专题 2 利用三角函数解决实际问题的三种模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册直角三角形边角关系，专题讲解利用三角函数解决实际问题的“背靠背”“母抱子”“拥抱”三种模型，通过无人机测量、建筑高度等实例导入，衔接三角函数定义，以模型分类和辅助线方法为学习支架。 其亮点是模型化梳理实际问题，结合测量纪念碑、世纪钟等生活实例，培养几何直观、推理能力与模型意识。采用例题详解教学法，学生能提升用数学思维解决实际问题的能力，教师可借助模型框架优化教学，提高效率。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第一章　直角三角形的边角关系 专题 2　利用三角函数解决实际问题的三种模型 基本 图形 辅 助 线 模型1　“背靠背”型 方法指导　 上一页 下一页 1. 某校“综合与实践”活动小组借助无人机测量某纪念碑主 碑AB的高度.如图，先将无人机升至距离地面10 m高的点C 处，测得主碑最高点A的仰角∠MCA为37°，再将无人机从点 C处竖直向上升高至距离地面15.8 m高的点D处，测得点A的 俯角∠NDA为45°.已知点A，B，C，D，E在同一平面内， 求纪念碑主碑AB的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F. 由题意，得AB＝EF，CE＝10 m，DE＝15.8 m， AF∥CM∥DN， ∴CD＝DE－CE＝5.8 m，∠DAF＝∠ADN＝45°，∠FAC ＝∠ACM＝37°. 设AF＝x m. 在Rt△ACF中，CF＝AF·tan 37°≈0.75x m， 在Rt△ADF中，DF＝AF·tan 45°＝x m. ∵DF＋CF＝CD，∴x＋0.75x≈5.8， 1 2 3 4 上一页 下一页 解得x≈ ，∴CF＝0.75x≈ m， ∴AB＝EF＝CE＋CF≈10＋ ≈12.5（m）. 答：纪念碑主碑AB的高度约为12.5 m. 1 2 3 4 上一页 下一页 基本 图形 辅 助 线 模型2　“母抱子”型 方法指导　 — 1 2 3 4 上一页 下一页 2. （2025·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站 附近世纪钟建筑AB的高度（如图1）.某学习小组设计了一个 方案：如图2，点A，E，C依次在同一条水平直线上， CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m.在D处测得世纪钟 建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰 角为31°，CE＝32 m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪 钟建筑AB的高度.（结果取整数，参考数据：tan 22°≈0.4， tan 31°≈0.6） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：如图，延长DF，与AB相交于点G. 由题意，得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝ 22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°， ∴AG＝EF＝CD＝1.7 m，DF＝CE＝32 m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB＝ ，∴GF＝ . 在Rt△DGB中，tan∠GDB＝ ，∴GD＝ . ∵GF＋DF＝GD，∴ ＋32＝ ， ∴GB≈38.4 m，∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40（m）. 答：世纪钟建筑AB的高度约为40 m. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. （2025·抚顺新抚区四模）随着传统能源的日益紧缺，太阳 能路灯的应用将会越来越广泛.一款太阳能路灯实物图如图1所 示，某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动 示意图如图2所示，其中测倾器（测量角的仪器）FE的高度为 1.5米，点O，F，N在水平地面的同一直线上.在点F处安置 测倾器，测得电池板顶端点C的仰角∠CED＝45°，在与点F 相距1.5米的点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角 ∠AMD＝37°，B为灯臂与路灯立柱OC的连接点（点A， B，M在一条直线上），AC⊥OC，测得OF＝9米. 1 2 3 4 上一页 下一页 （1）求电池板顶端点C离地面的高度； 解：（1）如图，延长ME，交CO于点G. 由题意，得MG⊥CO，OF＝GE＝9米，GO＝EF＝MN＝ 1.5米. 在Rt△CGE中，∠CED＝45°， ∴CG＝EG·tan 45°＝9米， ∴CO＝CG＋GO＝9＋1.5＝10.5（米）. 答：电池板顶端点C离地面的高度为10.5米. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. （2025·抚顺新抚区四模）随着传统能源的日益紧缺，太阳 能路灯的应用将会越来越广泛.一款太阳能路灯实物图如图1所 示，某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动 示意图如图2所示，其中测倾器（测量角的仪器）FE的高度为 1.5米，点O，F，N在水平地面的同一直线上.在点F处安置 测倾器，测得电池板顶端点C的仰角∠CED＝45°，在与点F 相距1.5米的点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角 ∠AMD＝37°，B为灯臂与路灯立柱OC的连接点（点A， B，M在一条直线上），AC⊥OC，测得OF＝9米. 1 2 3 4 上一页 下一页 （2）求灯臂AB的长度.（结果精确到0.1米，参考数据： sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，tan 37°≈ ） 解：（2）由题意，得EM＝FN＝1.5米，AC∥GM， ∴∠A＝∠AMD＝37°. ∵EG＝9米，∴GM＝EG＋EM＝9＋1.5＝10.5（米）. 在Rt△BGM中，∠AMD＝37°， ∴BG＝MG·tan 37°≈10.5× ＝7.875（米）. ∵CG＝9米， ∴BC＝CG－BG≈9－7.875＝1.125（米）， ∴在Rt△ABC中，AB＝ ≈ ＝1.875≈1.9（米）. 答：灯臂AB的长度约为1.9米. 1 2 3 4 上一页 下一页 模型3　“拥抱”型 方法指导　 基本 图形 辅 助 线 — — 1 2 3 4 上一页 下一页 4. 某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某河段的 宽CD. 如图，小组成员选取桥上两点A，B，点A，E，C在 河岸的同一直线上，且AB⊥AC. 已知 ＝ ，点A，E间的距 离为80 m，在点B处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为 30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求此河 段的宽CD. （结果保留根号） 1 2 3 4 上一页 下一页 解：如图，过点B作BF∥AC，交CD于点F， 则AB＝CF，AC＝BF. ∵ ＝ ，AE＝80 m， ∴AB＝20 m＝CF. 在Rt△BDF中，∠DBF＝30°， ∴BF＝ ＝ DF. 设DF＝x m，则BF＝ x m＝AC， ∴EC＝AC－AE＝（ x－80）m. 1 2 3 4 上一页 下一页 ∵在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，CD＝（20＋x）m，EC＝ （ x－80）m， tan 60°＝ ，∴ ＝ ， 解得x＝40 ＋10. 经检验，x＝40 ＋10是原方程的根， ∴CD＝（40 ＋30）m. 答：此河段的宽CD为（40 ＋30）m. 1 2 3 4 上一页 下一页 谢谢观看 $