27.2.1 第2课时 三边关系、边角关系判定三角形相似（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

初中同步训练 数学 九年级下册 (RJ版) 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 三边关系、边角关系判定三角形相似 学习目标 1. 探索“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且 夹角相等的两个三角形相似”的判定定理. 2. 掌握利用三边、边和角的关系来判定两个三角形相似 的方法，并能进行相关计算. (重点、难点) 复习导入 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中得到证明三角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？ A B C D E 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 探 究 新 知 1.三边成比例的两个三角形相似 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A B C C′ B′ A′ A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似． 归纳： ∵ ， ∴ △ ABC ∽△A′B′C. 符号语言： 小例题 1、如图，方格网的小方格是边长为1 的正方形，△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，为什么？ 解： 由于△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上， 根据勾股定理，得 AB= = , AC= 2 BC= = A'B'= = , A'C'= = , B'C'= 5 ∵ AB A'B' = = ， 5 AC A'C' = = ， 5 2 BC B'C' = 5 ∴ AB A'B' = AC A'C' = BC B'C' ∴ △ABC∽△DEF 利用三角形三边对应成比例判定两个三角形相似的步骤： ① 首先按从小到大的排列找出对应边； ② 再分别计算 小，中，大 三组对应边长度的比； ③ 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似. 1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 （ ） ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 随堂练习 2. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C. 解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB= ，AC= ，AD= . 3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴△ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ ∴ 探 究 新 知 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使 ∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关 系？ 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两个三角形相似 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， ∴ 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 1、在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.问这两个三角形相似吗? 为什么？ 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似的步骤： 解： 相似 理由如下： ∵ ∠A=∠E=48°， AB EF = 1.5 2.1 = ， 5 7 AC DE = 2 2.8 = 5 7 ∴ AB EF = AC DE ∴ △ABC∽△DEF 特别提醒： ① 找出两个三角形中相等的那个角； ② 再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按从小到大的排列找出对应边. ③ 最后看两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似. 小例题 2、在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么. 解： 相似 理由如下： 在Rt△A'B'C'中， 由勾股定理，得 另一边的直角边为 20 cm. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， 夹直角的两条边对应成比例， 即 3 15 = 4 20 ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 随堂练习 1. 如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( ) A. AC CD = AB BC B. CD AD = BC AC C. AC2=AD·AB D. CD2=AD·BD C 2. 如图，BC与DE 相交于点O.问： (1) 当∠B满足什么条件时， (2) 当 AC：AE 满足什么条件时， 解： (1) ∵ ∠A=∠A ∴ 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. (2) ∵ ∠A=∠A ∴ 当 AC：AE=AB：AD 时， △ABC∽△ADE. △ABC∽△ADE？ △ABC∽△ADE？ 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边 AB，AC上，∠AED=∠B. 射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 . AD AC = DF CG (1) 求证：△ADF∽△ACG； AD AC = 1 2 (2) 若 ，求 的值. AF FG (1)证明: ∵ ∠AED=∠B， ∠DAE=∠BAC ∴ ∠ADF=∠C 又 ∵ AD AC = DF CG ∴ △ADF∽△ACG (2)解： △ADF∽△ACG ∴ AD AC = AF AG 又 ∵ AD AC = 1 2 ∴ AF AG = 1 2 ∴ AF FG = 1 4. 如图，在△ABC中，AB=16，AC=8，在AC上取一点D，使AD=5，如果在AB上取一点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长. A B C D 解： ① 如图，当AD和AC是对应边时， E A B C D E AE AB = AD AC ∵ AB=16，AC=8，AD=5 ∴ AE 16 = 5 8 解得 AE=10 ② 如图，当AD和AB是对应边时， AE AC = AD AB ∵ AB=16，AC=8，AD=5 ∴ AE 8 = 5 16 解得 AE= 5 2 ∴ ∴ △ADE∽△ACB △ADE∽△ABC 1.三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 $