专题08正方形（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题08正方形 【题型01 正方形性质理解】........................................4 【题型02 利用正方形的性质求角度】................................5 【题型03 由正方形的性质求线段长】................................6 【题型04 由正方形的性质求面积】..................................6 【题型05 正方形折叠问题】........................................7 【题型06 求正方形重叠部分面积】..................................8 【题型07 根据正方形的性质证明】..................................9 【题型08 正方形的判定定理理解】.................................10 【题型09 证明四边形是正方形】...................................11 【题型10 添一条件使四边形是正方形】.............................12 【题型11 由正方形的性质与判定证明】.............................13 【题型12 由正方形的性质与判定求角度】...........................14 【题型13 由正方形的性质与判定求线段长】.........................15 【题型14 由正方形的性质与判定求面积】...........................16 【题型15. 解答题5题】...........................................17 ➽知识梳理 知识点01:正方形的定义 1. 核心定义（教材标准） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 等价定义（辅助理解） 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。 既是矩形又是菱形的四边形。 知识点02:正方形的性质（★★★★★） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质，同时有自身独特性质。 1. 边的性质 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）。 对边互相平行（AB∥CD，AD∥BC）。 邻边互相垂直（AB⊥BC）。 2. 角的性质 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 3. 对角线的性质（核心） 对角线相等（AC=BD）。 对角线互相垂直平分（AC⊥BD，AO=OC，BO=OD）。 每条对角线平分一组对角（AC 平分∠BAD、∠BCD；BD 平分∠ABC、∠ADC）。 对角线与边的夹角为45°。 . 4. 对称性 轴对称图形：有4 条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线）。 中心对称图形：对角线交点是对称中心。 5. 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 6. 周长与面积公式 周长：C = 4a（a 为边长）。 面积：S = a² = d²（d 为对角线长）。 知识点03:正方形的判定（★★★★） 判定核心思路：先判定为矩形 / 菱形，再添加条件升级为正方形。 1. 从平行四边形出发（定义法） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∠A=90°，∴▱ABCD 是正方形。 2. 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AB=BC，∴矩形 ABCD 是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD，∴矩形 ABCD 是正方形。 3. 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵∠A=90°，∴菱形 ABCD 是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵AC=BD，∴菱形 ABCD 是正方形。 4. 从一般四边形出发（直接判定） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 知识点04:易错点提醒 1.混淆判定条件：矩形需邻边相等、菱形需直角，不可颠倒。 2.忽略对角线性质：正方形对角线既相等又垂直平分，缺一不可。 3.对称性应用：正方形有 4 条对称轴，解题时易漏解。 4.面积公式：用对角线计算时，勿忘除以 2（S=d²）。 【题型1.正方形性质理解】 【典例】有一个角是 的菱形是正方形，对角线 的菱形是正方形． 【跟踪专练1】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【跟踪专练2】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的小矩形和中间一个（阴影）小正方形组成……，若设图中小矩形的宽为，长为，阴影小正方形的面积为，则与之间的关系是 ． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【题型2.利用正方形的性质求角度】 【典例】在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【题型3.由正方形的性质求线段长】 【典例】一个正方形的周长是米，它的边长是 米． 【跟踪专练1】如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．   . 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【题型4.由正方形的性质求面积】 【典例】正方形的一条边长是4，那么它的面积是 ，对角线长是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为7，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．    【跟踪专练3】如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【题型5.正方形折叠问题】 【典例】如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【跟踪专练1】如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【跟踪专练2】把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为15，P为边上一点，．将正方形沿折叠，使点B落在点处，延长交于点Q，则的长为 ． 【题型6.求正方形重叠部分面积】 【典例】如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为 平方单位． 【跟踪专练1】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【跟踪专练3】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【题型7.根据正方形的性质证明】 【典例】如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知点P是正方形外一点，且，，则的最大值是 ． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ． 【题型8.正方形的判定定理理解】 【典例】有一组邻边相等的矩形是 ． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【跟踪专练2】如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【跟踪专练3】已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【题型9.证明四边形是正方形】 【典例】如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形 正方形（填“是”或“不是”）． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【跟踪专练2】如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 【跟踪专练3】如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 【题型10.添一条件使四边形是正方形】 【典例】如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【跟踪专练1】如图，已知，，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【跟踪专练3】有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【题型11.由正方形的性质与判定证明】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【跟踪专练2】如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ． 【跟踪专练3】如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【题型12.由正方形的性质与判定求角度】 【典例】在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 °． 【跟踪专练2】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3.】.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【题型13.由正方形的性质与判定求线段长】 【典例】命题“正方形的对角线互相垂直”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 【跟踪专练1】如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 【跟踪专练3】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【题型14.由正方形的性质与判定求面积】 【典例】一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，那么矩形的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【跟踪专练2】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 【跟踪专练3】如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，是正方形的一条对角线，点、分别在对角线、边上，连接、、，且，求的度数． 2．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 3．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 4．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    5．在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形 【题型01 正方形性质理解】........................................4 【题型02 利用正方形的性质求角度】................................6 【题型03 由正方形的性质求线段长】................................9 【题型04 由正方形的性质求面积】.................................12 【题型05 正方形折叠问题】.......................................16 【题型06 求正方形重叠部分面积】.................................19 【题型07 根据正方形的性质证明】.................................23 【题型08 正方形的判定定理理解】.................................26 【题型09 证明四边形是正方形】...................................28 【题型10 添一条件使四边形是正方形】.............................32 【题型11 由正方形的性质与判定证明】.............................35 【题型12 由正方形的性质与判定求角度】...........................40 【题型13 由正方形的性质与判定求线段长】.........................43 【题型14 由正方形的性质与判定求面积】...........................46 【题型15 解答题5题】...........................................50 ➽知识梳理 知识点01:正方形的定义 1. 核心定义（教材标准） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 等价定义（辅助理解） 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。 既是矩形又是菱形的四边形。 知识点02:正方形的性质（★★★★★） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质，同时有自身独特性质。 1. 边的性质 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）。 对边互相平行（AB∥CD，AD∥BC）。 邻边互相垂直（AB⊥BC）。 2. 角的性质 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 3. 对角线的性质（核心） 对角线相等（AC=BD）。 对角线互相垂直平分（AC⊥BD，AO=OC，BO=OD）。 每条对角线平分一组对角（AC 平分∠BAD、∠BCD；BD 平分∠ABC、∠ADC）。 对角线与边的夹角为45°。 . 4. 对称性 轴对称图形：有4 条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线）。 中心对称图形：对角线交点是对称中心。 5. 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 6. 周长与面积公式 周长：C = 4a（a 为边长）。 面积：S = a² = d²（d 为对角线长）。 知识点03:正方形的判定（★★★★） 判定核心思路：先判定为矩形 / 菱形，再添加条件升级为正方形。 1. 从平行四边形出发（定义法） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∠A=90°，∴▱ABCD 是正方形。 2. 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AB=BC，∴矩形 ABCD 是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD，∴矩形 ABCD 是正方形。 3. 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵∠A=90°，∴菱形 ABCD 是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵AC=BD，∴菱形 ABCD 是正方形。 4. 从一般四边形出发（直接判定） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 知识点04:易错点提醒 1.混淆判定条件：矩形需邻边相等、菱形需直角，不可颠倒。 2.忽略对角线性质：正方形对角线既相等又垂直平分，缺一不可。 3.对称性应用：正方形有 4 条对称轴，解题时易漏解。 4.面积公式：用对角线计算时，勿忘除以 2（S=d²）。 【题型1.正方形性质理解】 【典例】有一个角是 的菱形是正方形，对角线 的菱形是正方形． 【答案】 直角 相等 【分析】根据正方形的性质和菱形的性质即可得出答案． 菱形的性质：四条边都相等，两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相垂直且平分； 正方形的性质：四条边都相等，两组对边分别平行，四个角都为直角，对角线互相垂直平分且相等． 【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形． 故答案为：直角；相等． 【点睛】本题考查了正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【跟踪专练1】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 【跟踪专练2】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的小矩形和中间一个（阴影）小正方形组成……，若设图中小矩形的宽为，长为，阴影小正方形的面积为，则与之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，先利用算术平方根确定小正方形的边长为，再根据矩形的性质得：长宽．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵阴影小正方形的面积为， ∴阴影小正方形的边长为， ∵图中小矩形的宽为，长为， ∴， ∴与之间的关系是． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 【题型2.利用正方形的性质求角度】 【典例】在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据正方形的性质确定，，再利用菱形的性质，确定，，，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，确定，解答即可． 【详解】解：∵正方形 ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 【题型3.由正方形的性质求线段长】 【典例】一个正方形的周长是米，它的边长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了正方形周长公式的逆运算，根据正方形的周长公式，边长等于周长除以4． 【详解】解：设正方形的边长为 米，则周长 已知 米， 所以 ； 故答案为． 【跟踪专练1】如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】30 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，作点关于的对称点，作点关于的对称点（先作对称点），连接，根据两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点（先作对称点），连接（连接对称点）．   ， ． （两点之间线段最短）， 四边形的周长的最小值． 为的中点，， ，． 在正方形中，， 在中，， 四边形的周长的最小值为． 故答案为：30 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理；设，则－，，由折叠可得，在中用勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为， ∴， ∵是的中点， ∴ 设，则－， 由折叠可得， 在中， 解得． 故选：C． 【题型4.由正方形的性质求面积】 【典例】正方形的一条边长是4，那么它的面积是 ，对角线长是 ． 【答案】 16 【分析】（1）利用正方形面积等于边长的平方求解； （2）利用勾股定理求对角线长． 【详解】解：如图， 在正方形ABCD中，，， 因此它的面积为：， 对角线长为：， 故答案为：16，． 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，图形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理得到正方形边长，再根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得中，，， ∴， 四边形是正方形， ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为7，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解三角形等知识点，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 过点作于点，于点，证出，得到，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】过点作于点，于点，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴正方形的面积为：， ∴， 故选：C． 【题型5.正方形折叠问题】 【典例】如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，从而在∠BAC+∠DAC＝90°，从而可求解． 【详解】解：由题意得：∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝90°， ∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠EAF∠BAC∠DAC （∠BAC+∠DAC） ＝45°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查角的计算，解答的关键是熟记折叠的性质，明确角与角之间的关系． 【跟踪专练1】如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：由翻折可知， 根据题意设，则， 又点为边的中点， ， 在中，，即， 解得：， 即． 故答案为：． 【跟踪专练2】把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，理解图示，培养学生的空间思维能力，掌握图示特点是关键． 根据图示特点分析即可． 【详解】解：把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是 ， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为15，P为边上一点，．将正方形沿折叠，使点B落在点处，延长交于点Q，则的长为 ． 【答案】13 【分析】如图，连接，由折叠的性质可得，，由可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵把沿边翻折，点B落在处， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出的长是本题的关键． 【题型6.求正方形重叠部分面积】 【典例】如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为 平方单位． 【答】 【分析】根据题意，证明△COF≌△DOE进而可得四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2， ∴重叠部分的面积为a2， 故答案为a2． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质求正方形重叠面积，三角形全等的性质与判定，证明△COF≌△DOE是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 【跟踪专练3】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【题型7.根据正方形的性质证明】 【典例】如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知点P是正方形外一点，且，，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，作，使，连接，根据勾股定理，得，即可知当点A，P，E三点共线时，，此时取最大值，然后证明，可得，则答案可得． 【详解】解：过点B作，使，连接， 根据勾股定理，得， 由三角形的三边关系得，当点A，P，E三点共线时，，此时取最大值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定以及菱形的性质，解题的关䋖是熟练掌握正方形和菱形的相关判定定理与性质． 分别分析当时，菱形的形状，以及当时，菱形的形状，从而判断对错． 