第27章 相似章末复习（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

章末复习 4知识体系构建 定义 相似多边形 性质定理一 对应角① ,对应边② 平行线分线 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 对应线段成比例 定义 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似 判定定理 三边3 两边成比例且④ 相等 相 相似三角形 两角分别⑤ 似 对应角相等，对应边成比例 性质定理 对应线段（高、中线、角平分线）的比等于⑥ 周长比等于⑦ 面积比等于8 应用 利用影长、标杆、镜子等测量物体的高度 位似多边形。 定义 性质 图形的位似 画位似图形 平面直角坐标系(a,b 以原点为位似中心 中的位似变换 k为相似比 (ka,kb)或（-ka,-kb) ←高频考点精练· 考点1比例线段 7,DF=21,则EF= 1.【新情境·生活情境】(2025· 河北)“这么近，那么美，周末 到河北”.嘉嘉周末到弘济桥 a 游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了 解其长度，在化石旁放了一支笔拍下了如图所 示的照片.回家后量出照片上笔和化石的长度 第2题图 第3题图 分别为7cm和4cm,笔的实际长度为14cm, 考点3相似三角形的判定和性质 则该化石的实际长度为 ( 3.(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥ A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N. 考点2平行线分线段成比例 若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽ 2.(2025·合肥四十二中期中)如图，已知直线a∥b∥ △DCN,则这个条件是 () c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直 A.∠B+∠4=180°B.CD∥AB 线n分别交直线Q,b,c于点D,E,F.若仁三 C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 第二十七章相似33 4.如图，AB与CD交于点O,且AC∥BD.若 OA+OC+AC 1 B十OD十BD2则AoaC的值为 ，() S△OBD A.2 B. 1 C.4 D. 第8题图 第9题图 9.【一题多解】(2025·连云港)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB, B ELAD,.交AD的延长线于点E,则P的值 第4题图 第5题图 为 ( ) 5.(2025·安庆期末)如图，D是△ABC内一点，点 A.2√3 99 9 D83 3 3 E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点 10.(2025·合肥庐阳区模拟)如 0,分别连接AD,AE,CE,告0-A-D, 图，在菱形ABCD中，E是 则下列结论一定正确的是 ( 边CD的中点，F是线段 A.CE∥AD B.BD-AD BE的中点，AF的延长线 C.∠ABE=∠CBED.∠BAD=∠CAE 交边BC于点H,连接DF,CF 6.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形， (D) AF 且被一矩形所截，AB被截成三等份，且EH∥ H BC,则图中阴影部分的面积为 () (2)若CF⊥DF,则 H A.4 cm2 B.5 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC,P为△ABC内部一点，且∠APB= ∠BPC=135°.求证： (1)△PAB∽△PBC; (2)PA=2PC. 第6题图 第7题图 7.【一题多解】如图，在矩形ABCD中，F是DC 上的一点，BF⊥AC,垂足为E,AB=2AD= 4,则CF的长是 A号 c D.1 8.(2025·合肥四十五中一模)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，D为边AB的中点，DE⊥AB交 12.(2025·安庆模拟)如图，AB是⊙O的直径，BC AC于点F,交BC的延长线于点E.若DF=4, 是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D,点E FE=5,则CD的长为 () 在⊙O上，BD=DE,连接BE交AC于点F, A.25 B.3√3 C.4√2 D.6 连接AE. 34一本·初中数学9年级下册RJ版 (1)求证：BC=BF; 考点4相似三角形的应用 (2)若EF=2,BC=6,求⊙O的半径 14.(2025·内江)阿基米德曾说过：“给我一个支点， 我能撬动整个地球”这句话生动体现了杠杆 原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小 的力就能撬动重物这一原理在生活中随处可 见.用杠杆撬石头的示意图如图1所示，当用 力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2，动 力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD= 20cm,则AC的长度是 () 13.(一题多问)如图1，在正方形ABCD中，E是边 BC上的点，EF⊥AE交CD于点F,AB=4. 图1 图2 (1)求证：△ABE∽△ECF. A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm (2)如图2，连接AF,若E是BC的中点，求 15.如图，一条河流的两岸互相平 北岸 证：△AEFp△ABE. 行，沿南岸有一排大树，每两 (3)如图3，连接AC交EF于点O,CG⊥AC 在金在至 棵树之间的距离为4m,沿北 南岸 交EF的延长线于点G,连接AG交CD于 岸有一排电线杆，每两根电线 P 点H. 杆之间的距离为80m.一同学站在距南 ①求证：△AEC∽△GFC; 岸9m的点P处向北岸望去，北岸相邻的两 ②当E是BC的中点时，求FH的长度， 根电线杆正好被南岸的5棵树遮挡住，那么这 条河流的宽度是 m. 考点5图形的位似 16.如图，已知O是坐标原点，B,C两点的坐标分 ☒2 图3 别为(3，一1)，(2,1).以点O为位似中心，在y 轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍，点B, C的对应点分别为点B',C (1)画出放大后的△OB'C'; (2)分别写出点B,C的对应点B',C'的坐标； (3)如果△OBC的内部有一点M,其坐标为 (x,y),直接写出点M在△OB'C'的内部的 对应点M'的坐标 第二十七章相似358.A9.A10.