题型12 构造母子型相似模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦第二十七章相似三角形中的“构造母子型相似模型”，通过基础例题（如Rt△ABC中EF最小值问题）及变式题（正方形、矩形等几何图形最值），搭建从相似判定定理到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以“构造相似模型”为主线，通过具体几何问题培养学生几何直观（数学眼光），借助相似推理过程发展推理能力（数学思维），用符号语言和模型表达解题思路（数学语言）。层次分明的例题变式助力学生逐步提升，为教师提供系统教学资源，提升教学效率与学生解题能力。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十七章　相似 27.2　相似三角形 题型12　构造母子型相似模型 （2025·池州青阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上的一个动点，F为AB 的中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE·BD，连接 EF，CE，则EF的最小值为（　A　） A A. －1 B. 1 C. D. 上一页 下一页 【解析】∵CD2＝DE·BD，∴ ＝ . 又∵∠EDC＝∠CDB，∴△CDE∽△BDC， ∴∠DEC＝∠DCB＝90°， ∴∠BEC＝180°－∠DEC＝90°. 如图，取BC的中点Q，连接FQ，EQ，则EQ＝ BC＝1. ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4， 上一页 下一页 ∴AC＝ ＝ ＝2 . ∵F为AB的中点，Q为BC的中点， ∴FQ＝ AC＝ . ∵EF≥FQ－EQ，∴当F，E，Q三点共线时， EF有最小值，∴EF的最小值为FQ－EQ＝ －1. 上一页 下一页 拔高题　 【变式1】（2025·滁州天长二模）如图，E是边长为 2的正方形ABCD的边BC上的一个动点，P是线段AE上的一个 动点，且满足AP·AE＝4，则PD的最小值是（　A　） A. －1 B. 3 C. ＋1 D. 2 A 上一页 下一页 【解析】如图，连接BP，取AB的中点F，连接PF，DF. ∵正方形ABCD的边长为2， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝2， ∴AF＝ AB＝1， ∴DF＝ ＝ . ∵AP·AE＝4＝AB2，∴ ＝ . 又∵∠PAB＝∠BAE， ∴△PAB∽△BAE， 上一页 下一页 ∴∠APB＝∠ABE＝90°， ∴PF＝ AB＝1. ∵PD≥DF－PF， ∴当D，P，F三点共线时，PD有最小值， ∴PD的最小值为DF－PF＝ －1. 上一页 下一页 压轴题　【变式2】（2024·六安霍邱模拟）如图，在矩形 ABCD中，已知AB＝3，BC＝6，E为边AD上的一个动点.将 △ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接 DF，CF，则DF＋ CF的最小值为（　D　） A. B. C. 4 D. D 上一页 下一页 【解析】如图，在BC上取点G，使BG＝ ，连接FG，DG. 由翻折，得BF＝AB＝3. 又∵BC＝6，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠FBG＝∠CBF，∴△FBG∽△CBF， ∴ ＝ ＝ ，∴FG＝ CF， ∴DF＋ CF＝DF＋GF≥DG， ∴当D，F，G三点共线时，DF＋ CF有最小值. 上一页 下一页 在Rt△CDG中，CD＝AB＝3，CG＝BC－BG＝ ， ∠BCD＝90°，∴DG＝ ＝ ， 即DF＋ CF的最小值为 . 上一页 下一页 【变式3】（2025·芜湖开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CB＝6，AC＝9.以点C为圆心，3为半径作☉C，P为 ☉C上的一个动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的最小值为 （　D　） D A. 7 B. 5 C. 4＋ D. 上一页 下一页 【解析】如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM， PC，BM. ∵PC＝3，CM＝1，AC＝9， ∴PC2＝CM·AC，∴ ＝ . 又∵∠PCM＝∠ACP， ∴△PCM∽△ACP， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴PM＝ AP， 上一页 下一页 ∴ AP＋BP＝PM＋PB≥BM， ∴当B，P，M三点共线时， AP＋BP有最小值. 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝6， ∴BM＝ ＝ ＝ ， ∴ AP＋BP的最小值为 . 上一页 下一页 谢谢观看 $