专题9 相似模型—一线三等角模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

专题⑨相似模型 、模型展示 (1)同侧型 图形 (2)异侧型 特征∠1=∠2=∠3 ①△ABCC∽△CDE; 结论 ②AB·DE=BC·CD 特例 B 当C为BD的中点时，△ABC∽△CDE∽ △ACE 1.如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别 在边BC,AB上，∠ADE=60°.若BD= 4DC,DE=2.4,则AD的长为( A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 D E E B 第1题图 第2题图 2.(2025·陕西)如图，正方形ABCD的边长为 4,E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥ EC,则△CEF的面积为 () A.10 B.8 C.5 D.4 3.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课 上，某名同学进行了如下操作： 12 一本·初中数学9年级下册RJ版 一线三等角模型 第一步：将矩形纸片的一端，利用图1所示 的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸 片展平； 第二步：将图1中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F处，得到折痕MN,如图2 所示 根据以上的操作，若AB=8,AD=12,则 线段BM的长是 】 图1 图2 A.3 B./5 C.2 D.1 4.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别 是边AB,BC上的动点，且BD=2CE.以 DE为边作等边三角形DEF,使点A与点 F在直线DE同侧，DF交AC于点G,EF 交AC于点H.有下面四个结论： ①∠BED=∠AHF;②AD·DF=BE· DG;③若ED⊥AB,则DF⊥AC;④若 CE:BE=1:2,则四边形DBEF是菱形 其中正确结论的序号是 G D H E 第4题图 第5题图 5.(-题多解)如图，在□ABCD中，∠A=90°， E是边AD上的动点，连接BE,过点E作 EF⊥BE交边CD于点F,连接BF.若 AB=6,BC=8,则BF的长度的最小值 是 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边 上的一点，E为AC边上的一点，且 ∠ADE=∠B (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)若AC=8,BC=6,CE=1,求BD 的长 7.已知△ABC是等边三角形，D,E分别是 AB,AC上的点，将△ADE沿着DE折叠 得到△FDE,点F落在边BC上 (1)如图1，当DF⊥BC时，求∠ADE的 度数； (2)如图2，当BF：CF=1:4,AB=5时， 求AE的长 图1 图2 8.[证明体验] (1)如图1，在四边形ABCD中，P为AB 上的一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求 证：AD·BC=AP·BP. [思考探究] (2)如图2，在四边形ABFC中，D是AB 边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°.若 AC=9,BF=8,求线段CF的长. [拓展延伸] (3)如图3，在△ABC中，AB=4√2，∠B= 45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形 ADE,∠DAE=90°，点D在BC上，点E 在AC上.若CE=2√5，求CD的长. A P B B 图1 图2 B D 图3 第二十七章相似13∠A=∠A,.△ACD∽△AHC, 是器院，号 :AC=2√/2I, .AD-AC-2.AH-/TAC- .HD=AH-AD=12√3，即43n=12√3， 解得n=3,∴.BE=√7n=3√7】 解法2：如图，取BD的中点M,连接CM,EM. M ,E为CD的中点， .EM是△BCD的中位线，∴.EM∥CB. :∠CDB=∠CBD=30°， ∴.CD=CB,∠EMD=∠CBD=30°， .CM⊥BD,∠ADC=∠BME=180°-30°=150°. :∠ACD=∠EBD, AC CD △ACD∽△EBM,EB-BM ∠CMB=90°，∠CBM=30°， .'CD=CB=2CM. 设CM=x,则CD=CB=2x, ∴.BM=√CB2-CM=√3x, 品器后后 ·BEB AC=-3v7. 专题9相似模型 线三等角模型 1c2c3.040@059 6.解：(1)证明：AB=AC,∠B=∠C. :∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE, ∠ADE=∠B, ∴.∠BAD=∠CDE,∴.△ABDD△DCE (2)2或4 7.解：(1)△ABC是等边三角形，∴∠B=60°. DF⊥BC,∴.∠DFB=90°， ∴.∠ADF=∠B+∠DFB=150°. 由折叠的性质，得∠ADE=∠ADF=75S (2)△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C, AB=AC=BC=5. .BF CF=1:4,..BF=1,CF=4. 由折叠的性质，得∠DFE=∠A=∠B,AD=DF, AE=EF. I∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠BDF+∠B, ∴.∠EFC=∠BDF. ·答多 ,∠B=∠C,∴△BFD∽△CEF, 8E-E-80 设AE=EF=x,则CE=5-x, 写阳-即B0=4m克 4 .AB=AD+BD=DF+BD, 7 经检脸，2-子是原分或方程的解，AE- 7 8.解：(1)证明：：∠DPC=∠A=∠B=90°， ,∴.∠APD+∠BPC=90°，∠ADP+∠APD=90°， ∴.∠BPC=∠ADP. ∠A=∠B=90°，∴.△ADP∽△BPC, .AD AP 六BP=BCAD·BC=AP·BP. (2)5(3)10 专题10相似模型一手拉手旋转模型 1.B2.c3.C 4.解：(1)①1②40° (2):∠COD=∠AOB=90°， '.∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD, ∴.∠AOC=∠BOD. 又品 =3,∴.△AOC∽△BOD, 6 =3,∠CAO=∠DBO. ∠APM=∠BPO, .∠AMB=180°-∠CAO-∠APM=180°- ∠DBO-∠BPO=∠AOB=90° 5.解：如图，连接AC. D B E 四边形ABCD是矩形，∴∠B=90 设AE=a,则AF=√J3a! .∠AEF=90°，∴.EF=√AF2-AE2=√2a, 脂-得-2器提 .BC AB ∠B=∠AEF=90°，∴△ABC∽△AEF, ÷AeAS∠BAC-∠BA ÷记沿∠BAE-∠CM. .BE AB △ABEn△ACF,CF=AC 设AB=b,BC=√2b,则AC=√5b, .cF_5b=3. BE=b 13·