专题11 相似模型——对角互补模型&专题12 已知一边一角构造相似三角形（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

6.解：如图，作∠KAD=∠CAB,且AK=AC,连接 DK,CK,则△ABC≌△ADK, ,△ABC≌△ADK,.BC=DK=4,∠ABC= AB AC.AB AD ∠ADK,AD-AK·ACAK :∠CAB=∠KAD,∴∠BAD=∠CAK, :△BADD△CAK,CKAC BD AB ,AC=√2AB,CK=√2BD=52. :∠BAD+∠BCD=90°， ∴.∠ABC+∠ADC=270°. :∠ABC=∠ADK, ∴.∠ADK+∠ADC=270°， ∴.∠CDK=90°， ∴CD=√CK-DK=√34. 7.1252)路(80里 专题11相似模型一对角互补模型 1.解：如图，过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC 于点N. D :DM⊥AB,DN⊥AC,∠BAC=90°， '.四边形MDNA是矩形， ∴.∠MDN=90°，AM=DN. :∠EDF=90°，∴∠MDE=∠NDF :∠DME=∠DNF=90°， ∴△DMEp△DNF, ÷BX8E-2M=2DN. :DM∥AC,∴.△BMD∽△BAC, BA-CA3 DN 2DN BM_DM 3 4 5DM=12 解得DN= ,BM=9 5 ∴.BD=√BM+DM=3. 2.解：(1)证明：，四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠D=90°，∴.∠EGF=∠D=90° 如图，过点G分别作GP⊥AB于点P,GQ⊥BC于 点Q, ·答季 ∴.∠GPB=∠GQB=∠B=90°，GQ∥AB,GP∥ BC,∴∠QGP=90°， ∴.∠PGM+∠MGQ=∠MGQ+∠QGN, .∠PGM=∠QGN. ,∠GPM=∠GQN=90°， 、GMGP .△GPM∽△GQN,GN-GQ :G是AC的中点， 1 GQ-2AB,GP-- 1BG,·GM-=GP-BC GN GQ AB ®号 专题12已知一边一角构造相似三角形 1.解：如图，过点E作EF⊥BA交BA的延长线于，点 F,过点D作DG⊥AC于点G,则∠AFE= ∠AGD=90°. ∠BAC+∠DAE=180°，.∠2+∠BAE=180°. 又∠1+∠BAE=180°，.∠1=∠2， △AFEAAGD.-ES .AD=kAE,.'.DG=kEF. SAs=AB·ER,Sam=AC·G=号AC· 1 k·EF :AB=kAC,∴.SAAEB=S△ACD: 2.解：如图，作∠APF=∠CPE交AD于点F,过点 P作PH⊥AD于点H,则△APFP△CPE, ..AF_AP CE-CP-k,∠AFP=∠E,∠EPC=∠FPA, ∴.AF=kCE,∠PFD=180°-∠AFP=180°-∠E= 30°+∠EPC=30°+∠FPA=∠D,∴.PF=PD, ..DH=FH,..AD-AH=AH-AF, ..AD+AF=2AH. :∠A=30°，∠AHP=90°，∴HP=2AP, 1 i.AH-/API-HET-AP. 又，'AF=kCE,.AD+kCE=AD十AF=2AH= √3AP. 案14.专题1个相似模型一对角互补模型 模型展示 2.在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D十 基本图形 解题方法 ∠B=180°，G是对角线AC的中点， △EFG绕顶点G旋转，∠D=∠EGF,其 中GE,GF分别交AB,BC于点M,N. (1)如图1，若四边形ABCD为矩形，求证： 已知∠AOE+∠DCE=180°，构造△DMCn GM BC GNAB △ENC或△CDO∽△CEF (2)如图2，若BC=8,GM=5,CD=10,求 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3, GN的长， AC=4,D为BC上的一点，以D为直角顶 点的角的两边分别交AB,AC于点E,F. 当DE=2DF时，求BD的长. G 图1 图2 16一本·初中数学9年级下册RJ版 专题12已知一边一角构造相似三角形 解题思路：当我们已知一个确定的角和一条确定的边时，可以通过利用两边成比例且夹角相 等或两角对应相等构造一个与目标三角形（或已知三角形）相似的三角形 1.如图，在△ABC中，AB=kAC,∠BAC十∠DAE=180°，AD=kAE,求△AEB与△ACD 的面积之间的数量关系 2.如图，P是AC上的任一点，∠A=∠C=30°，∠DPE=2∠A.当AP=PC时，试探究 AD,CE,AP之间的数量关系（用含k的式子表示）. 第二十七章相似17