方法归纳专题 7 利用三角函数解决实际问题的常用方法（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册锐角三角函数，围绕利用三角函数解决实际问题的常用方法展开，通过基本图形归纳和作高构造直角三角形的解题思路，搭建从三角函数定义到实际应用的学习支架，帮助学生衔接理论与实践。 其特色在于融入跨学科（光的折射实验）、生活情境（机械零件制作）、现代科技（无人机表演）等新情境例题，以数学眼光观察现实问题，通过作辅助线构建直角三角形培养数学思维，用三角函数关系表达解题过程发展数学语言。采用例题解析与方法归纳结合的教学方式，学生能提升实际应用能力，教师可获得丰富教学素材。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十八章　锐角三角函数 方法归纳专题 7　利用三角函数解决实际问题的常用方法 基本图形： 解题思路：通过作高构造直角三角形，解直角 三角形即可 　　　BC＝ ＋ 　　BC＝ － 图形演变： 上一页 下一页 1. 【新情境·跨学科】（2024·安徽）科技社团选择学校游泳池 进行一次光的折射实验.如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m，点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值.（结果精确到0.1，参考数据： sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80， tan 36.9°≈0.75） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：如图，过点E作EH⊥AD于点H. 由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°， ∠CBE＝β，EH＝1.20 m，DH＝CE. 在Rt△BCE中， CE＝ ≈ ＝1.60（m）， ∴AH＝AD－DH＝AD－CE≈2.50－1.60＝0.90（m）， ∴AE＝ ≈ ＝1.50（m）， ∴ sin γ＝ ≈ ＝0.60.∵ sin β＝ sin ∠CBE＝ ＝ cos ∠CEB＝ cos α≈0.80， ∴ ≈ ≈1.3. 1 2 3 4 上一页 下一页 2. 【新情境·生活情境】（2025·安徽二模）学生到工厂开展实 践活动，学习制作机械零件.某零件的截面如图所示，通过测 量可知，AB⊥BC，BC＝5 cm，CD＝2 cm，∠C＝45°， ∠D＝153°.求该零件的截面面积.（结果精确到0.1 cm2，参 考数据： sin 18°≈0.31， cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32， ≈1.73， ≈1.41） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：如图，过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F， 则四边形DEBF为矩形. ∵∠C＝45°，∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝45°.∵∠ADC＝153°， ∴∠ADF＝153°－45°－90°＝18°. ∵CD＝2 cm，∠C＝45°，∴DE＝CE＝2 cm. ∵BC＝5 cm，∴BE＝BC－CE＝5－2＝3（cm）， ∴DF＝BE＝3 cm，∴在Rt△ADF中， AF＝DF·tan∠ADF≈3×0.32＝0.96（cm）. 1 2 3 4 上一页 下一页 因此S矩形DEBF＝BE·DE＝3×2＝6（cm2）， S△AFD＝ AF·DF≈ ×0.96×3＝1.44（cm2）， S△DEC＝ ×DE2＝ ×4＝2（cm2）. 故该零件的截面面积约为6＋1.44＋2＝9.44≈9.4（cm2）. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. 【新情境·现代科技】（2025·合肥模拟）一名摄影爱好者记 录的无人机表演的“凤凰涅槃”的示意图如图所示.摄影爱好 者在水平地面AF上的点A处测得无人机所处位置点D的仰角 ∠DAF为53°，当摄影爱好者沿着倾斜角为28°（即∠BAF＝ 28°）的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点D水平飞到 点C的位置，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角 ∠CBE为45°.已知AB＝5米，CD＝8米，且A，B，C，D四 点在同一竖直平面内.（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ， sin 28°≈0.47， cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53） 1 2 3 4 上一页 下一页 （1）求点B到地面AF的距离（结果精确到0.01米）； 解：（1）如图，过点B作BG⊥AF，垂足为G. 在Rt△ABG中，∠BAG＝28°，AB＝5米， ∴BG＝AB· sin 28°≈5×0.47＝2.35（米）. 答：点B到地面AF的距离约为2.35米. 1 2 3 4 上一页 下一页 （2）求无人机在点D处时到地面AF的距离（结果精确到0.1 米）. 解：（2）如图，过点C作CP⊥AF，垂足为P，交BE于点 M，过点D作DH⊥AF，垂足为H. 由题意，得BG＝MP≈2.35米，CD＝HP＝8米， DH＝CP，BM＝PG，CP⊥BE. 设DH＝CP＝x米， 则CM＝CP－MP≈（x－2.35）米. 1 2 3 4 上一页 下一页 在Rt△ADH中，∠DAH＝53°， ∴AH＝ ≈ ＝ x（米）. 在Rt△BCM中，∠CBE＝45°， ∴BM＝ ≈（x－2.35）米， ∴PG＝BM≈（x－2.35）米. 在Rt△ABG中，∠BAG＝28°，AB＝5米， ∴AG＝AB· cos 28°≈5×0.88＝4.4（米）. 1 2 3 4 上一页 下一页 ∵AG＋GP＝AH＋HP， ∴4.4＋x－2.35≈ x＋8，解得x≈23.8， ∴DH≈23.8米. 答：无人机在点D处时到地面AF的距离约为23.8米. 1 2 3 4 上一页 下一页 4. （2025·滁州模拟）为保护青少年的视力，某企业研发了可 升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面结 构示意图如图2所示，测得底座高AB为2 cm，∠ABC＝ 150°，支架BC＝18 cm，面板长DE＝24 cm，CD＝6 cm. （厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度.（结果保留根号） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（1）如图2，过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF 于点M，∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°. 由题意，得∠BAF＝90°，∴四边形ABMF为矩形， ∴MF＝AB＝2 cm，∠ABM＝90°. ∵∠ABC＝150°，∴∠MBC＝60°.∵BC＝18 cm， ∴CM＝BC· sin 60°＝18× ＝9 （cm）， ∴CF＝CM＋MF＝（9 ＋2）cm. 答：支点C离桌面l的高度为（9 ＋2）cm. 1 2 3 4 上一页 下一页 4. （2025·滁州模拟）为保护青少年的视力，某企业研发了可 升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面结 构示意图如图2所示，测得底座高AB为2 cm，∠ABC＝ 150°，支架BC＝18 cm，面板长DE＝24 cm，CD＝6 cm. （厚度忽略不计） （2）当面板DE绕点C转动，面板与桌面 的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力 的效果较好.在α从30°变化到70°的过程 中，面板上端E离桌面l的高度增加了还是 减少了？增加或减少了多少？（结果精确到0.1 cm，参考数据： sin 70°≈0.94， cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（2）如图2，过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点 H，∴∠EHC＝90°. ∵DE＝24 cm，CD＝6 cm，∴CE＝18 cm. 当∠ECH＝30°时，EH＝CE· sin 30°＝18× ＝9（cm）； 当∠ECH＝70°时， EH＝CE· sin 70°≈18×0.94＝16.92（cm）. 1 2 3 4 上一页 下一页 16.92－9＝7.92≈7.9（cm）. 答：当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高 度增加了，增加了约7.9 cm. 1 2 3 4 上一页 下一页 谢谢观看 $