为“级函数”？若是，求出的值：若不是，请说明理由； （2）设，记，其中.若函数是“4级函数”，且满足条件的分别为. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $