专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知， ∴，∴， ∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设， ∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，， ∴，又∵，∴，， ∴，即，∴，∴． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 例2（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，，∴ ∵平分，∴，故A正确； ∵平分，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故B正确； ∵，∴，∴， 设，则，∴，∴，解得， ∴，∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，，∴ ∴，故D正确；故选：C． 例3（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，∴，∴ 又∵∴， （2）∵∴，又∴． 例4（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【答案】(1)见解析；(2)6． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知，，∴四边形是平行四边形， ∵是高．∴，∴四边形是菱形； （2）∵，是高．∴， ∵，∴，∴ ∴， 解得或（不合题意，舍去）∴， ∴,即菱形的边长为， ∵四边形是菱形 ∴， 设菱形的高为h，则，即，解得， 即菱形的高为．故答案为： 例5（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，．(1)证明：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：是等边三角形，，， ， ，，，，， 又，； （2）解：，， ，，． 例6（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．    例7（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【答案】(1)，(2)①相似，见解析；；②， 【详解】（1）解：如图： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）①如图：是等腰直角三角形，，，， ，，即， ，，∴，； ②过作交的延长线于，如图： 设．， 而，是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去），． 例8（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）选①证明：，，， ，，，； 选②证明：，，， ，，，； 选③证明：，，， ，， ，，； （2）是直角三角形；理由如下： ，，， ，，，，， ，，， ，，，是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下：是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于，， ，，，， ，，，，，， ，，， ，，， ，，，，解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知：，为的角平分线，∴，故①正确， ∴，∴，∵， ∴，∴，∴，故②正确， ∵，，∴，∴，即， 整理得：，∴， ∵，∴，故③错误，如图，过点作于，于， ∵，∴，∴， ∵，∴，整理得：，解得：， ∴（负值舍去），即，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②④，共个，故选：C． 2．（2024·安徽宿州·一模）如图，若△ABC内一点P，满足，①若，则必有；②若，则必有PC对于这两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②均对 D．①，②均错 【答案】C 【详解】解：若∠BAC＝90°，∴∠BAP＋∠PAC＝90°，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α， ∴∠PAC＋∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°故①对， 若AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α， ∴∠ABP＝∠BCP，且∠BAP＝∠PBC，∴△ABP∽△BCP ∴，即 PC故②对，故选：C． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，交于，作平分，交于， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，则，∴，解得，，故选：． 4．（24-25·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∵，，∴ 又∴∴∴，故B正确，不符合题意； 中，，中，， ∴，故D正确，不符合题意． ∵，∴∴ ∵，故C错误，符合题意；故选：C 5．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知：，为的角平分线，∴，故①正确， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确， ∵，，∴，∴，即， 整理得：，∴，∵，∴，故③错误， 如图，过点作于，于， ∵，∴，∴， ∵，∴，整理得：，解得：， ∴（负值舍去），即，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②④，共个，故选：C． 6．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______． 【答案】     5     2 【详解】解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M， ∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=MC=BC=12，又∵tanC=∴tanB=∴AM=BMtanB=12×=5， 根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5；∴AB=AC==13， 如图2，过点A作AN⊥BC，在Rt△APN中，PN=PC-CN=1， 又AN=5，∴AP2=PN2+AN2=26，在△APQ与△ACP中， ∵∠APQ=∠C，∠PAQ=∠CAP，∴△APQ∽△ACP， ∴∴AP2=AQAC，∴AQ=2 故答案为：5；2． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【详解】解：①，而，∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由，得，又∵，∴，故③正确， ④由，得到，不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误，故答案为：①③． 8．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形为菱形，为对角线，． ，． 又，． 9．（2024·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，点为上一点，且满足. (1)求证：；(2)当，时，求的长.    【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴． （2）解：∵，∴， ∵，，∴，解得：，∴． 10．（2023·湖北·校考一模）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：；          （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且，，，求DE的长；（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，，，．请直按写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的值为 【详解】（1）证明：在与中， ，，，，； （2）如图：延长与的延长线相交于点，       ，，， 在中，，，， 在与中，，，，， 点是边上的中点，，在与中， ，，，， ，，，， ，即，，； （3）如图3，设正方形边长，则， ，，设交于，设，，， 是等腰直角三角形，，，，， ，，即，， 又，，，， 又，，， ，， 解得：，此时，舍去； ，． 11．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析；；． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下：，，设，，， 是的外角，， ，，在中，， ，解得：， 且，，和均为黄多三角形； ，，，， ，，，， 解得：或(不符合题意，舍去)，的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，，是的外角，， ，，，， ， ． 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，作交边于点，点是边上一点，且满足，连接． (1)求证：；(2)点是边的中点，连接并延长交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图，设交于点，∵∴ 又∵∴∴ 又∵∴即 ∵∴∴ ∵∴∴∴； （2）如图，延长 到，使，连接 ∵是的中点，∴，又，∴， ∴，，由（1）可得，∴ ∵∴∴∴ ∵∴∴∴ ∴ 即. 13．（24-25·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交、于点，．(1)求证：∽；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明： 为边上的高，，， ，，． 平分，， 在和中，， ∽． （2）如图，这点作交于点，    在中，根据勾股定理得：， ，．，， 是的平分线，，，． 在和中，，∽．． 设，则， ，解得．． ∽，．． 14．（2025·广东·一模）【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或． 【详解】解：（1）选择①，是真命题． 证明：∵为等腰直角，∴，， 又∵，∴，∴， ∵，∴．②③都是真命题．同理可证②，③． （2）如图②，∵，，∴， ∴，，∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴， 设，则，，代入得：，解得：，∴． （3）或或． 解：（Ⅰ）如图③，当点D在线段上时， ∵，∴∵∴∴ ∵∴，∴，即， 所以设，，，∵， ∴为等腰三角形时，只有这种情况， 即，解得：∴ （Ⅱ）如图④，当点D在线段延长线上时， 同（Ⅰ）可证，∴，即， 所以设，，， ∴（i）若时，即有，解得：，∴ （ii）若时，， 同（Ⅰ）可证：，即有， 解得：，由得：，解得：∴ （iii）若时，即O在线段的中垂线上，又因为O已在的中垂线上，，所以矛盾，不存在这种情形．综上：或或． 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，．(1)求证：；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵是的中点，，， 又，， ，，，； （2）如图，连接， ∵是的中点，，， ，，，由（1）知，， ，，， ∵是的中点，，，． 16．（24-25·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：(1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）∵是等边三角形，∴， ∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴，即． 17．（24-25广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）6． 【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°． ∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6． 18．（24-25浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2     B．     C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C （2）是的角平分线，，，． 又，与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，．综上所述，或3 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 例2（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 例3（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    例4（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 例5（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，．(1)证明：；(2)求的度数． 例6（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          例7（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 例8（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·安徽宿州·一模）如图，若△ABC内一点P，满足，①若，则必有；②若，则必有PC对于这两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②均对 D．①，②均错 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(    ) A． B． C． D． 4．（24-25·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 8．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 9．（2024·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，点为上一点，且满足. (1)求证：；(2)当，时，求的长.    10．（2023·湖北·校考一模）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：； （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且，，，求DE的长；（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，，，．请直按写出的值．          11．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，作交边于点，点是边上一点，且满足，连接．(1)求证：；(2)点是边的中点，连接并延长交边于点，求证：． 13．（24-25·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交、于点，．(1)求证：∽；(2)若，，求的面积．    14．（2025·广东·一模）【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，．(1)求证：；(2)若，求证：． 16．（24-25·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：(1)；(2)． 17．（24-25广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 18．（24-25浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2     B．     C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $