经典模型专题 3 相似三角形的基本模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册相似三角形，系统梳理A字型、8字型、双垂直型等五大基本模型，通过图形、特征、结论的表格化展示搭建学习支架，帮助学生从相似判定与性质过渡到模型应用，构建知识脉络。 其亮点在于以模型为核心整合教学内容，通过几何直观呈现图形特征，结合推理能力训练例题解析，如阜阳太和二模题强化应用。采用模型归类与区域真题结合的方法，培养学生模型意识，助力教师高效教学，提升学生解题能力与数学思维。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十七章　相似 经典模型专题 3　相似三角形的基本模型 模型1　A字型及其变形 模型展示　 图形 特征 DE∥BC ∠AED＝∠C ∠ABD＝∠C 结论 △ADE∽△ABC⇒ ＝ ＝ ①△ABD∽△ACB； ② ＝ ＝ ； ③AB2＝AD·AC 上一页 下一页 1. （2024·阜阳太和二模）如图，在△ABC中，BD平分 ∠ABC，DE∥BC交AB于点E. 若AB＝6，BC＝4，则DE的 值为（　A　） A. 2.4 B. 3 C. 3.6 D. 4.8 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 2. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥BD于点F. 若 ＝ ，EF＝1，则DE的长为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 3. 如图，在△ABC中，D是边AB上的一点，且AB＝ AC＝ 2AD，CD＝2，则BC的长为 ⁠. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BDC的平 分线分别交AC，BC于点M，E，连接OE，且OE⊥BD. （1）求证：△ECD∽△DCB； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵OE⊥BD，∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠BDE. ∵DE平分∠BDC，∴∠CDE＝∠BDE， ∴∠CDE＝∠DBC. 又∵∠DCE＝∠BCD，∴△ECD∽△DCB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 （2）若AB＝6，AD＝9，求 的值. 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝9. ∵△ECD∽△DCB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴EC＝4， ∴BE＝BC－CE＝9－4＝5，∴ ＝ ＝ . 4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BDC的平 分线分别交AC，BC于点M，E，连接OE，且OE⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 模型2　8字型及其变形 模型展示 图形 特征 AB∥CD ∠A＝∠D 结论 △AOB∽△COD⇒ ＝ ＝ △AOB∽△DOC⇒ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 5. 如图，已知∠ADE＝∠AFB，BD＝6，CF＝4，DE＝3， 则EF的长为 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D均为格 点，连接AB，CD相交于点E，则AE的长为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 7. （2024·芜湖无为模拟）如图，在▱ABCD中，E，F分别为 AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则 的值是 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 8. 如图，在△ABC中，BE，CD分别是边AC，AB上的高，连 接DE. 求证：△ADE∽△ACB. 证明：∵BE，CD分别是边AC，AB上的高， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°.∵∠DAC＝∠EAB， ∴△ABE∽△ACD，∴ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 模型3　双垂直型 模型展示 图形 特征 ∠BAC＝90°，AD⊥BC 结论 ①△ABC∽△DBA∽△DAC； ②AB2＝BD·BC； ③AC2＝CD·BC； ④AD2＝BD·CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 9. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC. 已知AB＝6，BC＝9，则BD ＝ ，AD＝ 　2 　，AC＝ 　3 　. 4　 2 　 3 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 10. 在△ABC中，∠C＝90°，A（－1，0），B（3，0）， 点C在y轴上，则顶点C的坐标为 ⁠ ⁠. （0， ）或（0，－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 11. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，BC与过 点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G. （1）求证：AB＝AC； 解：（1）证明：∵EF是☉O的切线，∴AD⊥EF. ∵BC∥EF，∴AD⊥BC. ∵AD是☉O的直径，∴ ＝ ， ∴AB＝AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 11. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，BC与过 点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G. （2）若DG＝BC＝16，求AB的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 解：（2）如图，连接DB. 由（1），知AD⊥BC，∴∠BGD＝∠CGD＝90°， ∴∠DBG＋∠BDG＝90°.∵AD是☉O的直径， ∴∠ABD＝∠ABG＋∠DBG＝90°， ∴∠ABG＝∠BDG，∴△ABG∽△BDG， ∴ ＝ ，即BG2＝AG·DG. 由垂径定理，得BG＝CG. ∵DG＝BC＝16，∴BG＝8，∴82＝AG×16，解得AG＝4. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AB＝ ＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 模型4　手拉手旋转型 模型展示　 图形 特征 △AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转，简记为“共 顶点，顶角相等，旋转得相似” 结论 ①△AOC∽△BOD； ② ＝ ＝ ； ③两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等 或互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 12. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝ 6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点 E. 将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，连接BD，CE， 则图2中 的值为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 13. （1）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE， ∠ABD＝∠ACE. ①求证：△ABC∽△ADE； 解：（1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD∽△ACE，∴ ＝ ，∴ ＝ . ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 13. （1）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE， ∠ABD＝∠ACE. ②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由. 解： ②△ADE是等腰三角形.理由如下： 由①，知 ＝ . ∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 13. （1）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE， ∠ABD＝∠ACE. （2）如图2，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE，求 证：CE⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 解：（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE， ∴△BAC∽△DAE，∴ ＝ ，∴ ＝ . ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE. ∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 模型5　一线三等角型 模型展示　 图形 （1）一线三等角模型（同侧型） （2）一线三等角模型（异侧型） 特征 ∠1＝∠2＝∠3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 结论 △ABC∽△CDE 特例 当C为BD的中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 14. （2024·宿州萧县一模）如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是边AB，BC上的点，且DE⊥EF. 若 ＝ ，则 的值 为（　A　） A. 1 B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接 AD，DE，且∠B＝∠ADE＝∠C. （1）求证：△BDA∽△CED； 解：（1）证明：∵∠ADE＋∠ADB＋∠EDC＝180°， ∠B＋∠ADB＋∠DAB＝180°，∠B＝∠ADE， ∴∠EDC＝∠DAB. 又∵∠B＝∠C，∴△BDA∽△CED. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接 AD，DE，且∠B＝∠ADE＝∠C. （2）若∠B＝45°，BC＝2，点D在边BC上运动（点D不与 点B，C重合），当△ADE是等腰三角形时，求此时BD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 解：（2）∵∠B＝45°，∴∠B＝∠ADE＝∠C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°. ∵BC＝2，∴由勾股定理，得AB＝AC＝ . 分三种情况： ①若AD＝AE，则∠ADE＝∠AED. ∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠DAE＝90°，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去. ②如图1，若EA＝ED，则∠EAD＝∠EDA＝45°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 ∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC， ∴BD＝ BC＝1. ③如图2，若DA＝DE，则∠DAE＝∠DEA. 由（1）可知，∠EDC＝∠DAB，∠B＝∠C， ∴△BDA≌△CED（AAS）， ∴AB＝DC＝ ， ∴BD＝BC－DC＝2－ . 综上所述，BD的长为1或2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上一页 下一页 谢谢观看 $