题型9 8字型（蝴蝶型）相似模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册相似三角形，围绕8字型（蝴蝶型）相似模型展开，通过四边形对角线相交的全等与相似证明例题，衔接全等三角形知识，搭建从全等到相似的学习支架，帮助学生逐步掌握相似判定与性质。 其亮点在于采用一题多解（如四点共圆法与相似判定法证△CDE∽△BAE）培养推理能力，结合合肥四十五中一模压轴题强化模型观念与应用意识。学生能提升解题思维，教师可借助丰富例题优化教学，提高课堂效率。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十七章　相似 27.2　相似三角形 题型9　8字型（蝴蝶型）相似模型 【一题多解】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点E，且AC⊥BC，BD⊥AD. （1）若∠DAB＝∠CBA，求证：△ADE≌△BCE； 上一页 下一页 【例】解（1） 证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD, ∴∠ACB＝∠ADB＝90°． ∵∠AED＝∠BEC,∴∠DAC＝∠DBC． ∵∠DAB＝∠CBA, ∴∠DAB－∠DAC＝ ∠CBA－∠DBC, ∴∠CAB＝∠DBA, ∴AE＝BE． 在△ADE 和△BCE 中, ∠ADE＝∠BCE, ∠AED＝∠BEC, AE＝BE, ∴△ADE≌△BCE(AAS)． 上一页 下一页 （2）求证：△CDE∽△BAE； 【一题多解】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点E，且AC⊥BC，BD⊥AD. 上一页 下一页 解：解法1（四点共圆法）： （2）如图，取AB的中点O，连接OC，OD. ∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴OC＝OD＝ AB＝OA＝OB， ∴点A，B，C，D在以点O为圆心，以OA为半径的圆上， ∴∠DCA＝∠DBA，∠CDB＝∠CAB， ∴△CDE∽△BAE. 上一页 下一页 解：（3）由（2）可知，点A，B，C，D在以点O为圆心， 以OA为半径的圆上， ∴∠CAD＝∠CBD. ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAC， （3）若AC平分∠DAB，CD＝5，AB＝13，求CE的长. 【一题多解】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点E，且AC⊥BC，BD⊥AD. 上一页 下一页 ∴BC＝CD＝5，∴AC＝ ＝ ＝12. ∵∠BCE＝∠ACB，∠CBE＝∠CAB，∴△BCE∽△ACB， ∴ ＝ ，∴CE＝ ＝ ＝ . 上一页 下一页 解法2：（2）由题意，易证△ADE∽△BCE，∴ ＝ ， ∴ ＝ .又∵∠DEC＝∠AEB，∴△CDE∽△BAE. （3）由（2）可知，△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC. 后 续同解法1. 上一页 下一页 压轴题　 【变式】（2025·合肥四十五中一模）如图1，在四边 形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，BD交于点 P，且满足PA·PC＝PB·PD. （1）求证：∠ABD＝∠ACD. 解：（1）证明：∵PA·PC＝PB·PD， ∴ ＝ .∵∠APB＝∠DPC， ∴△ABP∽△DCP， ∴∠ABP＝∠DCP，即∠ABD＝∠ACD. 上一页 下一页 ①求 的值； （2）如图2，已知 ＝ ，过点P作PE⊥AB于点E. 压轴题　 【变式】（2025·合肥四十五中一模）如图1，在四边 形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，BD交于点 P，且满足PA·PC＝PB·PD. 上一页 下一页 解：（2）①∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵PA·PC＝PB·PD，∴ ＝ . 又∵∠APD＝∠BPC，∴△APD∽△BPC， ∴∠ADP＝∠BCP＝45°. 由（1），知△ABP∽△DCP，∴∠CDP＝∠BAP＝45°， ∠ABP＝∠PCD，∴∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝90°. ∵PE⊥AB，∴∠PEB＝∠ADC＝90°，∴△BPE∽△CAD， 上一页 下一页 ∴ ＝ ，∴ ＝ . ∵ ＝ ，∴ ＝ .∵PE⊥AB，∠BAC＝45°， ∴∠APE＝∠EAP＝45°，∴AE＝PE. ∵AB＝BC，∴ ＝ ＝ ＝ . 上一页 下一页 ②如图3，连接DE，若S△AED＝8，求BD的长. （2）如图2，已知 ＝ ，过点P作PE⊥AB于点E. 压轴题　 【变式】（2025·合肥四十五中一模）如图1，在四边 形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，BD交于点 P，且满足PA·PC＝PB·PD. 上一页 下一页 解： ②如图3，过点A作AF⊥BD交BD于点F，连接EF，则∠AFB＝∠ADC＝90°. 由（1），知∠ABF＝∠ACD，∴△AFB∽△ADC， ∴ ＝ ，∴ ＝ . 上一页 下一页 ∵ ＝ ，∴ ＝ .∵∠ADP＝45°，AF⊥BD，∴∠DAF ＝∠ADF＝45°，∴AF＝DF，∴ ＝ ＝ . 由①，知 ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ . ∵∠EBF＝∠ABD，∴△EBF∽△ABD，∴∠BEF＝∠BAD， ∴EF∥AD，∴S△AFD＝S△AED＝8. ∵S△AFD＝ DF·AF＝ AF2＝8，∴AF＝4，∴BF＝3，∴BD ＝BF＋DF＝BF＋AF＝3＋4＝7. 上一页 下一页 谢谢观看 $