方法归纳专题6 切线的两种判定方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

方法归纳专题⑥ 方法1直线与圆有交点：连半径，证垂直 1.(2024·眉山节选)如图，BE是⊙O的直径，点A 在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC= ∠ABC.求证：CA是⊙O的切线. 2.如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是 ⊙O的直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D, DE⊥MN于点E.求证：DE与⊙O相切. O ME A B N 58一本·初中数学九年级下册HDSD版 切线的两种判定方法 3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是 直径AB上的一点（不与点A,B重合），过点P 作AB的垂线，交BC的延长线于点Q,在线段 PQ上取一点D,使DQ=DC,试判断CD与 ⊙O的位置关系，并说明理由. 0 4.(2024·达州模拟)如图，在四边形ABCD中， BC∥AD,AB⊥BC,⊙O是△ACD的外接 圆，已知AC=CD: (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AB=2,⊙O的半径为5，求tan∠ACB 的值. 方法2不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证 半径 5.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的 中点，过点O作OD⊥AB于点D,以点O为圆 心、OD的长为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的 切线. 6.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为 圆心、OC的长为半径作圆，与BC相切于点C, 过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且 ∠AOD=∠BAD.求证：AB为⊙O的切线. D 7.(2024·德阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，点O在边AC上，且∠CBO=∠CAB,过 点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,以点 O为圆心、OD的长为半径作⊙O交BO于 点E (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，BE=8,求线段AB 的长. D 第27章圆5912.解：1①点P的坐标为(5，)或(-1，-) (2)当-1<x<5时，⊙P与直线x=2相交； 当x<一1或x>5时，⊙P与直线x=2相离. 13.(1)当t=3时，⊙D与y轴相切. D(3,w5) (2)当t>3时，⊙D与y轴相交； 当2<t<3时，⊙D与y轴相离 (3)点F的坐标为(2.1,0) 3切线 第1课时切线的判定与性质 1.C2.60°3.相切 4.证明：如图，连结OD ,AD平分∠BAC, .∠DAE=∠OAD. :OA=OD,∠OAD=∠ODA, .∠DAE=∠ODA,.OD∥AC DE⊥AC,∴.OD⊥DE. :OD是⊙O的半径，EF是⊙O的切线。 5.B6.207.23 8证明：AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，∠BCD=90°， .∠D+∠CBD=90°. :BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°， ·∠ABC+∠CBD=90°，∴∠ABC=∠D ,AC=AC,.∠E=∠ABC,∴∠E=∠D. :AC=CE,∴∠CAE=∠E,∴.∠CAE=∠D. 9.C10.27 11.解：(1)证明：如图，连结OD :∠EAD+∠BAD=180°，∠EAD+∠BDF=180°， ∴∠BDF=∠BAD. AB为⊙O的直径，.∠ADB=90°」 DF⊥BC,.∠F=90. ,'∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，∠DBF十 ∠BDF+∠F=180° ,∴.∠ABD=∠DBF」 .OB=OD,.∠ABD=∠ODB, ∴.∠ODB=∠DBF,∴.OD∥BF. BF⊥EF,.OD⊥EF」 ,OD是⊙O的半径，.EF为⊙O的切线. E (2)如图，连结AC AB为⊙O的直径，.∠ACB=90 DF⊥BC,∴.AC∥EF,∴∠E=∠BAC=∠BDC. 设⊙0的半径为r,则OE=10一r, 在Rt△EOD中，sinE=sin∠BDC= 2 31 r 2 即10-，=3’ 解得r=4,.⊙0的半径为4. 12.解：(1)证明：如图，连结AD. D是AC的中点，AD=CD ∴.∠ABD=∠CAD. DN⊥AB,AB为⊙O的直径， ∴AN=AD,∴∠ADN=∠ABD, .∠ADN=∠CAD, ..AF=DF. (2)①证明：，AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADM=90°， ∴.∠B+∠BAD=90°. :DM=DG,∴AD是MG的垂直平分线， ∴.AM=AG,∠MAD=∠GAD. .∠GAD=∠B,.∠MAD=∠B, ∴.∠MAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAM=90°. AB是⊙O的直径，∴AM是⊙O的切线. 方法归纳专题6切线的两种判定方法 1证明：如图，连结OA. BE是⊙O的直径， ∴.∠BAE=90°， ,.∠BAO+∠OAE=90°. .OA=OB, ∴.∠ABC=∠BAO. ,∠EAC=∠ABC,∴.∠CAE=∠BAO, ∴.∠CAE+∠OAE=90°，∴.∠OAC=90. OA是⊙O的半径，.CA是⊙O的切线. 2证明：如图，连结OD, ME A BN .OA=OD, ∴.∠ODA=∠DAO. ,AD平分∠CAM, .∠DAE=∠DAO ∴.∠ODA=∠DAE .MN∥OD. DE⊥MN,.DE⊥OD .OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切. 3.解：CD与⊙O相切.理由如下： 如图，连结OC,记∠DCQ=∠1， ∠OCB=∠2. ,DQ=DC,.∠1=∠Q. ,OC=OB,∴∠2=∠B QP⊥PB,∠BPQ=90°， ∴∠Q+∠B=90°， ∴.∠1十∠2=90°， ∴.∠DC0=180°-∠1-∠2=90°， 案7· .OC⊥CD 又，OC是⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切， 4.解：(1)证明：如图，连结OC AC=CD,∴AC=CD, .OC⊥AD. BC∥AD,∴.OC⊥BC. OC是⊙O的半径， ∴.BC是⊙O的切线 (2)如图，连结AO,设OC与AD交于点E. AB⊥BC,BC∥AD, .∠AEC=∠BCE=∠B=90°， 四边形ABCE是矩形， ∴.AE=BC,CE=AB=2 在Rt△OAE中，AO2=OE2+AE, 即52=(5-2)2+AE2,解得AE=4(负值舍去)， ∴.BC=AE=4, AB 1 :tan∠ACB=BC=2· 5.证明：如图，连结OA,作OF AC于点F. ,△ABC为等腰三角形，O是底边 D BC的中点， .AO⊥BC,AO平分∠BAC. OD⊥AB,.OF=OD,即OF是 ⊙O的半径， .AC是⊙O的切线. 6.证明：如图，过点O作OE⊥AB 于点E. :AD⊥BO于点D, .∠D=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD +∠OAD=90°. :∠AOD=∠BAD, .'.∠ABD=∠OAD 又BC为⊙O的切线，.AC⊥BC, ∴.∠BCO=∠D=90°. ,∠BOC=∠AOD, ∴.∠OBC=∠OAD=∠ABD, .OE=OC,∴.OE是⊙O的半径， .AB为⊙O的切线. 7.解：(1)证明：如图，过，点O 作OF⊥AB,垂足为F. AD⊥BO,∠C=90°， ∠AOD=∠BOC, ∴.∠DAO=∠CBO. ,∠CBO=∠CAB,∴.∠DAO=∠BAO, .OD=OF,即OF为⊙O的半径， .AB是⊙O的切线. (2AB-2 第2课时切线长定理和三角形的内切圆 1.D2.70°3.44 4.PO=2√3，PA=3,AB=3,OC= 3 ·答穿 百B6A【室式1c7号 8.AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm 9.C10.D11.B 12.1号cem(2)40cm 变式微专题2三角形的内心及内切圆的半径 112.gl32 方法归纳专题7圆中常见辅助线的作法 1.A2.55°3.18°4.D5.B6.27.278.B 9.B10.√211.D12.B13.3 14.解：(1)证明：如图，连结AD. ,AB为⊙O的直径， ∠ADB=90,.AD⊥BC. 又，AB=AC, .BD=DC,∠BAD=∠CAD, ∴.BD=DE,BD=DE, .BD=DE=DC. (2)如图，连结BE. ,AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°. ,DE=√5，AB=5,∴.DC=BD=√5，AC=5. 设AE=x,则CE=5-x. 在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2-AE2=BC2 -CE2, .25-x2=(25)2-(5-x)2, 解得x=3,即AE的长为3. 15.C16.B17.B18.4519.100 27.3圆中的计算问题 第1课时弧长与扇形面积 1.C【变式1】A【变式2】30° 2.B【变式】π3.5π4.A【变式1】130 【变式2】9π 1 5.D6.37.252x8.gx9.D10.D11.2024x 12.解：(1)证明：如图，连结OC. ,CD为⊙O的切线， .∠OCD=90°， D ∴.∠DCA+∠OCA=90. ,AB为直径， .∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠OAC=90. .OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA, ∴∠ABC=∠DCA. ,AC=CE,.∠ABC=∠CAE, ∴.∠CAE=∠DCA,∴.CD∥AE. (2)如图，连结OE,BE. ,EF垂直平分OB,.OE=BE. OE=OB,∴.△OEB为等边三角形， ∴.∠BOE=60°， .∠AOE=180°-60°=120°. ,OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°. :DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°. ∠OCD=90°，.OD=2OC=OA+AD. .OA=OC,..OC=AD=3,..AO=OE=OC=3, 8·