题型15 手拉手旋转相似模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册相似三角形中的手拉手旋转相似模型，通过阜阳三模例题引入旋转性质与相似判定的结合，以例题解析、变式训练和压轴题分层设计为支架，帮助学生构建从基础证明到综合应用的知识脉络。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，通过一题多解（如压轴题两种证法）培养数学思维的推理能力，结合几何直观（辅助线添加）和模型观念（手拉手模型应用），如变式题中正方形动态问题的角度与最值计算。学生能提升综合解题能力，教师可获得系统分层教学资源。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十七章　相似 27.2　相似三角形 题型15　手拉手旋转相似模型 （2025·阜阳三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝BC. 将△ABC绕顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接 CE，BD，延长EC交BD于点F. （1）求证：∠CED＝∠BCF； 上一页 下一页 解：（1）证明：由旋转可知， AC＝AE，∠AED＝∠ACB＝90°， ∴∠AEC＝∠ACE. ∵∠AED＝∠AEC＋∠CED＝90°， ∴∠ACE＋∠CED＝90°. 又∵∠ACE＋∠ACB＋∠BCF＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°，∴∠CED＝∠BCF. 上一页 下一页 （2025·阜阳三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝BC. 将△ABC绕顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接 CE，BD，延长EC交BD于点F. （2）若CE＝ ，求BD的长； 上一页 下一页 解：（2）由旋转可知，AB＝AD，AC＝AE， ∠BAD＝∠CAE，∴ ＝ ， ∴△DAB∽△EAC，∴ ＝ . 又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝ AC， ∴BD＝ CE＝2. 上一页 下一页 （2025·阜阳三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝BC. 将△ABC绕顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接 CE，BD，延长EC交BD于点F. （3）求证：F是线段BD的中点. 上一页 下一页 解：（3）证明：如图，过点D作DM⊥EF于点M，过点B作 BN⊥EF，交EF的延长线于点N， ∴∠DME＝∠BNC＝90°. ∵∠BCN＝∠DEM，BC＝DE， ∴△BCN≌△DEM（AAS），∴BN＝DM. 又∵∠DFM＝∠BFN，∠DMF＝∠BNF＝90°， ∴△DFM≌△BFN（AAS）， ∴DF＝BF，即F是线段BD的中点. 上一页 下一页 拔高题　【变式1】（2025·六安金安区一模）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，连接AC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E 是边AB上的点，连接DE，CE，∠ECD＝45°.有下列结论： ①∠AED＝∠ECB；②BC＝CE；③BE＝ AD；④∠ADE ＝∠ACE. 其中正确结论的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 上一页 下一页 【变式2】如图，在正方形ABCD中，射线AM⊥AC，点E在 边AB上运动（不与点A，B重合），点F在射线AM上，且AF ＝ BE，连接EC，EF，CF. （1）∠ECF的度数为 ⁠； 45°　 上一页 下一页 【解析】（1）∵在正方形ABCD中，AM⊥AC，∴∠FAC＝ ∠B＝90°，AC＝ BC，∠ACB＝45°. 又∵AF＝ BE，∴ ＝ ＝ ， ∴△FAC∽△EBC，∴∠FCA＝∠ECB， ∴∠ECF＝∠ACB＝45°. 故答案为45°. 上一页 下一页 【变式2】如图，在正方形ABCD中，射线AM⊥AC，点E在 边AB上运动（不与点A，B重合），点F在射线AM上，且AF ＝ BE，连接EC，EF，CF. （2）若正方形ABCD的边长为1，则△AEF的面积的最大值 为 ⁠. 　 上一页 下一页 【解析】（2）如图，过点F作FH⊥BA，交BA的延长线于点 H. 设BE＝x，则AE＝1－x. ∵AF＝ BE，∠MAH＝45°， ∴AF＝ FH，∴FH＝x， ∴S△AEF＝ x（1－x）＝－ ＋ ≤ ， ∴△AEF的面积的最大值为 . 故答案为 . 上一页 下一页 压轴题　【变式3】（2025·合肥中科大附中期末）如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2AC，M为边AB上的一个动 点，连接CM，过点M在AB上方作MN⊥CM，且MN＝ 2CM，连接CN，BN. （1）如图1，①求证：△ABC∽△MNC； 上一页 下一页 解：（1） ①证明:∵AB＝2AC,MN ＝2CM, ∴ ＝ ＝ 12 ,∴ ＝ ． ∵∠A＝∠CMN＝90°, ∴△ABC∽△MNC． 上一页 下一页 ②解法1：如图1，过点N作NG⊥AB，交AB延长线于点G， 设MN与BC交于点P. ∵∠A＝∠CMN＝90°， ∴∠ACM＝∠GMN＝90°－∠CMA. ∵∠A＝∠G＝90°， ∴△CAM∽△MGN，∴ ＝ ＝ ，∴MG＝2AC＝AB. 由①，知△ABC∽△MNC， ②【一题多解】求∠CBN的度数. 上一页 下一页 ∴∠CBM＝∠CNM， ＝ ，∴ ＝ . ∵∠CPN＝∠MPB，∴∠BCN＝∠GMN， ∴△CBN∽△MGN，∴∠CBN＝∠MGN＝90°. 解法2（手拉手旋转相似）：由①，知△ABC∽△MNC， ∴ ＝ ，∠ACM＝∠BCN，∴ ＝ ， ∴△ACM∽△BCN，∴∠CBN＝∠CAM＝90°. 上一页 下一页 压轴题　【变式3】（2025·合肥中科大附中期末）如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2AC，M为边AB上的一个动 点，连接CM，过点M在AB上方作MN⊥CM，且MN＝ 2CM，连接CN，BN. （2）如图2，当AN经过BC的中点O时，求 的值. 上一页 下一页 解：（2）如图2，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点 G，过点B作BH∥AC交AN于点H，∴∠CAO＝∠BHO， ∠ABH＝∠BAC＝90°.设AM＝a，AC＝b，则AB＝2b.由 ②可知，△CAM∽△MGN，∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴GM＝2AC＝2b，GN＝2AM＝2a， ∴AG＝AM＋GM＝a＋2b. 上一页 下一页 ∵O是BC的中点，∴OC＝OB. ∵∠COA＝∠BOH， ∴△COA≌△BOH（AAS），∴BH＝AC＝b. ∵∠ABH＝∠G＝90°，∠BAH＝∠GAN，∴△ABH∽△AGN，∴ ＝ ，即 ＝ . 整理，得a＝ b，∴ ＝ ＝ . 上一页 下一页 谢谢观看 $