第27章 圆（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版九年级下册

第27章 圆(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 2．（本题4分）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 3．（本题4分）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 7．（本题4分）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 8．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图正方形中，以为圆心，为半径作弧与以为直径的交于点，交于，交于，延长交于，下列结论：； ；； ．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（本题4分）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 12．（本题4分）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 13．（本题4分）如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，且，，则 ． 14．（本题4分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为 ． 15．（本题4分）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 16．（本题4分）如图，在平行四边形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交射线于点F，连接、、，当成为等腰直角三角形时，的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）如图，是的切线，切点为交于点，过点的切线交于点，若．求 (1)的长度 (2)的半径． 18．（本题8分）如图，A、B、C是上的三点，． (1)图中所对的圆周角为______，其度数为________； (2)求的度数； (3)以为底边作的内接等腰，则的度数为________． 19．（本题10分）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 20．（本题10分）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形． (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）． 21．（本题10分）如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时,的面积为 ； (2)在运动过程中的面积能否为 ？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值； 22．（本题10分）已知：是直径，为的弦，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点H，，连接，若且，求线段的长． 23．（本题10分）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． (1)当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； (2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 25．（本题10分）如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，． (1)请直接写出的形状； (2)在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转． ①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积； ②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 圆(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查三角形三边关系和点与圆的位置关系．通过三角形三边关系确定的最小值，与半径比较即可判断位置关系． 【详解】解：∵点P在上， ∴． 又∵， 在中，根据三角形三边关系：， ∴（半径）， ∴ 点A在外． 故选：C. 2．（本题4分）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 3．（本题4分）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C均在上，， ∴， 故选：C． 4．（本题4分）如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理，易知、的长；连接，根据勾股定理即可求出的长，进而可求出的值． 此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用． 【详解】解：如图；连接； 根据垂径定理，得； 中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故选：A． 5．（本题4分）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，      四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 6．（本题4分）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 7．（本题4分）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ， 的长为， 因为， 所以， 则． 在中， 因为， 所以， 所以， 所以圆心O经过的路径长是：． 故选：D． 8．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 的半径为1， ， ∴， 由三角形三边关系可知，， ∴线段的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键． 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，……，均为等腰直角三角形． ∴，，，……． ∴，， ，，……． ∴可推导一般性规律为． ∴当时， ∴． 故选：A． 10．（本题4分）如图正方形中，以为圆心，为半径作弧与以为直径的交于点，交于，交于，延长交于，下列结论：； ；； ．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理可得， 根据正方形的性质可得， 从而根据等腰三角形三线合一即可判断；连接、、，延长交于， 若，就必有， 则有，易证， 得到， 得到， 根据等腰三角形的性质结合圆周角定理，即可判断；由 结合对顶角相等可得，， 利用等角的余角相等证得， 进而等量代换证得 ，即可判断；连接，易证是的中位线，从而证得，易证是的直径，连接，由圆周角定理可知即可判断． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ，即， 四边形是正方形， ， ，故正确； 如图，连接、、，延长交于， 由于，， 若，就必有， 则有， ，，， ， ， ， 若，则有， ， 在等腰和等腰中， 若，则， 由于与的交点为的中点，而点不是的中点， 显然不成立， 故错误， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 故正确； 如图，连接， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 由得， 、、三点共线， 是的直径， 连接，由圆周角定理可知，，即， 故正确； 综上，正确的结论是． 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形中位线定理等知识的综合应用，构造合适的辅助线，灵活应用相关性质和定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（本题4分）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12．（本题4分）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连接、、，则， 以点为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ，而， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（本题4分）如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，且，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，则，再由平行可推得，最后利用勾股定理得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点，连接， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆的有关概念和性质、圆周角定理，圆心角和弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（本题4分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形的面积的计算、解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点作于，得到圆的内接正八边形的圆心角，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵圆的内接正八边形的圆心角为， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正八边形的面积为 故答案为： ． 15．（本题4分）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作于，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作于，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在射线时，与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时，与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 16．（本题4分）如图，在平行四边形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交射线于点F，连接、、，当成为等腰直角三角形时，的值为 ． 【答案】或或. 