专题07 相似三角形（期末复习知识清单，9知识&10题型&3易错&3方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学相似三角形专题知识清单全面覆盖比例线段、黄金分割、相似判定与性质、位似变换等核心内容，构建了从基础概念到判定方法，再到实际应用的递进式学习支架，系统梳理9大知识模块。 清单以“知识清单+题型分类+方法口诀”三维架构呈现，10类题型含典例与变式，重点标注“平行线分线段成比例”等关键定理，融入“平行出A8，直角出母子”等模型口诀，培养推理意识与模型意识，助力学生高效掌握，方便教师精准教学。

专题07 相似三角形（9知识&10题型&3易错&3方法清单） 【清单01】比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 【清单03】相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单04】平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单05】相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 【清单08】相似三角形的应用 1.利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似图形 1.定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3.作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 【题型一】比例的性质 【典例1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，设， ∴，故C错误， D、，故D正确 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据，整理得，再代入进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 【变式3】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型二】黄金分割 【典例2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 【变式1】（2025·江苏扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．根据黄金分割的定义可得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 【题型三】由平行截线求相关线段的长或比值 【典例3】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，直线分别交于点A、B、C，直线分别交于点D、E、F，已知，若，则的长是（　　） A． B． C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图， 已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型四】相似图形判断 【典例4】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 【变式3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 【题型五】相似多边形的性质 【典例4】（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，如果纸和纸的长宽比例是相等的，那么纸的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【详解】设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得 ． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似图形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：正五边形与正五边形的面积比为， ∴相似比为， 故选：C ． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质可得，再结合四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵ 四边形 四边形 ， ， ∴， ∵，， ∴； 故选：D 【变式3】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的对应边的比相等，周长的比等于相似比即可求解． 【详解】解：两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为， 较大的一个多边形的周长为， 故选：B． 【题型六】相似三角形的性质 【典例6】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先根据证明，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ，， ， ， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，，，，，那么的值等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的对应角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【题型七】相似三角形的判定与性质 【典例7】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 【变式1】（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先证，再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解； （2）根据（1）的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， （2）， ， 当时，矩形面积的最大值为． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 【题型八】相似三角形的应用 【典例8】（24-25八年级下·山东东营·期末）综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∴ 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 【变式1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）潍坊人民广场观光塔是潍坊的地标性建筑某数学兴趣小组的同学们开展了测量观光塔高度的实践活动，并形成了如下活动报告． 课题 测量潍坊人民广场观光塔的高度 工具 皮尺、平面镜等． 示意图 说明 如图，小亮站在处，发现他的影子顶端与观光塔的影子顶端重合于点；小莹在处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），当小莹到达点时，刚好从平面镜中看到观光塔的顶端的像其中表示观光塔的高度，表示小亮头顶到地面的高度，表示小莹的眼睛到地面的高度，，均垂直于地面，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 测量数据 ，，，，． 请你根据以上活动报告，帮助该小组求出观光塔的高度． 【答案】该塔的高为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用. 根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ，，， ， ， ， ，，，，． ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 该塔的高为米． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】(1)墙的垂直高度为米 (2)墙的垂直高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； （2），， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）如图一：小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为多少米． （2）如图二：在阳光下，小明在某一时刻测得与地面垂直、长为的杆子在地面上的影子长为，他想测量电线杆的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，，求电线杆的高度． 【答案】（1）树高为米；（2）线杆的高度为（米） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，注意；影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据：同一时刻物高与影长成比例进行计算． （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据题意可得，代入数据即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，然后根据物长和影长的比值计算即可． 【详解】解：如图一所示，连接并延长交延长线于点， 依题意，， ∵， ∴， ∴ ∴米 答：树高为米． （2）如图二所示，延长交延长线于点，过点作于点， 依题意，， 在中， ∴， ∴ ∴ ∴（米） 答：线杆的高度为（米） 【题型九】位似变换 【典例9】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是(   ) A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可． 【详解】解：以坐标原点O为位似中心，将放大为原来的2倍， 则：点E的对应点的坐标是或，即：或； 故选C． 【变式1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，由题意得，可得与的相似比为，进而可得与的面积比为． 【详解】解：， ， 与的相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，与位似，位似中心是点O，且，若的周长为5，则的周长为（    ） A．10 B．15 C．20 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，求得相似比，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，以原点O为位似中心，把缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为原来的，点A的坐标分别为， ∴点A的对应点的坐标为或，即或， 故选：A． 【题型十】作图-位似变换 【典例10】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）． (1)画出向左平移3个单位后得到的，并写出点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和位似变换作图．正确得出对应点位置是解题关键． （1）将的三个顶点A、B、C依次向左平移3个单位，即可得、、，再顺次连接即可得，写出点的坐标即可； （2）将的三个顶点A、B、C 的横纵坐标分别乘以 即可得到、、，再顺次连接即可得，利用割补法解即可求出的面积． 