方法归纳专题7 利用三角函数解决实际问题的常用方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

在Rt△AOD中，∠OAD=41.3°， cos41.3°=A0,即A0 AD 3 c0s41.3≈0.75=4（米）， tan41.3° AD,即0D=AD·tan41.3°≈3×0.88= O 2.64(米)， .CD=CO+OD=AO+OD≈4+2.64=6.64（米）. 答：点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 4.A5.50√3 6.解：如图，过点A作AE⊥CD,垂足为E. 36.9° 423.809E ”地面 由题意，得四边形ABCE为矩形， ∴.CE=AB=13.20m. 在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE AE CE 13.2013.20 六AE=tan∠CAE-tan23.8≈0.44 =30.0(m). 在Rt△ADE中，oS∠DAE=AE AD' AE 30.030.0 ..AD= cos/DAEcos 36.90.80-37.5(m). 答：AD的长约为37.5m. 7.22.78.11648π 9.解：(1)如图，将测角仪放在点D处，CD为测角仪 的高度，用皮尺测量出点D到AB的距离为m,用测 角仪测出点A的仰角为α，测出，点B的俯角为B.(设 计方案不唯一，合理即可) (2)如图，过，点C作CE⊥AB于点E, 则四边形CDBE是矩形，∠ACE=a,∠BCE=B, ..CE=BD=m,BE=CD, .在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=mtan B, 在Rt△ACE中，AE=CE·tan∠ACE=mtan a, .'.AB=AE+BE=m(tan a+tan B). 答：教学楼AB的高度为m(tana十tanB). 第2课时方向角、坡度与解直角三角形 1.D2.D 3.A,B两点间的距离约为96m 4.A5.4 6.解：该建筑物不需要拆除，理由如下： ,∠CBD=45°，∠CDB=90°，CD=6m, ·答 ∠BCD=∠CBD=45°，∴.CD=BD=6m. :∠CAD=30°，∠CDA=90°， CD =6=63(m), ∴AD=an∠CAD 3 ∴.AN=BD+BN-AD=6+8-6√3≈3.6(m). 3.6>3,.该建筑物不需要拆除. 7.(10√5+20) 8.大蜀山的高度约为281m 9.(1)BD的长度约为26.5km (2)甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 开始相互接收到信号 方法归纳专题7利用三角函数解决实际 问题的常用方法 1.解：如图，过点E作EH⊥AD于点H. B法线 C -水面 E 壁 D97 池底 由题意可知，∠CEB=a=36.9°，∠CBE=3,EH= 1.20 m,DH=CE. BC1.20 在Rt△BCE中，CE= an36.g≈0.75-1.60(m), ∴.AH=AD-DH=AD-CE≈2.50-1.60=0.90(m), .AE=√/AH+EH≈√0.902+1.202=1.50(m), AH0.90 .'sin y= AE≈1.50 =0.60. CE :sinP=sin∠CBE-BE=cos∠CEB=cosa≈0.80， .".sinB0.80 siny0.60≈13. 2.解：如图，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥ AB于点F,则四边形DEBF为矩形. A D ■ B E ∠C=45°，∠DEC=90°，.∠CDE=45°. ∠ADC=153°，∴.∠ADF=153°-45°-90°=18°. ,CD=2√2cm,∠C=45°， .∴.DE=CE=2cm. .'BC=5 cm, .'BE=BC-CE=5-2=3(cm), ∴.DF=BE=3cm, ∴.在Rt△ADF中，AF=DF·tan∠ADF≈3X 0.32=0.96(cm). 因此S矩形DEBr=BE·DE=3X2=6(cm2), Sawm=7AF·DF≈号×096X3=1.4(em, 8· Sae=×DB=7×4=2em). 故该零件的截面面积约为6十1.44+2=9.44≈ 9.4(cm2). 3.解：(1)如图，过点B作BGAF,垂足为G 在Rt△ABG中，∠BAG=28°，AB=5米， ∴.BG=AB·sin28°≈5×0.47=2.35（米）. 答：点B到地面AF的距离约为2.35米. D --4-E A G H PF (2)如图，过点C作CP⊥AF,垂足为P,交BE于点 M,过点D作DH⊥AF,垂足为H. 由题意，得BG=MP≈2.35米，CD=HP=8米， DH=CP,BM=PG,CP⊥BE. 设DH=CP=x米，则CM=CP一MP≈(x-2.35)米. 在Rt△ADH中，∠DAH=53°， ..AH= DH≈=3 an53e≈4=4z(米). 3 在Rt△BCM中，∠CBE=45°， ·BM=CM 厂an45≈(x-2.35)米， .PG=BM≈(x-2.35)米. 在Rt△ABG中，∠BAG=28°，AB=5米， ∴.AG=AB·cos28°≈5×0.88=4.4（米）. .AG+GP=AH+HP, 3 4.4十x-2.35≈4x+8,解得x≈23.8， .DH≈238米. 答：无人机在，点D处时到地面AF的距离约为23.8米. 4.解：(1)如图，过，点C作CF⊥l于点F,过点B作 BM⊥CF于点M, ∴.∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°. 由题意，得∠BAF=90°， '.四边形ABMF为矩形， ∴.MF=AB=2cm,∠ABM=90. :∠ABC=150°，∴.∠MBC=60°. '.BC=18 cm, :CM=BC·sin60°=18x5=9V5(cm), 2 .'.CF=CM+MF=(93+2)cm. 