重点题型专题4 相似三角形中比例式和等积式的证明&教材变式专题5 三角形内接矩形问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

.∠EDC=∠DAB, 又∠B=∠C,.△BDAp△CED (2)∠B=45°，.∠B=∠ADE=∠C=45°， ∴.△ABC是等腰直角三角形，∴.∠BAC=90° BC=2,∴由勾股定理，得AB=AC=√2. 分三种情况： ①若AD=AE,则∠ADE=∠AED. ∠ADE=45°，.∠ADE=∠AED=45°， .∠DAE=90°，此时点D与点B重合，不符合题意 舍去. ②如图1，若EA=ED,则∠EAD=∠EDA=45°. ∠BAC=90°，∴.∠BAD=∠EAD=45°， ∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC, .BD= 2Bc=1. 图1 图2 ③如图2，若DA=DE,则∠DAE=∠DEA 由(1)可知，∠EDC=∠DAB,∠B=∠C, ∴.△BDA≌△CED(AAS), .AB=DC=√2， .BD=BC-DC=2-√2. 综上所述，BD的长为1或2一√2， 27.2.2相似三角形的性质 1.B2.1:33.84.2 5.B6.0 7.8cm,10cm8.D9.B10.211.54 12.A【变式】C13.B14.1：9 15.(1)2(2)6 16.乙木匠的加工方法符合要求 重点题型专题4相似三角形中 比例式和等积式的证明 1.证明：AB=AC,BD=CD, ∴.AD⊥BC. ,CE⊥AB,∴.∠BEC=∠BDA=90°. ∠B=∠B,∴△BCE∽△BAD, ÷85BD:BC-BE,aM 2.证明：AB=AD,∴.∠ABD=∠ADB ∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACB. ∠BAE=∠CAB,.△EABn△BAC, 能福提器 又：AB=AD,AEAD AB AC 3.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ∠B=∠D ,AE⊥BC,AF⊥CD, .∠AEB=∠AFD=90°， ,∴.△ABEC∽△ADF (2)由(1)，知△ABE∽△ADF, 铝船。 想把 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AB∥CD,AB=CD, 搬船 :AB∥CD, ∴∠BAF=∠AFD=90°， ∴.∠EAF+∠BAE=90. :∠AEB=90°，∴.∠B+∠BAE=90°， ∴∠EAF=∠B, ∴.△AEF∽△BAC, 服熙 AB-CD,CD-AC AE EF 即CD·EF=AC·AE 4.证明：(1)'∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠CFD, ∠E=∠C. ∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC, .AD_AE AB AD AB-ACAC-AE .AF AB (2)AB2=AF·AC,AB-AC :∠FAB=∠BAC,.△AFB∽△ABC, 8腿 .是0…祀。 ∴.AD·BC=AE·BF. 教材变式专题5三角形内接矩形问题 解：四边形PQMN是正方形， ∴.PN∥BC,PN=PQ=QM=MN, ∴.△APN△ABC. AD是△ABC的高， ∴.AE是△APN的高， 欲怨 设PN=PQ=QM=MN=tm. .'BC=10 m,AD=6 m, .0 6,解得1=3.75， t 6-t ∴.加工成的正方形零件的边长为3.75m. 答案4· (1)设矩形的边长PN=2ym,则PQ=ym. PN∥BC,.△APN∽△ABC, .PN_AE 瓷怎器6解释y。 30 60 .PN-10X2-11(m), 30 “此时这个矩形零件的相邻两边的长分别为1m, 60 11 m. (2)设PN=xm,矩形PQMN的面积为Sm. PN∥BC,∴.△APN∽△ABC, 议5品0， 解得PQ-(6-)m, s=z(6-3+)=9x+z=a-5+15 ∴.当x=5时，S有最大值，最大值为15， 此时PQ=6-号×5=3(m. ∴，这个矩形零件的最大面积为15m2,此时它相邻两 边的长分别为5m,3m. 27.2.3相似三角形应用举例 1.B2.3米3.B4.120米5.C6.7m 24 7.0D5.8米2)AB="3米 27.3位似 第1课时位似图形及画法 1.D2.D3.B4.C5.D6.B 7.略8.25或159.B10.4√2π 11.解：(1)点O如图所示. (2)△ABC与△A'BC的相似比为1：2. (3)△A1BC1如图所示，S△A,Bc,=25. 12证明：△DE0与△AB0位级8R8S .OE OF :△OEF与△OBC位似，OB-OC' ÷8080D.0-0.0A 13.AB=8,AD=4 第2课时平面直角坐标系中的位似变化 1.D2.B【变式】A3.A4.C5.(6,4) 6.(1)略(2)略(3)(2a,-2b) 答 7.(一1，2)或 (1，-2) 8.(1，0)或(一5，一2 $$9 . D \quad 1 0 . \left( - 3 ， - 2 \right) 1 1 . \frac { 5 } { 2 }$$ $$\frac { 1 5 } { 2 }$$ 12.(-9，-2) 或(3，2) $$1 3 . y = - 3 x ^ { 2 } + 1$$ $$1 4 . \left( - 1 0 ， \frac { 2 7 } { 2 } \right)$$ 数学活动——制作视力表 解：[任务 $$1 \right] \frac { b _ { 1 } } { l _ { 1 } } = \frac { b _ { 2 } } { l _ { 2 } } .$$ ，理由如下； $$\because P _ { 1 } D _ { 1 } \parallel P _ { 2 } D _ { 2 } ， \therefore \triangle { P _ { 1 } } { D _ { 1 } } O \omega \triangle { P _ { 2 } } { D _ { 2 } } O ，$$ $$\therefore \frac { P _ { 1 } D _ { 1 } } { P _ { 2 } D _ { 2 } } = \frac { D _ { 1 } O } { D _ { 2 } O } ，$$ $$\frac { b _ { 1 } } { l _ { 1 } } = \frac { b _ { 2 } } { l _ { 2 } }$$ [任务 $$2 7 \because \frac { b _ { 1 } } { l _ { 1 } } = \frac { b _ { 2 } } { l _ { 2 } } ，$$ $$b _ { 1 } = 1 . 