【详解】（1）解：平移后图形如下： ； （2）如下图： ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了平移变换． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后描点可得； （2）把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点的坐标，然后描点可得； （3）把点P的横纵坐标都乘以2得到其对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点P在位似上的对应点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 【变式3】（2024·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． (1)以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转： （1）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【题型01 ：平行线分线段成比例】 【典例1】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：， 直线被所截得线段， 直线被所截得线段， ，，， 无法证明A成立，故A选项符合题意， 故选： A． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点过点D作，交于H，，先根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理得到，进一步即可得到答案． 【分析】解：如图，过点D作，交于H， ∵是边上中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型02 ：相似三角形的性质应用】 【典例2】（24-25九年级上·山西·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明，但无法证明； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，即可判断结论是否正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ，但无法证明，故②错误； 如图，过点D作，分别交，于点M，N，则四边形平行四边形，   ， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 【题型03 ：相似三角形的判定与性质综合】 【典例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加平行线辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．过点作交于点，先证明得到，再证明得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线与反比例函数 相交于点D，且，则矩形的面积为（    ）． A．50 B．25 C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答． 【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 【题型一】相似三角形的判定 1.AA 优先用:公共角、对顶角、平行线导出的同位角/内错角，直接锁定相似(80% 题型适用) 2.SAS 抓关键:两边成比例 +夹角相等，牢记“夹角≠非夹角”: 3. SSS 补位用:仅当边长全已知时，快速验证三边比例。 【题型二】常见模型类型 口诀：平行出 A8，直角出母子，等角出三等；先找角，再定模，补辅助，锁比例 【题型三】作辅助线类型 1.作平行线→构造 A/8 字型(最高频); 2.作垂线→造直角母子型， 3.延长线段→补全一线三等角/共角模型。 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形（9知识&10题型&3易错&3方法清单） 【清单01】比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 【清单03】相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单04】平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单05】相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 【清单08】相似三角形的应用 1.利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似图形 1.定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3.作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 【题型一】比例的性质 【典例1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【题型二】黄金分割 【典例2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【题型三】由平行截线求相关线段的长或比值 【典例3】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，直线分别交于点A、B、C，直线分别交于点D、E、F，已知，若，则的长是（　　） A． B． C．9 D．6 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图， 已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【题型四】相似图形判断 【典例4】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【变式3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型五】相似多边形的性质 【典例4】（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，如果纸和纸的长宽比例是相等的，那么纸的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型六】相似三角形的性质 【典例6】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，，，，，那么的值等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型七】相似三角形的判定与性质 【典例7】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)且，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【题型八】相似三角形的应用 【典例8】（24-25八年级下·山东东营·期末）综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 【变式1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）潍坊人民广场观光塔是潍坊的地标性建筑某数学兴趣小组的同学们开展了测量观光塔高度的实践活动，并形成了如下活动报告． 课题 测量潍坊人民广场观光塔的高度 工具 皮尺、平面镜等． 示意图 说明 如图，小亮站在处，发现他的影子顶端与观光塔的影子顶端重合于点；小莹在处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），当小莹到达点时，刚好从平面镜中看到观光塔的顶端的像其中表示观光塔的高度，表示小亮头顶到地面的高度，表示小莹的眼睛到地面的高度，，均垂直于地面，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 测量数据 ，，，，． 请你根据以上活动报告，帮助该小组求出观光塔的高度． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）如图一：小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为多少米． （2）如图二：在阳光下，小明在某一时刻测得与地面垂直、长为的杆子在地面上的影子长为，他想测量电线杆的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，，求电线杆的高度． 【题型九】位似变换 【典例9】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是(   ) A． B．或 C．或 D． 【变式1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，与位似，位似中心是点O，且，若的周长为5，则的周长为（    ） A．10 B．15 C．20 D．45 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，以原点O为位似中心，把缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为（   ） A．或 B． C．或 D． 【题型十】作图-位似变换 【典例10】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）． (1)画出向左平移3个单位后得到的，并写出点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为，直接写出的面积． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【变式3】（2024·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． (1)以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【题型01 ：平行线分线段成比例】 【典例1】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（  ） A． B． C． D． 【题型02 ：相似三角形的性质应用】 【典例2】（24-25九年级上·山西·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型03 ：相似三角形的判定与性质综合】 【典例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线与反比例函数 相交于点D，且，则矩形的面积为（    ）． A．50 B．25 C．15 D． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【题型一】相似三角形的判定 1.AA 优先用:公共角、对顶角、平行线导出的同位角/内错角，直接锁定相似(80% 题型适用) 2.SAS 抓关键:两边成比例 +夹角相等，牢记“夹角≠非夹角”: 3. SSS 补位用:仅当边长全已知时，快速验证三边比例。 【题型二】常见模型类型 口诀：平行出 A8，直角出母子，等角出三等；先找角，再定模，补辅助，锁比例 【题型三】作辅助线类型 1.作平行线→构造 A/8 字型(最高频); 2.作垂线→造直角母子型， 3.延长线段→补全一线三等角/共角模型。 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $