28.2 第2课时 方向角、坡度与解直角三角形（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册“锐角三角函数的应用举例”，核心知识点为方向角、坡度与解直角三角形的实际应用。课堂从基础例题（如海岛测量）过渡到综合题（河堤坡度计算），再到拓展探究（无人机监测、地方特色问题），构建从具体到抽象的学习支架，衔接锐角三角函数定义与实际应用。 其亮点在于融入地方特色（大蜀山爬坡）和现代科技（无人机监测）情境，通过分层练习（知识分点练、能力综合练、拓展探究练）培养学生抽象能力、推理意识和应用意识。例如2022安徽中考题结合测量问题，引导学生用数学思维分析几何关系，用数学语言表达解题过程，既提升学生应用能力，又为教师提供丰富教学素材，提高课堂效率。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十八章　锐角三角函数 28.2.2　应用举例 第2课时　方向角、坡度与解直角三角形 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点1　方向角问题 1. 如图，海中有一小岛A，在B处测得小岛A在北偏东30°方 向上，渔船从B处出发由西向东航行10 n mile到达C处，在C 处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为 （　D　） D A. n mile B. n mile C. 20 n mile D. 10 n mile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 2. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔 C 60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船与小岛A的 距离是（　D　） D A. 30 n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. （30＋30 ）n mile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 3. （2022·安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离， 某数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得点A，B均在 点C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走 90 m至观测点D， 测得点A在点D的正北方向，点B在点D的北偏西53°方向上. 求A，B两点间的距离.（参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：如图所示. 由题意，得CE∥AD，∴∠A＝∠ECA＝37°， ∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°， ∴∠ABD＝90°.在Rt△BCD中， ∠BDC＝90°－53°＝37°， CD＝90 m， cos ∠BDC＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 ∴BD＝CD· cos 37°≈90×0.80＝72（m）. 在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD≈72 m，tan A＝ ， ∴AB＝ ≈ ＝96（m）. 答：A，B两点间的距离约为96 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 知识点2　坡度、坡角问题 4. 如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝ m，水平 距离BC＝1 m，则斜坡AB的坡度为（　A　） A. B. C. 30° D. 60° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 5. （教材P78习题T5变式）如图，在坡度为1∶2的斜坡上有两棵 树AC，BD，已知两树间的坡面距离AB＝2 m，那么两树间 的水平距离为 m. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 6. 一座人行天桥的示意图如图所示，已知天桥的高度CD＝ 6 m，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距点B 8 m处有一建筑物 MN，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC 的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜 角∠CAD＝30°.如果新坡面底端A处与建筑物MN之间需要留 出至少3 m宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明 理由.（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：该建筑物不需要拆除.理由如下： ∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，CD＝6 m， ∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝6 m. ∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°， ∴AD＝ ＝ ＝6 （m）， ∴AN＝BD＋BN－AD＝6＋8－6 ≈3.6（m）. ∵3.6＞3，∴该建筑物不需要拆除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 7. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面 垂直的古塔AB的高度.他从古塔AB的底部点B处前行30 m到达 斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳观测 点D处，从点D处测得塔顶点A处的仰角为30°.已知斜坡CE 的坡度i＝1∶ ，且点A，B，C，D，E在同一平面内，则小 明同学测得古塔AB的高度 是 m. （10 ＋20）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 8. 【新情境·地方特色】周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐 休闲、锻炼身体的方式之一.如图，某个周末小张同学从点B 处沿坡角为37°的山坡爬了280 m，到达点E处，紧接着沿坡 角为45°的山坡又爬了160 m，到达山顶A处.请你计算大蜀山 的高度.（结果精确到 1 m，参考数据： ≈1.414， ≈1.732， sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作EF⊥AD于点 F，EG⊥BC于点G，则四边形EGDF为矩形， ∴EG＝FD. 在Rt△AEF中， sin ∠AEF＝ ， ∴AF＝AE· sin ∠AEF＝160× ＝80 ≈113.12（m）. 在Rt△EBG中， sin B＝ ， ∴EG＝BE· sin B≈280×0.60＝168（m）， ∴AD＝AF＋FD＝AF＋EG≈113.12＋168≈281（m）. 答：大蜀山的高度约为281 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 9. 【新情境·现代科技】（2025·重庆）为加强森林防火，某林 场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图， A，B，C，D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到 甲无人机位于A的正东方向10 km的B处，乙无人机位于A的南 偏西30°方向20 km的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位 于C的正西方向，B位于C的北偏西30°方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：（1）如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD 于点F，∴∠AED＝∠BFC＝90°.由题意，得∠DAE＝30°. 在Rt△ADE中，AE＝AD· cos ∠DAE＝20 cos 30° ＝10 （km），DE＝AD· sin ∠DAE＝20 sin 30° ＝10（km）. （1）求BD的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 ∵甲无人机位于A的正东方向10 km的B处，D位于C的正西 方向，∴AB∥CD，∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10 km，BF＝AE＝10 km， ∴DF＝DE＋EF＝20 km， ∴BD＝ ＝ ＝10 ≈26.5 （km）. 答：BD的长度约为26.5 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处 进行巡视，乙无人机的速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机 相距20 km时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞 离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号？ （结果保留小数点后一位，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.65） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：（2）如图，设当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N 时，此时满足MN＝20 km，过点M作MT⊥CD于点T. 由题意，得∠BCF＝90°－30°＝60°. 在Rt△FBC中，BC＝ ＝ ＝20（km）， CF＝ ＝ ＝10（km）， ∴CD＝DF＋CF＝30 km. 设BM＝x km，则DN＝2x km，CM＝（20－x）km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 在Rt△CMT中，CT＝CM· cos ∠MCT＝（20－x）· cos 60° ＝（10－ x）km， MT＝CM· sin ∠MCT＝（20－x）· sin 60° ＝（10 － x）km， ∴NT＝CD－DN－CT＝30－2x－（10－ x） ＝（20－ x）km. 在Rt△MNT中，由勾股定理，得MN2＝MT2＋NT2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 ∴202＝（10 － x）2＋（20－ x）2， ∴x＝15－5 或x＝15＋5 （此时大于BC的长，舍去）， ∴BM＝15－5 ≈3.8（km）. 答：甲无人机飞离B处约3.8 km时，两无人机可以开始相互接 收到信号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $