题型20 相似三角形、圆、锐角三角函数的综合应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册第二十八章锐角三角函数，核心内容为相似三角形、圆与锐角三角函数的综合应用。通过合肥瑶海区二模等典型例题导入，从全等三角形证明过渡到四点共圆、倒角法等进阶方法，以一题多解为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于突出数学思维与几何直观，通过一题多解（如第(1)问用ASA全等和四点共圆两种证法）培养推理能力，压轴题变式中参数设值构建方程模型体现模型意识。学生能提升综合解题能力，教师可借助多样化案例丰富教学，提高课堂效率。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十八章　锐角三角函数 题型20　相似三角形、圆、锐角三角函数的综合应用 【一题多解】（2025·合肥瑶海区二模）如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边AB的中点，点E，F分 别在边AC，BC上，连接DE，DF和EF，ED⊥DF，连接 BE. （1）求证：∠AED＝∠CFD. 上一页 下一页 解：（1）证明：解法1：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAD＝∠CBD＝45°.∵D为边AB的中点， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°＝∠CAD＝∠CBD，∴AD＝BD＝ AB＝CD. ∵ED⊥DF， ∴∠EDF＝90°＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADC－∠EDC＝∠EDF－∠EDC，即∠ADE＝∠CDF. 在△AED和△CFD中， ∴△AED≌△CFD（ASA），∴∠AED＝∠CFD. 上一页 下一页 解法2（四点共圆）：∵∠ECF＝90°＝∠EDF， ∴∠ECF＋∠EDF＝180°， ∴四边形DECF内接于直径为EF的圆，如图.由圆内接四边形对角互补可得∠CED＋∠CFD＝180°. 又∵∠AED＋∠CED＝180°，∴∠AED＝∠CFD. 上一页 下一页 【一题多解】（2025·合肥瑶海区二模）如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边AB的中点，点E，F分 别在边AC，BC上，连接DE，DF和EF，ED⊥DF，连接 BE. （2）若∠CBE＝k∠ADE. ①当k＝1时，求 的值； 上一页 下一页 解：（2）∵∠EDF＝90°＝∠CDB， ∴∠EDF－∠CDF＝∠CDB－∠CDF，即∠CDE＝∠BDF. 在△CDE和△BDF中， ∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF. 上一页 下一页 解法1（倒角法）： 设CD与EF相交于点O（图略）.∵△CDE≌△BDF， ∴DE＝DF. 又∵∠EDF＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠ACD＝∠DFE. 在△CEO和△DFO中，∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠CEF＝∠CDF. 上一页 下一页 解法2（四点共圆）：由题意可知，C，E，D，F四点共圆. ∵圆周角∠CEF，∠CDF所对的弧为 ， ∴∠CEF＝∠CDF. 由（1），知△AED≌△CFD， ∴∠ADE＝∠CDF＝∠CEF. ①当k＝1时，∠CBE＝∠ADE，则∠CEF＝∠CBE. 设CF＝a，CE＝BF＝b.∵∠ECF＝∠BCE＝90°，∴△CEF∽△CBE，∴ ＝ ， 即CE2＝CF·CB，∴b2＝a（a＋b）. 整理，得 ＋ －1＝0，解得 ＝ 或 ＝ （负值不符合题意，舍去），∴ ＝ . 上一页 下一页 【一题多解】（2025·合肥瑶海区二模）如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边AB的中点，点E，F分 别在边AC，BC上，连接DE，DF和EF，ED⊥DF，连接 BE. （2）若∠CBE＝k∠ADE. ②如图2，当k＝2时，求tan∠CFE的值. 上一页 下一页 解： （2） ②当k＝2时，则∠CBE＝2∠ADE. 延长FC至点P，使CP＝CF（图略）.设CE＝BF＝m，CP＝CF＝n. ∵∠ECF＝90°，即EC⊥PF，CP＝CF， ∴EC垂直平分PF，tan∠CFE＝ ＝ ， ∴EP2＝EF2＝m2＋n2，∠CEP＝∠CEF， ∴∠PEF＝∠CEP＋∠CEF＝2∠CEF. 又∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠PEF＝2∠CEF＝2∠ADE＝∠CBE. 上一页 下一页 又∵∠EPF＝∠BPE，∴△EPF∽△BPE， ∴ ＝ ，即PE2＝PF·PB，∴m2＋n2＝2n（m＋2n）. 整理，得 －2（ ）－3＝0， 解得 ＝3或 ＝－1（负值不符合题意，舍去）， ∴tan∠CFE＝3. 上一页 下一页 压轴题　【变式】（2025·合肥四十二中三模）如图，在等腰直 角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是直线BC上的一个动 点，以AD为底边作等腰直角三角形ADE，连接BE并延长交直 线AC于点F，G为BC的中点，连接AG，EG，FD. （1）如图1，若点D在线段BC上，求证： ①△AEG∽△ADC； 上一页 下一页 解：（1）证明：①∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，EA＝ED，∠BAC＝∠AED＝90°， ∠ABC＝∠ACB＝∠EAD＝∠EDA＝45°. ∵G为BC的中点，∴AG⊥BC， ∴△AGB，△AGC是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠CAG＝45°， ∴∠DAE－∠DAG＝∠CAG－∠DAG，即∠GAE＝∠CAD. ∵ cos ∠EAD＝ ＝ ， cos ∠CAG＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴△AEG∽△ADC. 上一页 下一页 压轴题　【变式】（2025·合肥四十二中三模）如图，在等腰直 角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是直线BC上的一个动 点，以AD为底边作等腰直角三角形ADE，连接BE并延长交直 线AC于点F，G为BC的中点，连接AG，EG，FD. （1）如图1，若点D在线段BC上，求证： ②【一题多解】FD⊥BC. 上一页 下一页 解：（1）证明： ②∵△AEG∽△ADC，∴∠AGE＝∠ACD＝45°.由①，知AG⊥BC，∴∠AGB＝90°，∴∠EGB＝45°， ∴∠EGB＝∠ACD，∴EG∥AC. ∵G为BC的中点，∴ ＝ ＝1，∴E为BF的中点. ∵∠BAF＝90°，∴AE＝BE＝FE＝DE. 解法1：因此点A，B，D，F在以点E为圆心，BF为直径的圆 上，∴∠FDB＝90°，∴FD⊥BC. 上一页 下一页 解法2：根据BE＝FE＝DE，可设∠EFD＝∠EDF＝α，则 ∠BED＝2α，∴∠EDB＝∠EBD＝ （180°－∠BED）＝ 90°－α，∴∠FDB＝∠EDF＋∠EDB＝α＋90°－α＝90°， ∴FD⊥BC. 上一页 下一页 压轴题　【变式】（2025·合肥四十二中三模）如图，在等腰直 角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是直线BC上的一个动 点，以AD为底边作等腰直角三角形ADE，连接BE并延长交直 线AC于点F，G为BC的中点，连接AG，EG，FD. （2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，AE与BC相交于 点H，当△ABC与△ADE全等时， 求 的值. 上一页 下一页 解：（2）如图，过点E作EM⊥BD，垂足为M. 由（1），知AG⊥BC，∴EM∥AG，∴△EMH∽△AGH， ∴ ＝ .∵△ABC与△ADE全等，∴AC＝AE. ∵AC＝ AG，AD＝ AE，∴AD＝2AG， ∴ sin ∠ADG＝ ＝ ，∴∠ADG＝30°. 上一页 下一页 由（1）同理可得，E为BF的中点，FD⊥BC. ∵EM⊥BD，∴EM∥DF，∴△BME∽△BDF， ∴ ＝ ＝ .设AG＝a，则GC＝a，DG＝ ＝ a. ∵∠DCF＝∠ACB＝45°，DF⊥BD， ∴DF＝DC＝DG－GC＝（ －1）a， ∴EM＝ DF＝ a，∴ ＝ ＝ . 上一页 下一页 谢谢观看 $