专题 10 二次函数“新定义”问题（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数“新定义”问题，整合一次函数、反比例函数及几何图形知识，通过n=2时“LS函数”实例导入，搭建从已学函数到新定义应用的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点是以“新定义”情境为载体，通过“LS点”“升幂函数”等问题培养抽象能力（数学眼光），结合分类讨论（如a的取值范围分析）发展推理能力（数学思维），用函数表达式与几何关系描述问题（数学语言）。实例丰富如二次函数与正方形交点问题，助力学生提升创新意识和问题解决能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第二章　二次函数 专题 10　二次函数“新定义”问题 1. 在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为 正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上.若点M （x，y）在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点 M为正方形OABC的“LS点”.若某函数的图象与正方形 OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”， 定义该函数为正方形OABC的“LS函数”.如图1，当n＝2 时，某函数的图象C1经过点（0，1）和（2，2），则该函数是 正方形OABC的“LS函数”. 1 2 上一页 下一页 （1）当n＝1时，若一次函数y＝kx＋t是正方形OABC的“LS 函数”，则一次函数的表达式为 ⁠； （写出一个即可） y＝x（答案不唯一）　 1 2 上一页 下一页 （2）如图2，当n＝3时，函数y＝ （x＞0）的图象经过点D （1，3），与边AB相交于点E，判断该函数是不是正方形 OABC的“LS函数”，并说明理由； 解：（2）该函数是正方形OABC的 “LS函数”.理由如下： 把D（1，3）代入y＝ 中，得m＝ 3，∴y＝ . 1 2 上一页 下一页 把x＝3代入y＝ 中，得y＝1， ∴点E的坐标为（3，1），∴函数y＝ 的图象与正方形OABC 只有两个交点，且点D，E均是正方形OABC的“LS点”， ∴函数y＝ （x＞0）是正方形OABC的“LS函数”. 1 2 上一页 下一页 （3）当n＝4时，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点B，若 该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； 解：（3）当n＝4时，点B的坐标为 （4，4），点C的坐标为（0，4）. 把B（4，4）代入二次函数 y＝ax2 ＋bx＋4 中，得4＝16a＋4b＋4， ∴b＝－4a，∴y＝ax2－4ax＋4＝ a（x－2）2－4a＋4， 1 2 上一页 下一页 ∴该函数图象的顶点坐标为（2，－4a＋4）. 令x＝0，得y＝4，∴点C（0，4）在函数y＝ax2＋bx＋4的图 象上， ∴函数y＝ax2＋bx＋4是正方形OABC的“LS函数”，其图象 经过点B，C. ①当a＞0时，该函数图象的顶点在x轴上方，∴－4a＋4＞0， 解得a＜1，∴0＜a＜1； ②当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点B，C，此时 函数y＝ax2＋bx＋4一定是正方形OABC的“LS函数”. 综上所述，a的取值范围是a＜1且a≠0. 1 2 上一页 下一页 （4）在（3）的条件下，点P（a－1，y1），Q（a＋3，y2） 是二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象上的两点，若点P，Q之间 的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为 10a2，求a的值. 解：（4）由（3），知该函数图 象的对称轴是直线x＝2，顶点坐 标为（2，－4a＋4）. 1 2 上一页 下一页 ①当0＜a＜1时，有－1＜a－1＜0，3＜a＋3＜4，抛物线开 口向上，∴点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是顶 点，∴a（a－1）2－4a（a－1）＋4－（－4a＋4）＝10a2. 整理，得a2－16a＋9＝0，解得a1＝8－ ，a2＝8＋ （舍去）. ②当a＜0时，抛物线开口向下. （i）当a＋3≥2，即－1≤a＜0时，有－2≤a－1＜－1， 2≤a＋3＜3，∴点P，Q之间的图象的最高点是顶点，最低 点是点P， 1 2 上一页 下一页 ∴（－4a＋4）－[a（a－1）2－4a（a－1）＋4]＝10a2.整 理，得a2＋4a＋9＝0. ∵Δ＝42－4×1×9＜0，∴此方程无实数根，即a的值不存 在. （ii）当a＋3＜2，即a＜－1时，有a－1＜a＋3＜2，∴点 P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是点P， ∴[a（a＋3）2－4a（a＋3）＋4]－[a（a－1）2－4a（a－ 1）＋4]＝10a2.整理，得a＋4＝0，解得a＝－4. 综上所述，a的值是8－ 或－4. 1 2 上一页 下一页 2. （2024·辽宁）已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称 函数y2为函数y1的“升幂函数”.在平面直角坐标系中，对于函 数y1图象上的任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点 A关于函数y1的“升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的 图象上.例如，函数y1＝2x，当y2＝xy1＝x·2x＝2x2时，称函 数y2＝2x2是函数y1＝2x的“升幂函数”.在平面直角坐标系 中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m， 2m2）为点A关于函数y1的“升幂点”，点B在函数y1＝2x的 “升幂函数”y2＝2x2的图象上. 1 2 上一页 下一页 （1）直接写出函数y1＝ x的“升幂函数”y2的表达式. 解：（1）y2＝xy1＝x· x＝ x2. （2）如图，点A在函数y1＝ （x＞0）的图象上，点A关于函 数y1的“升幂点”B在点A的上方，当AB＝2时，直接写出点 A的坐标. 解：（2）点A的坐标为（3，1）. 1 2 上一页 下一页 ①若点B与点A重合，求m的值. ②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的 “升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩 形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达 式. ③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个 时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线y＝t2与函数y的 图象的交点有2个时，从左到右依次记为点M，N. 若EF＝ MN，请求出t2－t1的值. （3）点A在函数y1＝－x＋4的图象上，点A关于函数y1的“升 幂点”为B，设点A的横坐标为m. 1 2 上一页 下一页 解：（3）①∵y2＝xy1＝x（－x＋4）＝－x2＋4x，∴A （m，－m＋4），B（m，－m2＋4m）. ∵点B与点A重合，∴－m＋4＝－m2＋4m.整理，得m2－5m ＋4＝0，解得m＝1或m＝4. ②由①可知，直线y1＝－x＋4与抛物线y2＝－x2＋4x有两个交 点（1，3）和（4，0）. 函数y2＝－x2＋4x的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线 x＝2. 1 2 上一页 下一页 ∵BC∥x轴，∴B，C两点关于直线x＝2对称.如图1，当点B 在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m－2）＝2m－4； 如图2，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2－m）＝4 －2m.由点B在点A的上方，得BA＝（－m2＋4m）－（－m ＋4）＝－m2＋5m－4.当2＜m＜4时，y＝2[（2m－4）＋ （－m2＋5m－4）]＝－2m2＋14m－16；当1＜m＜2时，y＝ 2[（4－2m）＋（－m2＋5m－4）]＝－2m2＋6m.综上所述， y＝ 1 2 上一页 下一页 ③∵y＝ ∴图 象如图3所示，顶点坐标分别为（ ， ），（ ， ）. 1 2 上一页 下一页 情形一：如图4（局部，变形处理），如果EF和MN平行且相 等，那么这两条平行线间的距离等于两个顶点之间的竖直高 度，∴t2－t1＝ － ＝4.情形二：如图5（局部，变形处 理），M是抛物线y＝－2m2＋6m的顶点，∴M（ ， ）， ∴N（ ， ），∴MN＝EF＝ － ＝2－ ，∴点F 的横坐标xF＝ ＋ ＝ ， 1 2 上一页 下一页 ∴点F的纵坐标yF＝ ，∴t2－t1＝yN－yF＝3－2 .综上 所述，t2－t1的值为4或3－2 . 1 2 上一页 下一页 谢谢观看 $