第27章 培优专题14：滚动提升—圆中的相似三角形&培优专题15：滚动提升—反比例函数图象上的相似三角形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

培优专题14：滚动提升 1.（盐城中考)如图，点C在以AB为直径的⊙O 上，过点C作⊙O的切线l,过点A作ADI L,垂足为D,连接AC,BC (1)求证：△ABC△ACD, (2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径. 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD为 ⊙O的直径，DE为⊙O的切线，AE交⊙O 于点F,∠C=∠E. (1)求证：AB=AF. (②)若AB=5,AD-5,求线段DE的长 第二十七章相似☑ 圆中的相似三角形 数 学 3.[推理能力]（新疆中考）如图，在⊙O中，AB 素 养 是⊙O的直径，弦CD交AB于点E, AD-BD. (1)求证：△ACD∽△ECB, (2)若AC=3,BC=1,求CE的长， 抽象能 运算 0 D 儿何直观· 空 间观念 推理 能力 数据观 4.[推理能力]（百色中考）如图，已知AC,AD 是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B,C两 型 点，AD过圆心O且与⊙O交于E,D两点， OB平分∠AOC. 应 (1)求证：△ACD△ABO. 用 意 (2)过点E的切线交AC于点F,若EFOC, 创 OC=3,求EF的长 新 识 F B 做神龙题得好成绩57 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 培优专题15：滚动提升一反比例函数图象上的相似三角形 * 1.如图，点A在双曲线y子上，点B在双曲线 3.如图，反比例函数y=么与y2在第一象限 y=飞（≠0）上，ABz轴，过点A作AD1 内的图象依次是m和n,设点P在图象m 上，PC⊥x轴于点C,交图象n于点A,PD⊥ 抽象能力 x轴于点D,连接OB,与AD相交于点C,若 y轴于点D,交图象n于点B,四边形PAOB AC=2CD,求k的值， 的面积为6. 运算能力 (1)求k的值. (2)连接AB,DC,判断△PAB与△PCD是 否相似，并说明理由。 几何直观·空间观念·推理能力·数据观念 ·模型观 2.如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数 y=2和y=-5的图象上，且边长为7，求 应用意识 菱形ABCD的面积. 创新意识 58做神龙题得好成绩7.解：(1) ÷品品-号0日△c0G的面积=15× 1 =5. A E B 13.解：(1)如图所示，△A1BC1即为所求.(2)如图所示， (2)等腰直角 △A2B2C2即为所求.(3)P(0,0) 8.B9.D10.4√2π 11.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求」 (2)四边形AA'CC的周长=4十6√2， 34561 B BO C 12.解：(1)四边形GHIJ是正方形.证明：，GJ⊥OA,GH⊥ 培优专题10：解决位似变换问题的规律技巧 GJ,HI⊥OA,.∠GJO=∠JGH=∠JIH=90°，.四边 形GHIJ是矩形.，四边形CDEF是正方形，CD边与矩 1.B2.(-1,2)或1，-2)3(-2，号)4 形GHIJ的IJ边在同一条直线上，.FC∥HI,EF∥ 5.(2m,2n)或(-2m,-2n)6.(-2,0)7.(3,4)或(0,4) OF FC GH,△FOCO△HOI,△EFOn△GHO,OH-, 8.(1347,0)[解析]，A2(-1,0),A(1,0),Ag(3,0), A1(5,0),…,.A3m-1(2m-3,0).2024=3X675-1, OF EF.FC EF OiGn心m=GCm又：FC=EF,·HI=GH, .A2024的坐标为(1347,0). ∴.四边形GHIJ是正方形.(2)如图，正方形MNGH即 培优专题11：黄金分割 为所求 1.55-5 2.A[解析]，∠B=∠C=36°，.AB=AC,∠BAC=108°. DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,∴.DB=DA,EA= EC,·∠B=∠BAD=∠C=∠CAE=36°，∴.△BDA △BAC,:BD-BA BA-BC.又：∠ADC=∠B+∠BAD=72, ∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°，∴.∠ADC=∠DAC, 第2课时坐标系中的位似图形 ..CD=CA=BA,.BD BC-CD=BC-BA, 1.B2.C3.184.(4,6)或(-4，-6) 器求和股，可船器， BA BC 2 5.解：(1)图略(2a,2b)(2)12 故A错误；：∠BAC=108°，∠B=∠BAD=∠C 6.C7.D ∠CAE=36°，∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE= 82,1或(-2，-1）9(-5，-1)10.