27.3 第1课时 弧长和扇形面积（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“弧长和扇形面积”计算，通过运动会跑道起跑线问题导入，引导学生思考弯道展直长度，结合圆周长推导弧长公式，再延伸至扇形面积计算，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过合作探究和公式推导发展数学思维，典例（如管道展直、地球周长估算）强化数学语言应用。小结系统梳理公式与方法，助力学生提升探究及应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十七章 27.3 圆中的计算问题 第1课时 弧长和扇形面积 第二十七章 圆 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十七章 圆 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情境引入 新知导入 第二十七章 圆 学习目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （重点） 学习目标 第二十七章 圆 与弧长相关的计算 一 问题1 半径为R的圆,周长是多少？ O R 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 合作探究 知识探究 第二十七章 圆 (1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________. (2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________. (3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________. (4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________. 知识探究 第二十七章 圆 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____. 知识要点 弧长公式 知识探究 第二十七章 圆 7 典例精析 · O A 解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90° 因此，滑轮旋转的角度约为90°。 例1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与 滑轮之间没有滑动， 取3.14）？ 知识探究 第二十七章 圆 例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午周长）的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m).当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？ O α A S 知识探究 第二十七章 圆 O α A S 解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°. 设地球的周长为C1，则 答：地球的周长约为39625km. 知识探究 第二十七章 圆 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 练一练 知识探究 第二十七章 圆 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算 二 概念学习 知识探究 第二十七章 圆 下列图形是扇形吗？ 判一判 √ × × × √ 知识探究 第二十七章 圆 合作探究 问题1 半径为r的圆,面积是多少？ O r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 知识探究 第二十七章 圆 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 = O r 180° O r 90° O r 45° O r n° 知识探究 第二十七章 圆 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 知识要点 知识探究 第二十七章 圆 16 ___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关。 O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 知识探究 第二十七章 圆 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 知识探究 第二十七章 圆 18 例3 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm） O R 60° 解：∵n=60，r=10cm， ∴扇形的面积为 扇形的周长为 知识探究 第二十七章 圆 1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= ． 2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= . 试一试 知识探究 第二十七章 圆 例4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A=30°． ∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°． 即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线． 知识探究 第二十七章 圆 (2) ∵∠A=30°， ∴∠COB=2∠A=60°． 在Rt△OCD中， 知识探究 第二十七章 圆 例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） (1) O . B A C 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. 知识探究 第二十七章 圆 O. B A C D (2) O. B A C D (3) (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 知识探究 第二十七章 圆 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. O. B A C D (3) 知识探究 第二十七章 圆 　　有水部分的面积： 　　S＝S扇形OAB - SΔOAB O B A C D (3) 知识探究 第二十七章 圆 O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 知识要点 弓形的面积公式 知识探究 第二十七章 圆 C B． C. D. 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 . 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ） A B C O H C1 A1 H1 O1 课堂检测 第二十七章 圆 3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 课堂检测 第二十七章 圆 29 4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为__________(结果用含π的式子表示)． 课堂检测 第二十七章 圆 解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为90°的扇形弧长之和， 即 课堂检测 第二十七章 圆 5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积. O A B D C E 解： 课堂检测 第二十七章 圆 32 6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少. A B A' B' C 解 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长. ∵等边三角形ABC的边长为10cm， ∴弧AA' 所在圆的半径为10cm. ∴l弧AA' 答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为 课堂检测 第二十七章 圆 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 课堂小结 第二十七章 圆 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十七章 圆 $