√/13 11.解：(1)证明：BD=BE, ∴∠BDE=∠BED. :∠BDE+∠ADC=180°=∠BED+∠BEC, ∴.∠BEC=∠CDA. :∠ACB=∠BED,∠BED=∠EBC+∠BCI ∠ACB=∠ACD+∠BCE, ∴.∠EBC=∠DCA,∴△BEC∽△CDA. (2)35-3 2 12.证明：(1)△ABC是等腰直角三角形， .∠B=45°， ∴.∠BME+∠MEB=135°. :△DEF是等腰直角三角形， ∴.∠DEF=45°， ∴.∠NEC+∠MEB=135°， ∴.∠BME=∠NEC. 又，∠B=∠C=45°， ∴.△BEM∽△CNE. (2)与(1)同理，得△BEM∽△CNE, BE ME CN EN EC ME,EC CN BE-EC,CN-EN'ME EN' 又·'∠ECN=∠MEN=45°， ∴.△ECN∽△MEN. 27.2.2相似三角形的性质 9 1.B2.1:33.84.25.B6.D 7.8cm,10cm8.D9.B10.211.54 12.A【变式】C13.B14.1:9 15.(1)2(2)6 16.乙木匠的加工方法符合要求 27.2.3相似三角形应用举例 24 1.B2.3米3.B4.120米5.C6.7m 7.(1)5.8米(2)AB= -20g米 27.3位似 第1课时位似图形及画法 1.D2.D3.B4.C5.D6.B 7.略8.25或159.B10.4√2π 11.解：(1)点0如图所示. (2)△ABC与△A'BC的相似比为1：2. (3)△AB1C1如图所示，S△Aa,c=25. 、ODOE 12.证明：△DE0与△AB0位似OAOB, OE OF :△OEF与△OBC位似，OB-OC, ÷8贺800.00=0F.0a 13.AB=8,AD=4 第2课时平面直角坐标系中的位似变化 1.D2.B【变式】A3.A4.C5.(6,4) 6.(1)略(2)略(3)(2a,-2b) 7.(-1,2)或(1，-2)8.(1,0)或(-5，-2) 9.010(-3，-2》12号 12.(-9,-2)或(3,2)13.y=-3x2+1 14(←10，) 数学活动一制作视力表 解[任务会-会理南如下： PD1∥P2D2,∴△P1DOn△P2D2O, 品88瞻会 任各2]号-2且6，=1.6cm,6:=1cm, 40cm, ，=25m ∴.②号“E”的测量距离l2为25cm. [任务3]由题意，得A'B'∥MN,CE⊥MN, △CMNACAR,80 由题意，得CE=5m,DE=3m,A'B'=AB=0.8m, 2MN CD=2m5=0.8 解得MN=0.32(m), ∴.镜长(MN)至少为0.32m. 章末复习 ①相等②成比例③成比例④夹角 ⑤相等⑥相似比⑦相似比⑧相似比的平方 1.C2.123.D4.C5.D6.C7.D8.D9.A 10.号 1 (2)2 11.证明：(1)：∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠ABC=45°，即∠PBA+∠PBC=45°. .∠APB=135°， ∴.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=45°， ∴∠PAB=∠PBC 又∠APB=∠BPC=135°， 答案3· .△PAB∽△PBC (2)由题意，知△ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=√2BC 由(1)，知△PABC△PBC, 路腮肥 .PA=2PB,PB=√2PC, ∴.PA=√2X√2PC=2PC. 12.解：(1)证明：如图，连接BD, D :AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∴.∠DBF+∠BFD=90. BC是⊙O的切线，∴.∠ABC=90°， ∴.∠BAC+∠C=90°. :BD=DE,∴.∠BAC=∠DBF, ∴∠C=∠BFC,BC=BF. (2)由(1)，知∠ABC=90°. :AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°. :BD=DE,∴.∠BAC=∠EAF, △BACO△BAPA0-g-8 设AE=x,则AB=3x. .EF=2,BF=BC=6, ∴.BE=BF十EF=8. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=AE2十BE2 .(3x)2=x2十82，解得x=2√2或x=-2√2（不符 题意，舍去)， ,.AB=3x=3X2√2=6√2， AB ⊙0的半径为2=32. 13.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=∠C=90°， .∠BAE+∠BEA=90. EF⊥AE,∴.∠AEF=90°， ∴∠BEA+∠CEF=90°， ∴.∠BAE=∠CEF,.△ABE∽△ECF. (2)证明：由(1)，知△ABE∽△ECF, 设器 四边形ABCD是正方形，∴.BC=AB=4. E是BC的中点，∴BE=EC=2, 42 六2CF,解得CF=1. 在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=25, 在Rt△ECF中，EF=√EC+CF=√5， ,AEEF√5 AB-BE 2 又：∠AEF=∠B=90°， ∴.△AEF∽△ABE. (3)①证明：，EF⊥AE,CG⊥AC, .∠AEF=∠ACG=90°. :∠AOE=∠GOC,.∠EAC=∠FGC. 又：四边形ABCD是正方形， ∴.∠ACE=∠ACF=45°，.∠GCF=45°， ∴∠ACE=∠GCF,∴△AEC∽△GFC. 14.B15.36 16.解：(1)△OB'C如图所示. (2)B(-6,2),C(-4,-2) (3)M(-2x,-2y). 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时正弦 1.B2.D3.D4.30 10 5.(1)√13(2)33 13 6c度1加72得 8.c9.A10 1.15(2号 12.解：(1)B(2)0<sadA<2 (3)如图，过点C作CH⊥AB,垂足为H. 在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=a,sina= 令CH=3k,则AC=5k, .AH=/(5k)2-(3k)7=4k, ∴.BH=AB-AH=AC-AH=k, ∴.BC=√(3k)2十=√10k, ,∴.sada= BC-0k-√0 AC 5k 5 第2课时余弦和正切 1. 2.63.A4.B5.18 答案4·