答：支点C离桌面l的高度为(9√/3十2)cm. C D M-B A ·答 (2)如图，过点C作CN∥1，过，点E作EH⊥CN于 点H,∴∠EHC=90°. .'DE=24 cm,CD=6 cm,.'.CE=18 cm. 当∠ECH=30°时，EH=CE·sin30°=18×2 1 9(cm); 当∠ECH=70°时，EH=CE·sin70°≈18X0.94= 16.92(cm). 16.92-9=7.92≈7.9(cm). 答：当Q从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌 面l的高度增加了，增加了约7.9cm. 数学活动一测宽 解：(1)∠A≈43°，∠B≈51°， .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°. BC AB 由题意，得sin A sin C .BC≈341m, ..AB= BC,sinC≈BC·sin86"≈341X0.998- sin A sin43° 0.682 499(m). 答：A,B两岛间的距离约为499m. (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平 面高度). 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C,使得△ABC是锐 角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得∠C 的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得BC= a m,AC=6 m. 7B 计算过程： 如图，过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADC ∠ADB=90°. AD 在R△ACD中，sin C-AC,osC-C .'.AD=bsin C m,CD=bcos C m, .'BD=BC-CD=(a-bcos C)m. 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2, ∴.AB=√(bsin C)2+(a-bcos C)产m. 答：A,B两岛间的距离为√/(bsin C)+(a-bcos C)严m. 综合与实践—摆球运动 解：BD⊥OA,∠BOA=64°，BD=20.5cm, tan64≈2.05 在Rt△BOD中，OD=D。≈。=10(cn BD≈205≈22.78(cm), sin64≈0.90^ OB= 9·方法归纳专题⑦利用三角函数解决实际问题的常用方法 基本图形： 解题思路：通过作高构造直角三角形，解直角三角形即可 D C B BC=AD AD ADAD BC= tan a tan B tan a tan B 图形演变： 1.【新情境·跨学科】(2024·安徽)科技社团选择 2【新情境·生活情境】(2025·安徽二模)学生到工 学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线 厂开展实践活动，学习制作机械零件.某零件的 自点B处发出，经水面点E折射到池底点A 截面如图所示，通过测量可知，AB⊥BC,BC= 处.已知BE与水平线的夹角α=36.9°，点B到 5cm,CD=2√2cm,∠C=45°，∠D=153°.求 水面的距离BC=1.20m,点A处水深为 该零件的截面面积.（结果精确到0.1cm,参考 1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点 数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈ B,C,D在同一条竖直线上，所有点都在同一 0.32,W3≈1.73，√2≈1.41) 竖直平面内.记入射角为日，折射角为Y,求sinB sin y 的值.（结果精确到0.1，参考数据：sin36.9°≈ 0.60,cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) 777 B法线 池C 水面 E 池底 60一本·初中数学9年级下册RJ版 3.【新情境·现代科技】(2025·合肥模拟)一名摄影 4.(2025·滁州模拟)为保护青少年的视力，某企业 爱好者记录的无人机表演的“凤凰涅槃”的示 研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置 意图如图所示.摄影爱好者在水平地面AF上 在水平桌面上的侧面结构示意图如图2所示， 的点A处测得无人机所处位置点D的仰角 测得底座高AB为2cm,∠ABC=150°，支架 ∠DAF为53°，当摄影爱好者沿着倾斜角为 BC=18cm,面板长DE=24cm,CD=6cm. 28°（即∠BAF=28)的斜坡从点A走到点B (厚度忽略不计) 时，无人机恰好从点D水平飞到点C的位置， (1)求支点C离桌面l的高度.（结果保留根号） 此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角 (2)当面板DE绕点C转动，面板与桌面的夹 ∠CBE为45°.已知AB=5米，CD=8米，且 角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较 A,B,C,D四点在同一竖直平面内.（参考数 好.在α从30°变化到70°的过程中，面板上端E 离桌面1的高度增加了还是减少了？增加或减 据：sin58≈手，cos53≈，am53≈手 4 少了多少？（结果精确到0.1cm,参考数据： sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53 sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) E (1)求点B到地面AF的距离（结果精确到 D 0.01米)； (2)求无人机在点D处时到地面AF的距离 (结果精确到0.1米). 图1 图2 --------E A 第二十八章锐角三角函数61