第28章 锐角三角函数 章末复习-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

同行学案学练测数学九年级下RJ 章末 即考点整合 >>>>>>>>>>综合运用 考点一：锐角三角函数的定义 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,AC=1, 则cosB的值为() A EB子 C.5 D.4v17 17 2.(资阳中考)如图是第24届国际数学教育大 会会标中心的图案，它来源于我国古代数学 家赵爽的“弦图”.如图所示的“弦图”是由四 个全等的直角三角形（△ABE,△BCF, △CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼 成的大正方形ABCD.若EF：AH=1：3, 则sin∠ABE=() 4 5 B c D26 5 3.在△ABC中，∠C=90°，AB=10,cosA= 则BC的长为 4.（广元中考)如图，在4×4的正方形网格图 中，已知点A,B,C,D,O均在格点上，其中 A,B,D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O 的交点，则∠BAE的正切值为 第4题图 第5题图 5.如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点， AE⊥BD,垂足为点F,则tan∠BDE的值 是 考点二：特殊角的三角函数值 6.(大庆中考)计算：2cos60°=( ) 1 A.1 B.√3 C.√2 D. 2 7.[运算能力]计算2sin30°-sin45°+tan30°的 结果是( N含8 13 B.2+3 C.√5+√2 D.1-√3+√2 96做神龙题得好成绩 复习 &.在△ABC中，sinB=cos(90°∠C)=2,那 么△ABC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 9.计算sin60 C0s30° 一tan45的值是 10.在△ABC中，若(2sinA-1)2+√cosB-2 =0,则∠C的度数为 考点三：解直角三角形 11.(湘西州中考)如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=12,AB的垂直平分线EF交AC 于点D,连接BD.若cos∠BDC=?,则BC 5 的长是() A.10B.8 C.4√3D.2√/6 B D 第11题图 第12题图 12.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点 C,使DC-号BD,连接AC.者amB-3,则 tan∠CAD的值为() A要 c n青 13.(浙江中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC, AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6, tan∠ACB=l. (1)求BC的长. (2)求sin∠DAE的值. 考点四：解直角三角形的应用 14.为测量操场上篮筐的高AB,小明站在点Q 处，眼睛P与地面的距离PQ为1.7米，与 AB的水平距离PC为2.5米，若仰角 ∠APC为0，则篮筐的高AB可表示 为() P<10 A.7+25m0米R1.7+米 C.(1.7+2.5sin0)米 nL7+品米 15.（内蒙古中考)综合实践活动中，数学兴趣小 组利用无人机测量大楼的高度.如图，无人 机在离地面40米的D处，测得操控者A的 俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为 45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼 BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高 度是多少米？（点A,B,C,D都在同一平面 内，参考数据：W3≈1.7) -3053450 第二十八章锐角三角函数☑ 16.(辽宁中考)如图①，在水平地面上，一辆小 车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向 上提起.起始位置示意图如图②，此时测得 点A到BC所在直线的距离AC=3m, ∠CAB=60°，停止位置示意图如图③，此时 测得∠CDB=37°（点C,A,D在同一直线 上，且直线CD与地面平行)，图③中所有点 在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动 过程中绳子总长不变， (1)求AB的长 (2)求物体上升的高度CE.(结果精确到0.1m) (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75，W3≈1.73) B E中 C--A C-- 77777777777777777777 ① (② ③ 做神龙题得好成绩97 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 17.(凉山州中考)小刚同学在学习了解直角三 角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识 测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测 得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发 沿斜坡走2√10米到达斜坡上D点，在点D 处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的 坡度为i=1：3(点E,C,B在同一水平线上). (1)求小刚同学从点C到点D的过程中上升 的高度， (2)求大树AB的高度.（结果保留根号） 030 745° E 18.(资阳中考)如图，某海域有两灯塔A,B,其 中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且 A,B相距163 3 海里.一渔船在C处捕鱼， 测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔 B的正北方向. (1)求B,C两处的距离. (2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一 段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求 98】做神龙题得好成绩 救信号.此时，在灯塔B处的渔政船测得D处 在北偏东27°方向，便立即以18海里/时的速度 沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航 行时间 (注：点A,B,C,D在同一水平面内；参考数 据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5) 北 65 309 A 27 30 B 即数学思想 >>>>>>>>>>>>核心素养 思想一：分类讨论思想 19.如果方程x2一4x十3=0的两根分别是 Rt△ABC的两条边长，△ABC的最小角为 ∠A,那么tanA= 思想二：数形结合思想 20.图①是一个水平地面上的长方体密封容器， 内部装有水，其正方形底面的边CD=8cm, 棱AD上标有刻度，水面与AD交于点M, 读得DM=30cm.如图②将容器放在斜坡 OE上，此时水面分别与AD,BC交于点N, P(NP/∥OF),读得DN=25cm.若容器厚 度不计，则tan∠EOF= B D D C ②培优专题22：考点整合一三角函数 肤的距离约为8.4cm. 与四边形、反比例函数的综合应用 D E C B D2号3号4y=-是5-10 N 6.解：)在R△AOB中，tan∠BA0=A=2.A(4,0 3.解：在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOA=64°，BD= .OA=4,∴.OB=8,B(0,8).A,B两点在一次函数y =ax+6上，6=8 a=-2 20.5cm,∴tm∠B0A-80.sm∠B0A-=8B265 4a十6=0心6=8，一次函数解析式 20.5 ))，0.90≈20,5，∴.OD≈10cm,OB≈22.78cm.在 为y=-2x十8.如图，过点C作CE⊥OA于点E.BC= Rt△COE中，OC=OB=22.78cm,∠COA=37°， 3Ac,AB-4Mc:CE0B,需-65-， /0018是，即0-728g是理得0E≈278X ∴.CE=2,OE=3,.C(3,2),k=3×2=6,∴.反比例函 0.80=18.224(cm),则ED=OE-OD≈8.2(cm). 数的解折式为y一 y=-2x十8 4解：(1coa-如图，设6=7x,则c=4红，由勾股 (2)由 或 y=6 z-3D1,6.如 y=2’ 定理得，a=√(4x)2-(W7x)-3x,sina=a=3r= c Ax 图，过点D作DF⊥y轴于点F,则SAOCD=S△AoB一SAHOD 是又9=30,9=n80=分折射率为器 -Sa=0A.0B-0B·DF-0A·CE=号× 43 4X8-2×8×1- 1 ×4×2=8. 1 2· (2)由题意可得a=60,折射率为名÷器 2 g=号-怎四边形ABCD是矩形，点O是 sin60°_3 AD中点，AD=2OD,∠D=90°.又∠OCD=B, ∴n∠0CD=g-得在RAOC中，设OD=3z, OC=3x,由勾股定理得，CD=√(3x)2-(W3x)2=√6x, 0 EA 培优专题23：学科融合一三角函数的跨学科应用 n-80-号00=10x号=52A0=200= 1.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°，.tan73.4° 10√2，∴.截面ABCD的面积为AD×CD=102×10 8 =BC.tan73.4≈3.35，BC≈2.39尺.在R△ABD中， =100√2(cm2). AB-8尺，∠ADB-益Gms-品”6G≈a0, ∴BD≈16尺由题可知，春分和秋分时日影长度等于夏至 和冬至日影长度的平均数，春分和秋分时日影长度为 2.39+16≈9.2（尺）. b 2 章末复习 2.