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，由为等腰直角三角形，分，，三种情况分别求解即可. 【详解】解：如图，当，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，平行四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图，当，为等腰直角三角形， ∴，为直径， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴, ∴， 如图，当，为等腰直角三角形， 同理可得：，， ∴， 综上：的值为或或. 故答案为：或或. 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）如图，是的切线，切点为交于点，过点的切线交于点，若．求 (1)的长度 (2)的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质（切线垂直于过切点的半径）、全等三角形的判定与性质定理）、勾股定理，解题的关键是通过连接、，利用定理证明，从而推导得出（替代切线长定理的直接应用），再结合直角三角形的勾股定理建立方程，逐步求解线段长度和圆的半径． （1）先连接、，根据切线性质得；再用定理证明，得出；结合和，确定、的长度；最后根据在上得，在中用勾股定理求． （2）先计算的长度；连接，由切线性质得；设半径为r，用r表示；在 中，利用勾股定理列方程求解 r． 【详解】（1）解：连接、， ∵切于切于C， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴． 在和中， ∵的半径）（公共边）， ∴（全等三角形对应边相等）． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵在的延长线上在上）， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即， ， ∴ （负值舍去）． （2）解：由（1）知， ∵切于B， ∴，即． 设的半径为r，则 ． 在中，由勾股定理得： ， 即 ， ， 化简得， 解得 ． 答：的半径为． 18．（本题8分）如图，A、B、C是上的三点，． (1)图中所对的圆周角为______，其度数为________； (2)求的度数； (3)以为底边作的内接等腰，则的度数为________． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得所对的圆周角为，利用圆周角定理求出的度数即可得到答案； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数，最后由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案； （3）分两种情况讨论，由圆周角定理可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，所对的圆周角为，其度数为， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，①当点在优弧上时， ∵， ∴； ②当点在劣弧上时， ∵， ∴， 综上：的度数为或， 故答案为：或． 19．（本题10分）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【详解】（1）解： 、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 20．（本题10分）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形． (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）． 【答案】(1)平方米 (2)①；②平方米 【分析】本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． （1）根据面积公式计算即可； （2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【详解】（1） ， 隧道截面上部半圆O的半径， 隧道截面上部半圆O的面积为（平方米）； （2）① ，， ， ； ②由①知，， 又23， ， ． 由①知，， ， 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴， 又 ，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大， 故当时，S有最大值，最大值为平方米． 21．（本题10分）如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时,的面积为 ； (2)在运动过程中的面积能否为 ？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值； 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)6或 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、一元二次方程的判别式及应用、勾股定理与圆的性质（直径所对圆周角为直角），解题的关键是根据运动时间表示出各线段长度，再结合相关几何性质与代数知识建立关系式求解． （1）先根据运动速度和时间，计算出、，进而求出、；再分别计算矩形的面积，以及、、的面积；最后利用“”求出的面积． （2）先根据运动时间表示出各相关线段长度，进而列出面积为时的方程；整理方程得，计算判别式；根据判别式小于可知方程无实数根，从而判断的面积不能为． （3）由可知、、三点在以为直径的圆上，若、、、四点共圆，则；根据勾股定理分别表示出、、；利用时建立方程，求解方程得，． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，， ∴，，， ∴（）； （2）解：在运动过程中的面积不能为 ，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为 ， （3）解：∵， ∴A、P、D三点在以为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ∵，，， 当 ， ∴， 解得，， ∴或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 22．（本题10分）已知：是直径，为的弦，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点H，，连接，若且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接，交于点Q，由题意易得，然后根据垂径定理的推论可得垂直平分线段，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，由（2）可知：，，即，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：连接，交于点Q，如图所示： ∵平分， ∴， ∴，即点B为的中点， ∵是直径， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：连接，如图所示： 由（2）可知：，，即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质，熟练掌握垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质是解题的关键． 23．（本题10分）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； （2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． (1)当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； (2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①E   ② (2) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． （1）①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点，则E是的中点，点D在圆外，点D到最小的距离为3，大于的直径2，进一步得出结果； ②设直线与x轴和y轴分别相交于点，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2，当点P在线段时，点P是的关联点，进一步得出结果； （2）先求得M和N坐标，作于A，作轴于B，当时，点A是的关联点，解直角三角形得出从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点A，B，则E是的中点（垂径定理），故点E是的关联点，点D不是， ②如图1， 设直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2， 当点P在线段时，点P是的关联点， ； （2）如图2， ∵直线方程为， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 作于A， ， ， 当时，点A是的关联点，此时， ∵线段上存在的关联点， ∴，即，且， 解得： 故答案为：． 25．（本题10分）如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，． (1)请直接写出的形状； (2)在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转． ①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积； ②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)为等腰直角三角形 (2)①；②最大值为，最小值为 【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）①证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解；②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据四边形是平行四边形，可得，从而得到点H在以为直径的圆上，设的中点为点T，再根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵两个完全相同的矩形纸片和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴； ②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，则， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点H在以为直径的圆上， 设的中点为点T， ∴，且的半径为， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $