专题14 解直角三角形的实际应用（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

专题14 解直角 ·必备知识 基本 图形 C B 通过构造直角三角形，解直角三角形即可 解题 K D 思路 D D AD AD AD BC= BC= AD tan a tan B tan a tan B 图形 演变 D 【例】(-题多解)如图，一艘货轮以36 n mile/h 的速度在海面上航行，当它行驶到A处时， 发现它的东北方向有一灯塔B,货轮继续向 北航行40min后到达C点，发现灯塔B在 它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的 距离.（结果保留小数点后一位，参考数据： tan75°≈3.73，sin75°≈0.97，√2≈1.41) 【解题策略1】外部作高. 20一本·初中数学9年级下册RJ版 三角形的实际应用 【解题策略2】内部作高. ·学以致用 1.如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD 相距m米，在建筑物的顶部A观测塔顶C 的仰角为α，塔底D的俯角为3，则铁塔 CD的高度为 米.（用含m,a,B的 式子表示) 六130° 60° Bm米D 第1题图 第2题图 2.(2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端 A,B的距离不易测量，某科技小组需要用 无人机进行测量.他们将无人机上升并飞 行至距湖面90m的点C处，从C点测得 A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30 (A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊 两端A,B的距离为 m.(结果保留 根号) 3.(2025·达州)为了让莲花湖湿地公园的天更 蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机 指引工作人员清理湖中垃圾.如图，已知无 人机悬停在湖面上的C处，工作人员乘 小船在A处测得无人机的仰角为30°，当 工作人员沿正前方向划行30米到达B处 时，测得无人机的仰角为45°，求无人机离 湖面的高度.（结果不取近似值） 30°X45° A■ B 4.(2024·南京)如图，港口B位于港口A的北 偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏 东21°方向，港口C位于港口B的北偏东 76°方向.一艘海轮从港口A出发，沿正北 方向航行.已知港口B到航线的距离为 12km,求港口C到航线的距离.（参考数 据：am21=分lam37r子，an76≈4) 76° B 379 )19 5.(2024·泸州)如图，海中有一个小岛C,某渔 船在海中的A点测得小岛C位于东北方 向上，该渔船由西向东航行一段时间后到 达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向 上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间 后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 60°方向上.已知A,C相距30 n mile,求C, D两点之间的距离.（计算过程中的数据不 取近似值) 60° 30° 459 160° A B 6.(2024·重庆B卷)如图，A,B,C,D分别是某 公园的四个景点，B在A的正东方向，D 在A的正北方向，且在C的北偏西60°方 向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北 偏西15°方向，AB=2千米.（参考数据： √2≈1.41，√3≈1.73，w6≈2.45) (1)求BC的长度.（结果精确到0.1千米） (2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲 选择的路线为D→C→B,乙选择的路线为 D→A→B.请通过计算说明谁选择的路线 较近. 60 30 第二十八章锐角三角函数21第二十八章锐角三角函数 专题13解三角形 【例】号 【例2】解：如图，过点A作AD⊥CB交CB的延长线 于点D. B--B ,∠ABC=120°，.∠ABD=60°. ∠ADB=90°，∴.∠BAD=30°. :AB=8,BD=2AB=4,AD=AB·m∠ABD 1 4J3,∴.CD=BC+BD=14. 在Rt△ACD中，AC=√AD2+CD=2√6I. 【例3】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点E 作EF⊥BC于点F. 在Rt△ABD中，AB=√6，∠B=45°，∠ADB=90°， ∴.BD=AD=AB·sinB=√3， AD ∴在Rt△ADC中，CD=tam60=1, .BC=BD+CD=√3+1. 在Rt△BEF中，设BF=EF=x. :CE平分∠ACB,∠ECF=30, 在Rt△EFC中，CF=an303x 由CF+BF=BC,得3x+x=√3+1， 解得x=1,即EF=1, ∴.EC=2EF=2. 【例4】4 【学以致用11D2A3号45≥ 2 5.解：在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD-1 BD 2 AB=5,.AD=√5，BD=2√5. 如图，过点D作DF⊥AB于点F,过点A作AM⊥ BC于点M,过，点C作CG⊥AB交BA的延长线于 点G. ·答 由等面积法，得DF=AD:BD-=2, AB .BF=√/BD2-DF=4,∴AF=1. AB=AC=5,BC=8, BM-CM-BC-4. ∴.AM=√JAB2-BM=3. 由等面积法，得CG=BC,AM24 AB 5, ∴在R△ACG中，AG=AC-CG=名， FG=AF+AG- 由辅助线的作法可知，∠DFE=∠CGE=90°. ∠DEF=∠CEG,∴△DFE∽△CGE, EF DF 2 5 :.GCG2472 EF-号FG-号BE=BF+EF-9 专题14解直角三角形的实际应用 【例】解：[解题策略1]如图，过点B作BD⊥AC交 AC的延长线于点D, D 设BD=x n mile. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=45°， .'AD=BD=x n mile. 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠BCD=75°， ..CD=_ BD tan∠BCD tan75 由题意，得AC=36×8-24 n mil.) .AD=CD+AC, ∴.x tan75+24,解得x≈32.79， ,.BD≈32.79 n mile, ∴BC BD sin∠BCD≈33.8 mile. 答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.6 n mile. [解题策略2]如图，过点C作CD⊥AB于点D. 北 案15· 由题意，得AC=36X60 ,40 =24(n mile),∠A=45°， ∠1=75°， .∠ACD=45°，∠DCB=60°，.∠B=30°. 在R△ACD中，CD=AC·sin A=24×号 2 12√2(n mile),.BC=2CD=24√2≈33.8(n mile). 答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.6 n mile. 【学以致用】1.(mtan a十mtanβ)2.120√3 3.(153+15)米 4.解：如图，设BC交航线于点D,过点B作BE⊥AD 于点E,过，点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F, 则∠BDE=∠CDF=76°，BE=12km 北 i76° 1 由题意，知∠BAE=37°，∠CAF=21° BE :tan∠BDE=DE' BE BE 12 .DE= tan∠BDE tan76≈4 =3(km). :tan∠BAE=BE AE' BE BE≈12=16(km). AE=an∠BAE-ian37≈ 3 4 设CF=xkm. CF :tan∠CDF=DF=tan76≈4， 1 六DF≈4CF= 4x km, AF-AE+DE+DF-(19+)km. C 8 .'tan∠CAF AF=tan21≈2 8 8/ 1 .CF≈2AF,即x(19+4),解得x≈8. 答：港口C到航线的距离约为8km. 5.20√2 n mile 6解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E. 由题意，得∠CAB=90°-30°=60°，∠ABC=90° 15°=75°， ∴.∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=45°. 在R1△ABE中，∠AEB=90°，AB=2千米， .BE=AB·sin∠BAE=2Xsin60°=3（千米）. BE 在Rt△BCE中，BC √3 sin∠BCE=sin45=√6≈ ·答 2.5(千米)， ∴.BC的长度约为2.5千米. D60 ▣ 30 B (2)如图，过，点C作CF⊥AD于点F 由(1)，知CE=BE=√3千米. 在Rt△ABE中，AE=AB·cos∠BAE=2Xcos60°= 1(千米)， ,∴.AC=AE+CE=(1十√3)千米. 在Rt△AFC中，CF=AC·sin∠CAF=(1+√3)X sin30°=1+3 (千米)，AF=AC·cos∠CAF=(1+ 5)Xcos30°=3+3（千米）. 2 在Rt△DCF中，∠DCF=30°，∠DFC=90°，∴.DF CF.DCE=1十3×tan30°=6（千米）， 2 1+√3 CF 2 CD= cos∠DCF cos30 3f. :CD+BC=3++6≈4.03（千米）， 3 AD+AB-DF+AF+AB-3+3+2 6 2 5.15(千米). .4.03<5.15, ,,甲选择的路线较近 专题15与锐角三角函数有关的 综合与实践 解：如图，过点B作BH⊥AP于点H. AB=60米，∠PAB=79°， .AH=AB·cos∠PAB=AB·cos79°≈60×0.19= 11.4(米)，BH=AB·sin∠PAB=AB·sin79°≈ 60×0.98=58.8(米). ∠PAB=79°，∠PBA=64°， .∠APB=180°-79°-64°=37°， BH58.8 ∴PH= an37≈0.75 =78.4(米)， ∴.AP=AH+PH≈11.4+78.4=89.8（米）， 即A,P两，点之间的距离约为89.8米 (2)② 16·