解：如图，过点A作AF⊥MN,垂足为F.设BF=xcm. ,BC=9cm,∴.CF=BF+BC=(x+9)cm.在Rt△ABF 1A2C364号5号6A2B8A90 中，∠ABF=∠DBN=35°，.AF=BF·tan35°≈ 10.90°11.D12.D 0.70xcm.在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，∴.AF 13.解：(1)：AD⊥BC,AB=10,AD=6,.BD= =CF·tan22°≈0.40(x+9)cm,∴.0.70x=0.40(x+9), WAB2-ADz=√102-6=8.：tan∠ACB=1,∴.CD 解得x=12,.AF=0.70x=8.4cm,.A处新生物到皮 =AD=6,∴.BC=BD+CD=8+6=14.(2),AE是 ·24·同行学案学练测 BC边上的中线，CE=2BC=7,DE=CE-CD=7 18.解：(1)由题意，得∠ACB=∠ABC=30°，∴.AB=AC= -6=1.:AD⊥BC,∴.AE=√JAD2+DE=√62+1 163海里.过点A作AH⊥BC于点H,∠AHC= 3 =V37,∴sin∠DAE=DE=1=V37 AE√/3737· ∠AHB=90,CH=BH,∴CH=BH-AB-9× 2 14.A 16w3」 3 =8(海里)，.BC=16海里，答：B,C两处的距离为 15.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE 16海里.(2)过点D作DG⊥BC于点G.在Rt△BDG 于点F,则四边形BCFE是矩形.由题意，得AB=80米， DE=40米，∠ADE=90°-30°=60°，∠CDF=90°-45° 中，BG=9=2Dc.在R△cDG中，0G =45在R△ADE中，∠AED=90C:an∠ADE-能 2兴0=G-062G-9=16,解得 =tan60°=√3，∴.AE=√3DE=40√3米，.BE=AB- DG=10.5海里，∴.CG=5海里，∴.BG=BC十CG=21海里， AE=(80一403)米.，四边形BCFE是矩形，∴.CF= BD=√/BG+DC=21,5海里，渔政船的航行时 2 BE=(80-40√3)米.在Rt△DCF中，∠DFC=90°， ∠CDF=∠DCF=45°，∴.DF=CF=(80-40√3)米， 间为215÷18=75 2 12 小时). ∴.BC=EF=DE-DF=40-80十40√3≈28（米）.答：楼 BC高度约是28米. D 直击中考 30下J45- 1.A2.B3.B4.A 5.B[解析]过点A作AD⊥BC于点D.·它是一个轴对称 16.解：(1)如题图②，在Rt△ABC中，AC=3m,∠CAB= 图形，AB=AC.AD1BC,BD=2BC=3m在 60°，∴∠ABC=30°，AB=2AC=6m,则AB的长为 R△ADB巾，m∠ABC-品AD=BD·w 6m.(2)在Rt△ABC中，AB=6m,AC=3m,根据勾 3 tang m,∴.房顶A离地面EF的高度为(4十3tana)m 股定理得，BC=√AB2-AC=√62-32=3√3(m).在 6.A[解析]如图，连接AO,BO.,PA,PB分别与⊙O相 Rt△BCD中，∠CDB=37°，sin37°≈0.60，√3≈1.73， 切于点A,B,∴.∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB=8. n∠CDB=S即3议02=Q60,解得BD DC=12,.AO=6,.OP=10.在Rt△PA0和 BD PA=PB」 8.65m,.CE=BD-BA=8.65-6=2.65(m)≈2.7m, Rt△PBO中， PO=PORAPA0≌R△PBO(H, 则物体上升的高度CE约为2.7m. ∴，∠AOP=∠BOP,∴.AC=BC,.∠ADC=∠BDC. 17.解：(1)过点D作DH⊥CE于点H,由题意知CD= ∠AOC=2∠ADC,.∠ADB=∠AOC,∴.sin∠ADB= 2V而米“斜技CP的城度为=1：8，小2册子设 na0c-8S-台 DH=x米，CH=3x米.DH+CH=DC2,.x2+ (3x)2=(2√10)2，.x=2,.DH=2米，CH=6米.答： 小刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米 D (2)过点D作DG⊥AB于点G,设BC=a米.，∠DHB =∠DGB=∠ABC=90°，.四边形DHBG为矩形， B ∴.DH=BG=2米，DG=BH=(a+6)米.，∠ACB= 7.A 45°，∴.BC=AB=a米，.AG=(a-2)米.∠ADG= 8.C[解析]如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q.,OP∥AB, ∴.∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP,∴.△OCP∽ △BCA,∴.CP:AC=OC:BC=1:2.∠AOC= ∴.AB=(6+4√3)米.答：大树AB的高度是(6+4√3)米. ∠AQP=90°，∴.CO∥PQ,.OQ:AO=CP:AC=1:2.