重点题型专题 2 反比例函数与一次函数的综合（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册反比例函数与一次函数综合应用，通过一题多问例题，从解析式求解到几何存在性问题层层递进，搭建前后知识联系的学习支架，帮助学生逐步掌握综合题型解法。 其亮点在于以一题多问驱动思维递进，如面积计算、平移交点等问题培养推理意识，几何与代数结合发展抽象能力，跟踪训练中最值问题用二次函数模型体现模型观念。学生能提升综合应用能力，教师可获得系统教学资源，提高教学效率。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十六章　反比例函数 重点题型专题 2　反比例函数与一次函数的综合 【例】（一题多问）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y＝ （x＞0）与一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象相交于 点A（2，t）与点B（4，2），一次函数的图象与坐标轴分别 交于点C，D. 上一页 下一页 （1）求一次函数和反比例函数的解析式. 解：∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B（4，2）， ∴k＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y＝ （x＞0）. ∵点A（2，t）在反比例函数y＝ 的图象上， ∴t＝4，∴点A的坐标为（2，4）. 把A，B两点的坐标代入y＝ax＋b， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋6. 上一页 下一页 （2）根据图象，当ax＋b＞ 时，求x的取值范围. 解：观察题图可知，当ax＋b＞ 时，x的取值范围是2＜x＜ 4. 上一页 下一页 （3）若F是反比例函数图象上的一点，且S△FOD＝3S△AOB，求 点F的坐标. 解：在y＝－x＋6中，令x＝0，得y＝6， ∴点D的坐标为（0，6），∴OD＝6， ∴S△AOB＝S△BOD－S△AOD＝ ×6×4－ ×6×2＝6. 设点F的坐标为（x， ）. ∵x＞0，∴S△FOD＝ ·OD·x＝ ×6x＝3x. 由S△FOD＝3S△AOB可得3x＝3×6，解得x＝6， ∴ ＝ ，∴点F的坐标为（6， ）. 上一页 下一页 （4）将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向上平移3个单位长度 后与反比例函数的图象交于点M，N，连接AM，CM，求 △ACM的面积. 上一页 下一页 解：如图，延长MA交x轴于点H. 将一次函数y＝－x＋6的图象沿y轴向上平移3个单位长度后的 解析式为y＝－x＋6＋3＝－x＋9. 联立 解得 或 ∴点M的坐标为（1，8），点N的坐标为（8，1）. 设直线AM的解析式为y＝a1x＋b1. 上一页 下一页 把A，M两点的坐标代入， 得解得 ∴直线AM的解析式为y＝－4x＋12. 令y＝0，得－4x＋12＝0，解得x＝3， ∴点H的坐标为（3，0）. 同理可得，点C的坐标为（6，0）， ∴CH＝3， ∴S△ACM＝S△HMC－S△AHC＝ ×3×8－ ×3×4＝6. 上一页 下一页 （5）将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移n（n＞0） 个单位长度，若平移后的图象与反比例函数的图象只有一个交 点，求n的值. 解：将一次函数y＝－x＋6的图象沿y轴向下平移n个单位长度 后的解析式为y＝－x＋6－n.令－x＋6－n＝ ，整理， 得x2＋（n－6）x＋8＝0. ∵平移后的图象与反比例函数的图象只有一个交点， ∴Δ＝（n－6）2－4×8＝0，解得n＝6－4 或 n＝6＋4 .∵反比例函数的图象在第一象限， ∴6－n＞0，∴n＝6－4 . 上一页 下一页 （6）在x轴上是否存在一点P，使得AP＋BP的值最小？若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 上一页 下一页 解：在x轴上存在一点P，使得AP＋BP的值最小. 如图，作点B（4，2）关于x轴的对称点B'（4，－2），连接 AB'，AB'与x轴的交点即为点P. 设直线AB'的解析式为y＝a'x＋b'.将点A（2，4），B'（4，－2）代入， 得 解得 ∴直线AB'的解析式为y＝－3x＋10. 令y＝0，得－3x＋10＝0，解得x＝ ， ∴在x轴上存在点P（ ，0），使得AP＋BP的值最小. 上一页 下一页 （7）在x轴上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，求点Q的 坐标. 解：设点Q的坐标为（m，0）. ∵A（2，4），B（4，2）， ∴AQ2＝（2－m）2＋42＝（m－2）2＋16， BQ2＝（4－m）2＋22＝（m－4）2＋4， AB2＝（2－4）2＋（4－2）2＝8. 上一页 下一页 ①当∠ABQ＝90°时，AB2＋BQ2＝AQ2， 即8＋（m－4）2＋4＝（m－2）2＋16， 解得m＝2，∴Q（2，0）. ②当∠BAQ＝90°时，AB2＋AQ2＝BQ2， 即8＋（m－2）2＋16＝（m－4）2＋4， 解得m＝－2，∴Q（－2，0）. 上一页 下一页 ③当∠BQA＝90°时，AQ2＋BQ2＝AB2， 即（m－2）2＋16＋（m－4）2＋4＝8. 整理，得m2－6m＋16＝0. ∵Δ＝（－6）2－4×16＜0，∴此方程无解. 综上，点Q的坐标为（2，0）或（－2，0）. 上一页 下一页 跟踪训练 如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的 图象交于点A（4，n）.将点A沿x轴的正方向平移m（m＞ 0）个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐 标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数y ＝ （x＞0）的图象上. 上一页 下一页 （1）求n，k的值. 解：（1）将点A（4，n）代入y＝2x， 得n＝8， ∴点A的坐标为（4，8）. 将点A（4，8）代入y＝ ， 得k＝32. 上一页 下一页 （2）当m为何值时，AB·OD取得最大值？最大值是多少？ 解：（2）解法1：由题意，得点B的坐标为（4＋m，8）. 设点D的坐标为（d，0）. ∵C是BD的中点，∴点C的纵坐标为 ＝4. ∵点C在反比例函数y＝ 的图象上， ∴点C的坐标为（8，4），∴ ＝8， ∴d＝12－m，∴AB＝m，OD＝12－m， ∴AB·OD＝m·（12－m）＝－（m－6）2＋36， ∴当m＝6时，AB·OD取得最大值，最大值是36. 上一页 下一页 解法2：∵点B的横坐标大于点D的横坐标， ∴点B在点D的右侧. 如图，过点C作直线EF⊥x轴于点F，交AB于点E. 上一页 下一页 由题意，得AB∥x轴，AB＝m， ∴∠B＝∠CDF. ∵C为BD的中点，∴BC＝DC. 在△ECB和△FCD中， ∴△ECB≌△FCD（ASA），∴BE＝DF，CE＝CF. ∵AB∥x轴，点A的坐标为（4，8），∴EF＝8， ∴CE＝CF＝4，∴点C的纵坐标为4. 上一页 下一页 由（1），知反比例函数的解析式为y＝ ， ∴当y＝4时，x＝8，∴点C的坐标为（8，4）， ∴点E的坐标为（8，8），点F的坐标为（8，0）. ∵点A的坐标为（4，8），AB＝m，AB∥x轴， ∴点B的坐标为（m＋4，8），∴BE＝m＋4－8＝m－4， ∴DF＝BE＝m－4，∴OD＝8－（m－4）＝12－m， ∴AB·OD＝m·（12－m）＝－（m－6）2＋36， ∴当m＝6时，AB·OD取得最大值，最大值是36. 上一页 下一页 谢谢观看 $