专题12 与圆的基本性质有关的计算&专题13 圆的切线的证明方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第三章圆 专题12与圆的基本性质有关的计算 1B【解析】解法1：关系定理十圆周角定理. 如图，连接OC :AC=BC,AB为⊙0的直径， ∠A0C=∠B0C=∠A0B=90. 1 六∠D=2∠A0C=45”. 解法2：圆周角定理十半圆或直径所对的圆周角都相等 等于90°. 如图，连接BD B AB为⊙O的直径，.∠ADB=90° :AC=C,∠ADC=∠BDC=号∠ADB=45 2.B3.B4.140°5.1106.C 7.B【解析】如图，连接OD ,AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H, ∴AB⊥CD,.∠OHD=∠BHD=90 n∠CDB=号，BD=5, ∴.BH=3,∴.DH=BD2-BH=4, 解法1：列方程，求半径. 设OH=x,则OA=OD=OB=x+3. 在Rt△ODH中，由勾股定理，得x2+42=(x十3)2， 解得x=名0H=名， 。7 aAH=0H+0M=后+名+3= 77 3· 解题思路2：相似，连接AD,可证△BDH∽△DAH, 得品阳可得得AH, 解题思路3：三角函数，连接AD,可得∠DAH=∠BDH, DH 3 故tan∠DAH=A月音，可解得AH. 故选B. 8.c9.510.2211.6 专题13圆的切线的证明方法 1.解：(1)证明：如图，连接OC. OC=OB,∴.∠OBC=∠OCB. :∠DCA=∠ABC, .∠DCA=∠OCB 又AB是⊙O的直径， ,都 .∠ACB=90°， .∠ACO+∠OCB=90°， .∠ACO+∠DCA=90°， 即∠DCO=90°，.OC⊥DC. OC是半径，∴.DC是⊙O的切线： (2)3 2.解：(1)证明：AD⊥OB于点D,∠ADC=90° AC是∠BAD的平分线，∠DAC=∠BAC. .'OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, ∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=∠OCA+∠DAC=90°， .AB⊥OA OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线. (2)22-2 3.10路2号 4.解：(1)证明：如图，连接OD OD=OB,∴∠ODB=∠OBD. .'BD∥OC,∴.∠ODB=∠DOC,∠OBD=∠AOC, ∴∠DOC=∠AOC,即OC是∠AOD的平分线. :AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A,∴.AC⊥AB. 又OA=OD,.OD⊥CE OD是⊙O的半径，.CE是⊙O的切线 (2)W5-1 答案14· 5.解：(1)证明：连接OE,DF,如图所示. A D M B CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴.OD=OE=OC. 又.ME=MD,OM=OM, ∴.△OME≌△OMD(SSS), .∠OEM=∠ODM. .CD⊥AB,∴.∠ODM=90°， ∴.∠OEM=90°，即OE⊥ME. ,OE是⊙O的半径， ME是⊙O的切线. 33 8 6解：(1)证明：如图，连接OD,过点O作OH⊥AB于点H H ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， .AO⊥BC,AO平分∠BAC. AC与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AC OH⊥AB,.OH=OD,即OH为半圆O的半径， .AB与半圆O相切. (2)5 4 专题14求阴影部分面积的四种方法 1.A2.A3.D4.C5.C6.D 7号-85 25.259. 3 ·4π一2 93 10.3元- 4 11.D12.A13.93-3π 14号x15 【变式】A 专题15圆中常见辅助线的作法 1.A2√23.18°4.35°5.30° 6.D7.B8.A9/310.B 专题16圆中常见的最值问题 1w5-12.283.24.45.2W5-2【变式】8 6号【度武12,2)75810【度武】9 5 9.310.121.27129 同步检测卷 周周清小卷(1.1~1.4) 1.C2.D3.B4.C5.c6.A7.B8.c 94510.41112.25139 3 1 14.(1) (2) 2 3 一6 15.(1)10(2)105 (3)30 16.(1)CD≈91m (2)斜拉桥链条AC上的LED节能灯带的总造价大约是 145600元 周周清小卷（第一章） 1.B2.A3.B4.D5.D6.D7.D8.C 9.210 11.1212.20513.①②④ 14.(1)1 (2)-2 12 15.(1)AC=13 (2)sinC=13 16.玄奘法师铜像EF的高度约为10米 周周清小卷(2.1~2.3) 1.C2.A3.B4.D5.B6.A7.A8.D 9.410.y=2(x-2)2-311.9 12.y=-2x2+x+313.> 14.解：(1)a=3 (2)抛物线的顶，点坐标为(2，一1). 画出该抛物线如图所示 5 -6 (3)平移后的抛物线的表达式是y=x2一4x 15.