（停，-4 36°，即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，∴.AD,AE将 11.y=8 ∠BAC三等分，故B正确；∠BAE=∠BAD+∠DAE x =72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，∴.∠BAE= 12.5[解析]如图，连接BG.,'□ABCD和□EBFG是以点 I∠B=∠C B为位似中心的位似图形，点D,G,B在同一条直线 ∠CAD.在△ABE和△ACD中，AB=AC 上，FGCD.四边形ABCD是平行四边形，面积为30， ∠BAE=∠CAD ∴.△CDB的面积为15.，FG∥CD,.△BFG∽△BCD, ∴.△ABE≌△ACD(ASA),故C正确；由△ABE≌△ACD ·18·同行学案学练测 可得SAABE=S△ACD,即S△BAD十S△ADE=SACAE十S△ADE, 培优专题13：求比值及证明比例式 ∴SABAD=SACAE.又：DH垂直平分AB,EG垂直平分 或等积式的技巧 AC,SAm=号S60,Sm=号m 1解，如图，过点F作FE/BD,交AC于点E,则瓷-AE SAcr,故D正确. 3.25+24.C A:BF-1:2铝-方ξ-3，即FE 5.解：(1)根据第一步折叠可知，四边形MNCB是正方形，设 BC.BC CD-21CD-BC.FE/BD, 正方形边长为x,根据第二步可知，AC=号x,在△ACB 1 E八FE3BC 2 中，根据勾股定理，得AB=VAC+BC-5 x根据第 NDCD BC ,即FN:ND=2:3. 三步可知.AD-AB-号CD-AD-AC-5 2x, -5矩形DE是黄金矩形(2D …BC c+m-+器6 x一 2 2.证明：(1)：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC= ∠C=∠BAC=60°.在△ABD和△BCE中， 5,1,∴矩形MNDE是黄金矩形，. (AB-BC 培优专题12：与相似三角形有关的热点、 ∠ABC=∠C,.∴.△ABD≌△BCE(SAS) BD-CE 难点问题探究 (2),∠ABC=∠BAC,∴.∠ABE+∠CBE=∠BAF+ 1.1[解析]方法1：如图，过点P作PDLB,C于点D.由题 ∠EAF.,△ABD≌△BCE,∴.∠CBE=∠BAF, 意，得△PCB1是等边三角形，设△PCB1的边长是2a,则 ∴∠ABE=∠EAF.'∠AEF=∠BEA,.△ABED BD=CD=a,PD-5a.Sm,c=5,∴2×2aX5a △FAE能-AE=EF,E =√3，解得a=1,.B1C=2,∴.BB1=3-2=1. 3.证明：，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，.∠BGC =∠ADC=90°.又：∠C=∠C,∴.△ADC∽△BGC, 器脚瓷-是又：∠C=∠c,△GC☑ BB D CC △BAC.-即0G·AB=CB·DG 方法2：易知△PCB∽△ACB,且Sa-9Y 4· :S△PB1C 4.证明：(1)：EC∥AB,∴.∠EDA=∠DAB.∠EDA= B C ∠ABF,∴.∠DAB=∠ABF,∴.AD∥BC.:DC∥AB, =3,Sam,e1Sam=4:9,∴BC=2:3,则B,C= .四边形ABCD是平行四边形.(2)，EC∥AB, 2,.BB1=1. △0ABn△0ED÷8t-8 AD/∴△0BFU 2号 [解析]∠ABC=90°，AB=8,BC=6,∴.AC= △0DA8%8器8280A=0E.0 √AB2+BC=√82+6=10.，DE∥BC,∴.△ADE∽ 培优专题14：滚动提升一圆中的 △ABC,小品-怎：将△ADE绕A点顺时针旋转到 相似三角形 图②的位置，.∠DAB=∠EAC,△ADB∽△AEC, 1.(1)证明：如图，连接OC.,1是⊙0的切线，.OC⊥1. .BD AB 8 4 …CE=AC-105 AD⊥L,.OC∥AD,∠CAD=∠ACO=∠CAB. ∠D=∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACD.(2)解： 3.B4.7.55.1:36.D7.6 AC=5,CD=4,∠ADC=90°，.AD=√AC2-CD2= &:△ABC0△ACD,是-S=号，AB= 4.(1)证明：：OB平分∠A0C,·∠B0E=?∠A0C 00的半径为票 25 OC=OD,∴∠D=∠OCD..∠AOC=∠D+∠OCD, ∠D=号∠A0C,∠D=∠0E,且∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABO.(2)解：：EF切⊙O于点E, ∴∠OEF=90°.，EF∥OC,∴.∠DOC=∠OEF=90°. OC=OD=3,.CD=√OC2+OD=32.△ACD 2.(1)证明：如图，连接BF,则∠AFB=∠C.:∠C=∠E, ∴∠AFB=∠E,∴.BFDE.:DE为⊙O的切线，AD为 △A0,8-品+98 3 2,AE=32. ⊙O的直径，AD⊥DE,∴.AD⊥BF,AD平分BF, 即c5股…gF-6 A000, ∴AB=AF.(2)解：如图，连接BD,则∠C=∠ADB. 3√2. :∠C=∠E,∴∠ADB=∠E.AD为⊙O的直径， ∠ABD=90°，.