专题4 二次函数图象的平移与对称（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

,四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠A十∠BCD=180° .∠BCD=120°，.∠A=60°，.∠BOD=120° .OB=OD,OH⊥BD,∴.BH=DH,∠BOH=60° .⊙O的半径为6，.BH=OB·sin∠BOH=6Xsin60°= 6X③ 2 =3/3,∴.BD=2BH=63. 解法2（作直径，将弦构造成直角边）： 如图，作直径DE,连接BE.由圆周角定E 理，得∠A=∠E,∠EBD=90° 0 四边形ABCD内接于⊙O, .∠A+∠BCD=180°. ∠BCD=120°，.∠A=60°，∴.∠E=60° ⊙0的半径为6，.DE=12, ÷BD=DE·sinE=12Xsim60=12x5=65. 2 【变式】A8.C9.D 10.解：(1)证明：如图，连接OA,则OA=OC. .BC是⊙O的直径，.∠BAC=90° ,∠ABE=∠CAE,∠OCA=∠OAC, ∴.∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°， .OA⊥AE.OA是⊙O的半径，.AE是⊙O的切线， (2)12√2 11.B12.C13.8x 中考新趋势 1432.40x3号-25 4.(1)③(2)7.68 专题提升 第一章直角三角形的边角关系 专题1求锐角三角函数值常用的四种方法 1c273.)a(②)4c5c65 7.D 7 8 【变式1号9号1o.D11 A 12,解：I)在R△ABC中，∠C=90,amB-,AB=5, ∴.可设AC=3x,BC=4x. .AC2+BC2=AB2,∴.(3.x)2+(4x)2=52, 解得x=-1(舍去)或x=1,.AC=3,BC=4. BD=1,∴.CD=3,.AD=√CD+AC=32. (2)解法1：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ·答 A B- D 5 3 DE5√2 ∴sina=AD3√2101 解法2：如图，过点B作BM⊥AD,交AD的延长线于点M B&'D C M 由(1)，得CD=AC=3,∴.∠ADC=45°，∴.∠BDM=45°. 在Rt△BMD中，BD=1, BM=BD·sin∠BDM=IXE=-Y2 22 ④ BM2_√E Rt△BMA中，sima=ABF5日 专题2利用三角函数解决实际问题的三种模型 1.纪念碑主碑AB的高度约为12.5m 2.世纪钟建筑AB的高度约为40m 3.(1)电池板顶端点C离地面的高度为10.5米 (2)灯臂AB的长度约为1.9米 4.此河段的宽CD为(40√3+30)m 专题3综合与实践 1.(1)最短距离约为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 2.任务一：冬至14° 任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能 热水器 第二章二次函数 专题4二次函数图象的平移与对称 【例1】A【变式1】B【变式2】D【变式3】D 【变式4】<【例2】B【变式1】D 【变式21C【变式3】D【变式4】x=号 专题5二次函数的实际应用 1.(1)40m (2)当FG的长为20m时，△ABC空地改造的总投资最 小，最小总投资为26400元 案10. 2.(1)y=-2x+300(2)90元 (3)当销售单价定为99元时，可获得最大利润，最大利润是 3978元 1 3.(1)该抛物线的函数表达式为y=一6x2+2x十4， 隧道顶部D到地面OA的距离为10m (2)这辆货车能安全通过.理由略 (3)4√3m 4,解：1)y=-12(x-2》+3 (2②)当x=0时y=-2×4+8= 1 3>2.44, ∴球不能射进球门. (3)1m 专题6二次函数y=ax2十b.x十c的图象与 系数a,b,c之间的关系 【例】(1)<>>(2)>(3)>= (4)>=><(5)≥ 【针对训练】 1.D2.B3.①②⑤4.②④⑤ 专题7二次函数的最值问题 【例】(1)y=(x-1)2-4 y 1x=1 (-1,0八 (3,0) 1(1,-4) (2)①1-4②5-3③5-4④√2+1⑤a≥1 ⑥-2或2 【针对训练】 1.B2.C3.D【变式1】0或7【变式2】-3或5 【变式3】A4.C5.C6.1 专题8动点与函数图象 1.B2.B 3.D【解析】如图，过点P作PG⊥AB于点G Q G K B P 当x=1时，动点Q运动到点H的位置，由题意和图象可 知，PH=225km,当，点Q运动到点G时，PQ2的值最 小，即PG2=81km2. 在Rt△PGH中，由勾股定理，得GH=√PH一PG= ·答 12km,.AG=13km,∴.m=13,.选项A错误. 当x=n时，点Q运动到点B, 则PB2=225=PH2,.PB=PH .PG⊥AB,∴.BG=HG=12km, ∴.AB=13+12=25(km),.选项B错误. 当x=0,即点Q在点A处时， AP2=AG2+PG2=132+81=250(km2), .点C的纵坐标为250，.选项C错误. 当x=15时，点Q运动到点K, ∴.AK=15km,∴.GK=AK-AG=2(km), ∴.PK2=KG2+PG2=4+81=85(km2), ∴.点（15,85)在该函数图象上，.选项D正确.故选D. 4.24 专题9二次函数与儿何图形的综合— 线段、面积、存在性问题 1.(1)抛物线的函数表达式为y=一x2十2x十3 (2)PM=-t2+3t(3)9 2.(1)y=x2-5x-6 (2)点P的坐标为(3，一12)，BD+PE的最小值为4⑤ 3ay7-2-2 (2)点P的坐标为(2，一3) 4.(1)b=-6,c=5 (2)存在 点P的横坐标为5+，④或5二④ 2 2 5.(1)二次函数的表达式为y=一x2十2x十3 (2)存在 符合条件的点P的坐标为(3+5,5一5)或2,3) 、2’2 6.