(1)y=-2x2+16x(0<x<8) (2)当x=4时，阴影部分的面积最大，最大面积是32cm 1 16.1)y=-2x2+2x+6 (2)P(2,8)或P(4,6) 周周清小卷(2.4~2.5) 1.C2.D3.B4.c5.c6.B7.c8.A 9.(3,0),(-1,0)10.3811.450m212.0<x<413.1 14.(1)k>-3 答案15·第三章圆 专题12 与圆的 类型1求角度 1.【一题多解】(2025·山西)如图，AB为⊙O 的直径，C,D是⊙O上位于AB异侧的两 点，连接AD,CD.若AC=BC,则∠D的度 数为 ( A.30° B.45 C.60° D.75° D D B 第1题图 第2题图 2.(2024·重庆B卷)如图，AB是⊙O的弦， OC⊥AB交⊙O于点C,D是⊙O上一点， 连接BD,CD,OA,OB.若∠D=28°，则 ∠OAB的度数为 () A.28° B.34° C.56° D.62° 3.(2025·泸州)如图，四边形ABCD内接于 ⊙O,BD为⊙O的直径.若AB=AC, ∠ACB=70°，则∠CBD= () A.40° B.50° C.60° D.70° D B R 0 第3题图 第4题图 4.如图，O为线段BC的中点，点A,C,D到 点O的距离相等.若∠ABC=40°，则 ∠ADC的度数为 5.如图，AC是圆内接四边形 ABCD的一条对角线，点 D关于AC的对称点E在 边AB上，连接CE.若 ∠ABC=70°，则∠AEC= 0 类型2求长度 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE」 CB,交CB的延长线于点E.若BA平分 24 一本·初中数学9年级下册BS版 基本性质有关的计算 ∠DBE,AD=7,CE=5,则AE=() A.3 B.2√3 C.2√6 D.43 C B D B 第6题图 第7题图 7【一题多解】如图，AB是⊙O的直径，且经 过弦CD的中点H,已知sin∠CDB= 3 5 BD=5,则AH的长 ( ) 25 A.3 ,16 B.3 c陪 、16 D.6 8.如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与 CD交于点E,∠DEB=75°，AB=6,AE= 1,则CD的长是 ( A.26 B.2/10 C.211 D.4√3 D E B 第8题图 第9题图 9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径 为 10.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于 ⊙O,∠ACB=135°，则AB的长为 第10题图 第11题图 11.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂 足为E,AB=BF,CE=1,AB=6,则弦 AF的长度为 专题3圆的切线的证明方法 方法1已知切点，连半径，证垂直 角度2利用角互余证垂直 角度1利用平行证垂直 2.如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB 1.(2025·东营)如图，AB是⊙O的直径，C是 交⊙O于点C,AD⊥OB于点D,AC是 ⊙O上异于A,B的点，连接AC,BC,点D ∠BAD的平分线 在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC, (1)求证：AB为⊙O的切线； 点E在DC的延长线上，且BE⊥DC. (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求 (1)求证：DC是⊙O的切线； CB的长. (②若器-号服=10，求AD的长。 C D ○ 第三章圆25 3.(2024·沈阳于洪区模拟)如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，D是边BC上的一点，以CD为 直径的⊙O与AC交于点E,连接BE, AB=BE. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若an∠ACB=2,⊙0的直径为4，求 BD的长 E C B D 26一本·初中数学9年级下册BS版 角度3利用三角形全等证垂直 4.(2024·锦州凌河区二模)如图，AB是⊙O的 直径，C为⊙O外一点，且AC与⊙O相 切，过点B作BD∥OC交⊙O于点D,连 接CD并延长交AB的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； (2②若AC=2,tnE=号，求o0的半径. D B 5.(2025·南充)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为 直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F, M为线段DB上一点，ME=MD,连 接OM. (1)求证：ME是⊙O的切线 (2)若CF=3,sinB=号，求OM的长. C D MB 方法2未知切点，作垂直，证半径 6.(2024·武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切 于点D,底边BC与半圆O交于E,F两 点，连接OA. (1)求证：AB与半圆O相切； (2)若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值， 第三章圆27