6 c m ， b _ { 2 } = 1 c m ， l _ { 1 } =$$ 40cm， $$\therefore \frac { 1 . 6 } { 4 0 } = \frac { 1 } { l _ { 2 } } ， \therefore l _ { 2 } = 2 5 \left( c m \right) ，$$ ∴②号“ 的测量距离 $$l _ { 2 }$$ 为 25cm. [任务 $$3 ^ { - }$$ 由题意，得 A'B'∥/NN，CE⊥MN， $$\therefore \triangle C M N \sim \triangle C A ' B ' ， \therefore \frac { C D } { C E } = \frac { M N } { A ' B ' }$$ 由题意，得 CE=5m，DE=3m，A'B'=AB=0.8m， $$\therefore C D = 2 m ， \therefore \frac { 2 } { 5 } = \frac { M N } { 0 . 8 } ，$$ 解得 MN=0.32(m)， ∴ 镜长 (MN) )至少为0.32 m. 章末复习 ① 相等 ②成比例 ③成比例④夹角 ⑤相等⑥相似比⑦ 相似比⑧相似比的平方 1.C 2.12 3.D 4.C 5.D 6.C 7.D 8.D 9.A $$1 0 . \left( 1 \right) \frac { 1 } { 3 } \left( 2 \right) \frac { 1 } { 2 }$$ 11 .证明： $$： \left( 1 \right) \because \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A C = B C ，$$ $$\therefore \angle A B C = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，即 $$\angle P B A + \angle P B C = 4 5 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A P B = 1 3 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle P A B + \angle P B A = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A P B = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ∴∠PAB=∠PBC. 又 $$\because \angle A P B = \angle B P C = 1 3 5 ^ { \circ } ，$$ ∴△PAB∼△PBC. (2) 由题意，知 △ABC 为等腰直角三角形， $$\therefore A B = \sqrt 2 B C .$$ 由 (1) \left.{})， 和△PAB∼△PBC， $$\therefore \frac { P A } { P B } = \frac { P B } { P C } = \frac { A B } { B C } = \sqrt 2 ，$$ $$\therefore P A = \sqrt 2 P B ， P B = \sqrt 2 P C ，$$ $$\therefore P A = \sqrt 2 \times \sqrt 2 P C = 2 P C .$$ 12.解：(1)证明：如图，连接 BD D C E F A B 案5.重点题型专题④， 相似三角形中比例式和等积式的证明 类型1三点定型法 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC 若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，对四 于点E,AF⊥CD于点F,连接EF,AC.求证： 条线段进行梳理，利用三点定型法确定出两个三角形， (1)△ABE∽△ADF; 通过证明这两个三角形相似得到要证明的结果， (2)CD·EF=AC·AE. 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥ AB于点E.求证：BD·BC=BE·BA. 类型3等比（等积）代换法 当比例式或等积式无法通过三角形相似得到时，可以证 类型2等线段代换法 明两对三角形相似，得到成比例线段，再利用等比例或 当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形 等积代换得到结果。 时，可以通过证明三角形相似得到成比例线段，再利用 4.(2024·合肥包河区期末)如图，已知在△ABC中， 相等线段代换得到结果： 点D在边BC上，∠ADE=∠ABC,∠EAF= 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与 ∠FDC,DE与AC交于点F. AB BD交于点E,∠ADB=∠ACB.求证：AE AB AD (1)求证：AC=AE AC (2)连接BF,如果AB2=AF·AC,求证： AD AD·BC=AE·BF. E 第二十七章相似33 教材变式专题⑤三角形内接矩形问题 (教材P58复习题T11变式)如图1，有一块三角形材 (2)如图3，如果原题中所要加工的零件只是一个 料ABC,它的边BC=10m,高AD=6m.要把 矩形，那么此矩形零件的相邻两边长就不能确 它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 定，但它的面积有最大值，求这个矩形零件的最 上，其余两个顶点分别在AB,AC上，AD交PN 大面积以及此时它相邻两边的长. 于点E,则加工成的正方形零件的边长为多少？ 小颖解得此题的答案为3.75m.请你写出小颖的 求解过程. 图3 图1 小颖善于反思，她又提出了如下的问题： (1)如图2，如果原题中所要加工的零件是一个矩 形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，那 么此时这个矩形零件的相邻两边的长分别为 多少？ DMC 图2 ·方法总结由三角形的内接矩形（包含正方形）的 一边平行于三角形的一边，从而得到相似三角形.解 题时，通常作出原三角形中与矩形一边垂直的高，再利 用相似三角形的高的性质得到比例式，进而列方程 求解 34一本·初中数学9年级下册RJ版