专题15 圆中常见辅助线的作法&专题16 圆中常见的最值问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

5.解：(1)证明：连接OE,DF,如图所示. A D M B CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴.OD=OE=OC. 又.ME=MD,OM=OM, ∴.△OME≌△OMD(SSS), .∠OEM=∠ODM. .CD⊥AB,∴.∠ODM=90°， ∴.∠OEM=90°，即OE⊥ME. ,OE是⊙O的半径， ME是⊙O的切线. 33 8 6解：(1)证明：如图，连接OD,过点O作OH⊥AB于点H H ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， .AO⊥BC,AO平分∠BAC. AC与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AC OH⊥AB,.OH=OD,即OH为半圆O的半径， .AB与半圆O相切. (2)5 4 专题14求阴影部分面积的四种方法 1.A2.A3.D4.C5.C6.D 7号-85 25.259. 3 ·4π一2 93 10.3元- 4 11.D12.A13.93-3π 14号x15 【变式】A 专题15圆中常见辅助线的作法 1.A2√23.18°4.35°5.30° 6.D7.B8.A9/310.B 专题16圆中常见的最值问题 1w5-12.283.24.45.2W5-2【变式】8 6号【度武12,2)75810【度武】9 5 9.310.121.27129 同步检测卷 周周清小卷(1.1~1.4) 1.C2.D3.B4.C5.c6.A7.B8.c 94510.41112.25139 3 1 14.(1) (2) 2 3 一6 15.(1)10(2)105 (3)30 16.(1)CD≈91m (2)斜拉桥链条AC上的LED节能灯带的总造价大约是 145600元 周周清小卷（第一章） 1.B2.A3.B4.D5.D6.D7.D8.C 9.210 11.1212.20513.①②④ 14.(1)1 (2)-2 12 15.(1)AC=13 (2)sinC=13 16.玄奘法师铜像EF的高度约为10米 周周清小卷(2.1~2.3) 1.C2.A3.B4.D5.B6.A7.A8.D 9.410.y=2(x-2)2-311.9 12.y=-2x2+x+313.> 14.解：(1)a=3 (2)抛物线的顶，点坐标为(2，一1). 画出该抛物线如图所示 5 -6 (3)平移后的抛物线的表达式是y=x2一4x 15.(1)y=-2x2+16x(0<x<8) (2)当x=4时，阴影部分的面积最大，最大面积是32cm 1 16.1)y=-2x2+2x+6 (2)P(2,8)或P(4,6) 周周清小卷(2.4~2.5) 1.C2.D3.B4.c5.c6.B7.c8.A 9.(3,0),(-1,0)10.3811.450m212.0<x<413.1 14.(1)k>-3 答案15·专题151 圆中言 方法1构造同弧或等弧所对的圆周角或圆 心角 1.如图，△ABC内接于⊙O,∠C=46°，连接 OA,则∠OAB= () A.44° B.45 C.54° D.67° 第1题图 第2题图 2.如图，⊙O的半径为1，△ABC内接于圆 O.若∠A=60°，∠B=75°，则AB的长为 3.如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠A= 32°，点B,C在⊙O上，边AB,AC分别交 ⊙O于D,E两点，B是CBD的中点，则 ∠ABE的度数为 D 第3题图 第4题图 方法2利用直径构造直角或利用直角找到 直径 4.(2025·池州开学)如图，已知AB为⊙O的直 径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC.若 ∠D=20°，则∠ABD的度数为 5.如图，在平面直角坐标系中，⊙A过点 O(0,0),B(2√3,0)，D(0,2),C是⊙A上 的一点，连接CO,CD,则∠DCO的度数 为 B A B 第5题图 第6题图 30一本·初中数学9年级下册BS版 见辅助线的作法 方法3构造圆内接四边形 6.如图，点A,B,C均在⊙O上，当∠B= 100°时，∠AOC的度数是 () A.80° B.65 C.50° D.160° 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=72°， 过点O作BC的垂线，交BC于点D,连接 BD,则∠D的度数为 ) A.64° B.54° C.46° D.36° D 第7题图 第8题图 方法4遇弦长过圆心作弦的垂线段或连半 径构造直角三角形 8.