∠ABD=∠ADE,.△ABD 培优专题15：滚动提升一反比例函数 △ADE,8-是AB=5AD-要AE= 图象上的相似三角形 16在 R△ADE中，DE=VAB-AD-得线段DE的长 1解：设点A的坐标为。，)，则点B的坐标为（偿，兰） AB,/z轴，△ACBn△DC0.:AC=2CD,:AS DO 75 为6 AC DC=2.OD=a,AB=2a,点B的横坐标是3a, 3a空，解得k=6 2.解：连接AC,BD,过点B作BM⊥y轴于点M,过点C作 CN⊥y轴于点N,如图所示，则有∠BMO=∠ONC=90°， ∴.∠MBO+∠MOB=90°.在菱形ABCD中，AC⊥BD. 3.(I)证明：：AD=BD,∠ACD=∠BCE.:∠ADC= “菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=兰和y ∠EBC,∴.△ACD∽△ECB.(2)解：如图，过点B作BH ⊥CD于点H.,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=∠ADB= 的图象上，∴A与C,B与D关于原点对称，一AC, x 90°.在Rt△ACB中，AB=√BC2+AC=√12+32= BD经过点O,.∠BOC=90°，.∠MOB+∠NOC=90°， √/1O.∠ACD=∠BCD=45°，∴.∠ABD=∠BAD= .∠NOC=∠MBO,.△BOM∽△OCN,.S△M· 45,△ABD为等膜直角三角形，BD-号AB-竖× SAOCN OB OC “点B,C分别在反比例函数y=是和) 2 √10=√5.在Rt△BCH中，∠BCH=45°，∴.CH=BH x 的图象上，∴.S△0M:S△ocw=2:5,∴.OB:OC= -号c-号 .在Rt△BDH中，DH=√BD-BH= √2：√5.设OB=√2x,OC=√5x,,菱形边长为√7，根据 勾股定理，得2x2+5x2=7,解得x=1,.OB=√2，OC= √5-(-2cD-cH+DH-号+9 2 厅，BD=22,AC=25,∴菱形ABCD的面积为2× 2√2.△ACD∽△ECB,.CA:CE=CD:CB,即3： 2√2×2W5=2√/10， CB=22:1,解得cE-3即CE的长为3号 0 3.解：(1)如图，连接OP.,四边形PDOC是矩形，∴.SAOCP= Sam=令，∠0CA=∠0DB=∠CPD=90:点A在双 -层，C-2子-任解得-9或 曲线)=2上，So0e=Sm=分×2=1，Se =-2(合去).0B=号∴BE=0B-0E-9-2 6+1+1=8,.k=8.(2)△PAB与△PCD相似.理由如 下：如图，：SA0CP=SA0P,SA04Ac=S△OBD,.S△O4P= m3.PB PC-3, 专PAPm=pm·C=PA,m器隐 又，∠APB=∠CPD,∴.△PAB∽△PCD. 11.解：，四边形ABCD为菱形，AB=2,∠DAB=60°，.AB =BC-CD=2.ZDCB-60.CE-CD,CF- 号CB,CE=CF=号，△CEF为等边三角形，易求 章末复习 SAc Γ9 1.C2.C3.B4.B 12.(1)证明：，DE是BC垂直平分线，BD=CD, 5.解：如图，作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.,四 边形ABCD是正方形，.AB∥CD.,FN∥AD,.四边形 .∠DBC=∠DCB.AE=AC,∴.∠AEC=∠ACB, ANFD是平行四边形.：∠D=90°，∴.四边形ANFD是 △ABCn△FCE.(2)解：△ABCD△FCE,AE】 矩形.AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB= CD=FN=4a,AN=DF =2a.AN BN,MN //AE, CE BCAC=2FE.AC-AE,.AE -2FE, 1 BM=ME,∴MN=号a,iPM=号a.AE∥FM, .EF=AF,∴.S△AC=SAcE,S△ADF=SAED.,BC=6, 5 DE=2,SAr=3Sae=3X2×3X2=9.△rCE a △ABc-(院)-（侣}-sm 1 X9= 9 4 4 13.7 6.B7.D 14.解：，CD⊥BH,EF⊥BH,AB⊥BH,∴.CD∥EF∥AB, 8.证明：(1)：CE⊥AD,∴∠CED=∠ACB=90°.∠CDE AFFHAABH,-ACIG.器器8器 =∠ADC,∴.△CDEp△ADC,.CD:AD=DE:DC, ∴CD=DE·AD.(2)D是BC的中点，.BD=CD. CD=E,小瓷-品DF=2米，FH= DG ,CD2=DE·AD,.BD2=DE·AD,.BD:AD= 4米，CD=DG=EF=2米，BD+2=BD+52+4' 2 4 DE:BD.又∠ADB=∠BDE,.△BDE∽△ADB, ∴.∠BED=∠ABC. 9.C BD-2米品2异2AB=5米，即建筑物的 10.B[解析]如图，连接OD.:AB切⊙O于点D,.OD⊥ 高为54米. AB,∠ODB=∠ACB=90°.∠B=∠B,△BOD∽ 15.1816.5 △BAC,92-设设0B=,则BD=O8-0D 17.解：(1)点P的位置如图所示，P(-5,一1)，B1(3,-5). 同行学案学练测·19·