解：(1)y=-x2+4x+5 (2)如图，过，点C作CH垂直抛物线的对称轴于点H,过点 N作NK⊥y轴于点K,则∠NKC=∠MHC=90. 1V P 由翻折，得CN=CM,∠BCN=∠BCM. B(5,0),C(0,5),.OB=OC, .∴.∠OCB=∠OBC=45°. 案11·第二章 二次函数 专题4 二次函数 类型1二次函数图象的平移 方法指导 1.二次函数图象平移的本质是点的平移，关键在坐标. 2.图象平移口诀：上加下减常数项，左加右减自 变量. :①将二次函数表达式化为顶点式y=a(x h)2十k; ②将y=a(x-h)2+k向上（下）平移m个单位长 :度：y=a(x-h)2十k士m; 将y=a(x一h)2十k向左（右）平移n个单位长度： y=a(x-h士n)2+k. 例1(2024·包头)将抛物线y=x2十2x向下 平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点 式为 () A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 [变式1](2025·咸阳渭城区模拟)将抛物线 y=ax2十2ax十2(a为常数，且a≠0)先 向左平移2个单位长度，再向下平移3个 单位长度，得到的抛物线经过点（一1,2）， 则a的值为 () A.2 B.1 C.-2 D.-1 [变式2]在平面直角坐标系中，将抛物 线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴 向下平移3个单位长度，则平移后得到的 新抛物线的顶点一定在 ( ) A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [变式3]在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-(a一2)x十a2一1向右平移4个单位 长度，平移后得到的新抛物线与y轴的交点 为A(0,3),则新抛物线的对称轴为() A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=2 [变式4](2024·内江)已知抛物线y= x2一2x十1向左平移两个单位长度得到抛 物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C 上，则y1 y2.(填“>”或“<”) 8 一本·初中数学9年级下册BS版 图象的平移与对称 类型2二次函数图象的对称 ◆方法指导 关于二次函数图象的对称问题，先将二次函数表达 式化为顶点式，然后通过开口方向、顶点位置确定 新表达式， 原表达式 对称变化 新表达式 关于x轴对称 y=-a(x-h)2-k y=a(x 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k h)2+k 关于原点对称 y=-a(x十h)2-k 关于顶点对称 y=-a(x-h)2+k 例2已知抛物线y=x2一4x一1，如果将该 抛物线沿着y轴翻折，那么所得到的新抛 物线的表达式是 () A.y=-x2+4x+1B.y=x2+4x-1 C.y=-x2+4x-1 D.y=x2-4x+1 [变式1]在同一平面直角坐标系中，若 抛物线y=mx2十2x一n与y=-6x2 2x十m一n关于x轴对称，则m,n的值为 () A.m=-6,n=-3 B.m=-6,n=3 C.m=6,n=-3 D.m=6,n=3 [变式2]已知抛物线y=x2-2mx-4 (m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称 点为M'若点M'也在这条抛物线上，则点 M的坐标为 A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20) [变式3]在平面直角坐标系中，有两条 抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距 10个单位长度.若其中一条抛物线的表达 式为y=x2+6x十m,则m的值是( ) A.-4或-14 B.-4或14 C.4或-14 D.4或14 [变式4]已知抛物线C1:y=2x2-4x 1,抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个 单位长度得到的，我们可以得到抛物线C 和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这 条直线为 专题⑤ 二次 类型1面积问题 1.某校计划将一块形状为锐角三角形的空地 进行生态环境改造.如图，已知△ABC的 边BC为120m,高AD为80m.学校计划 将它分割成△AHG,△BHE,△GFC和矩 形EFGH四部分，其中矩形EFGH的边 EF在边BC上，顶点H,G分别在边AB, AC上，AD与HG交于点K.现计划在 △AHG上种草，每平方米投资6元；在 △BHE,△GFC上种花，每平方米投资10 元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平 方米投资4元. (1)当FG的长为多少米时，种草的面积与 种花的面积相等？ (2)当FG的长为多少米时，△ABC空地 改造的总投资最小？最小总投资为多 少元？ 函数的实际应用 类型2利润问题 2.某经销商购进一款成本为60元的水杯，其 销售单价不低于成本价.按物价部门规定， 销售利润率不得高于65%.据市场调查发 现，这款水杯每天的销售数量y(个)与销 售单价x（元)满足一次函数关系，且当销 售单价为70元时，销售数量为160个；当 销售单价为80元时，销售数量为140个. (1)求y与x之间的函数关系式.（不需写 出自变量x的取值范围) (2)若该经销商每天想要获利3600元，又 想尽量减少库存，则这款水杯的销售单价 应定为多少元？ (3)设这款水杯每天的总利润为W(元)，那 么当销售单价定为多少元时，可获得最大 利润？最大利润是多少元？ 第二章二次函数9