(2024·合肥庐阳区期末)如图，AB是⊙O的 直径，弦CD⊥AB于点P,CD=2√3， OP=1,则弦AC的长为 () A.2√5 B.3√3 C./5 D.2√5 9.(2024·北京一模)如图，AB是⊙O的弦，且 AB=6,C是劣弧AB的中点，D是优弧 AB上的一点，∠ADC=30°，则圆心O到 弦AB的距离为 D .O C B 第9题图 第10题图 方法5遇切线连接圆心和切点 10.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B 两点.若∠C=59°，则∠P的度数为() A.59 B.62° C.118° D.124° 专题16 圆中 类型1点圆最值 ●方法指导如图，D是圆外一定点，E是⊙O上 的动点，连接DE,当⊙O的圆心在线段DE上时， :DE取得最大值；当⊙O的圆心在线段DE的延长 线上时，DE取得最小值 D 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点 D,P是CD上的一个动点，连接AP,则线 段AP的最小值是 M 第1题图 第2题图 2.(2025·衡水模拟改编)如图，⊙M的半径为 4,圆心M的坐标为(6,8)，P是⊙M上的 任意一点，PA⊥PB,且PA,PB与x轴分 别交于A,B两点.若点A与点B关于原点 O对称，则AB的最大值为 3.(2025·揭阳榕城区一模)如图，在矩形ABCD 中，已知AB=3,BC=4,P是BC边上一 动点（点P不与点B,C重合），连接AP, 作点B关于直线AP的对称点M,则线段 MC的最小值为 B P 第3题图 第4题图 常见的最值问题 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3, E,F分别是AD,CD上的动点，EF=2,Q 是EF的中点，P为BC上的动点，连接 AP,PQ,则AP+PQ的最小值是 5.如图，E,F分别是边长为4的正方形 ABCD的边AD,DC上的动点，满足 AE=DF,连接线段AF,BE,BE与AF 相交于点P,连接DP,则线段DP的最小 值是 E 第5题图 变式题图 [变式](2025·内江东兴区一模)如图，在 △ABC中，∠BAC=90°，AC=12,AB= 10,D是AC上的一个动点，以AD为直径 的⊙O交BD于点E,则线段CE的最小值 是 6.(2025·汕头龙湖区期末)如图，抛物线y= 4x2一4与x轴交于A,B两点，P是以恩 C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA的中点，连接OQ,则线段OQ 的最小值是 第三章圆31 [变式](2025·武威凉州区三模)如图，在平 面直角坐标系中，点A(3,0),B(0,3√3)， C是坐标平面内一点，且BC=2,D是线 段AC的中点，连接OD,当OD取最大值 时，点D的坐标为 D A x 变式题图 第7题图 7.(2025·德阳期末)如图，在Rt△ABC中， AC=5cm,BC=12cm,点D在以点A为 圆心，半径为3cm的圆上运动，M为BD 的中点，则CM的最小值是 cm. 类型2线圆最值 ●方法指导如图，已知⊙O和直线1，Q为⊙O上 一动，点，当直线OQ与l垂直时，点Q到直线l的距 离有最大值或最小值 Q Q 4 8.如图，已知直线y=3x一4与x轴、y轴分 别交于A,B两点，P是以C(0,1)为圆心、 半径为1的圆上的一动点，连接PA,PB, 则△PAB面积的最大值是 B 第8题图 变式题图 32一本·初中数学9年级下册BS版 [变式](2025·内江市中区模拟)如图，在矩 形ABCD中，AB=6,BC=8,O为矩形 ABCD对角线的交点.将以点A为圆心，半 径为1的圆记为⊙A,P为⊙A上的一个 动点，连接PD,则△PDO面积的最大值 为 9.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB=4,E 是AB的中点，P是矩形ABCD内一点，且 EP=AE,连接CP,PD,则△PCD面积的 最小值为 E B 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,E 为边BC上的动点，将△CEF沿EF所在 的直线翻折，点C落在点P处，则点P到 边AB距离的最小值是 11.如图，⊙M的圆心为M(4,0),半径为2， P是直线y=x十4上的一个动点，过点P 作⊙M的切线，切点为Q,则PQ的最小 值为 y=x+4 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8, BC=6,O是AB上靠近点A的三等分 点，半圆O与AC相切，M,N分别是BC 与半圆O上的动点，则MN的最小值是