【详解】解：①当时，菱形又是矩形，判定菱形是正方形， ②当时，推出是等边三角形，得到，不能判定菱形是正方形， ∴①正确，②错误． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用全等证明出． ①根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的判定定理得到，故①符合题意； ②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质证得当时， ，故②不符合题意； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等，得到四边形的面积为正方形面积的，故③符合题意； ④根据勾股定理得到，等量代换得到，故④符合题意． 【详解】解：①在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， 当时，，故②不符合题意； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴四边形的面积为正方形面积的，故③符合题意； ④在中，，根据勾股定理，得， ， ， ， ， ，故④符合题意； 综上所述，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【题型8.正方形的判定定理理解】 【典例】有一组邻边相等的矩形是 ． 【答案】正方形 【分析】根据正方形的判定方法，即可求解． 【详解】解：根据正方形的判定方法可得，有一组邻边相等的矩形是正方形 故答案为正方形． 【点睛】此题考查了正方形的判定方法，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）； 故选A． 【跟踪专练2】如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 【跟踪专练3】已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，以及结合菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图，    A、由菱形可得，那么，则A选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； B、由菱形可得，则B选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； C、不能判定菱形是正方形，故不符合题意； D、由菱形可得，而，则，因为菱形对角线平分一组对角，则，故菱形是正方形，故符合题意； 故选：D． 【题型9.证明四边形是正方形】 【典例】如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形 正方形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查的是正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定定理解答． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是正方形， 故答案为：是． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，特殊平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项结论正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项结论正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以若且，则四边形是正方形，该选项结论正确，不符合题意； D、当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，所以若且，则四边形不一定是正方形，该选项结论错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 【答案】①②/②① 【分析】证明和即可判断；由得到即可判断②；当时，求出即可判断③；综合结论②③即可判断； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理由， ∴， ∴， 由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确； 由知，四边形 是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形，故结论正确； 当时， ， 由知四边形是平行四边形， ∴平行四边形不是矩形，故结论错误； 根据结论②可知，当时，四边形是菱形，当时，四边形不是矩形， ∴四边形不是正方形，故结论错误； 综上分析可知，正确的结论为①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法． 【跟踪专练3】如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形. ， 四边形是菱形，故不符合题意； B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C、，， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，故符合题意； D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选：C． 【题型10.添一条件使四边形是正方形】 【典例】如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，本题补充一组邻边相等即可得到结论． 【详解】解：∵矩形， ∴补充， ∴矩形是正方形； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，矩形和正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】根据题意得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 A．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； B．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； C．添加， ∵ ∴ ∴ ∴，故可证明矩形是正方形，不符合题意； D．添加，不能证明矩形是正方形，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 【跟踪专练3】有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 【题型11.由正方形的性质与判定证明】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，，进而可知△PBD的面积等于的面积，根据正方形的面积进而即可求得△PBD的面积． 【详解】四边形是正方形， ，， 是∠DCE的平分线， ， ， ， 正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判断和性质，等底等高的两个三角形面积相等知识的综合，掌握正方形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，图形类规律探究，以及正方形的周长的求法，根据已知得出规律是解题关键． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出第二个，第三个的周长，从而发现规律，即可求出第n个四边形的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：得到的四边形都是正方形， 根据勾股定理得， 围成的第一个四边形的边长为：，周长为：， 第二个四边形的边长为：，周长为：， 第三个四边形的边长为：，周长为：， 第四个四边形的边长为：，周长为：， 故第个四边形的边长为：，周长为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 【题型12.由正方形的性质与判定求角度】 【典例】在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 °． 【答案】 【分析】根据旋转角等于对应边所在直线的夹角求直线与的夹角即可． 【详解】延长与交于点， ∵可以由绕某一点顺时针旋转得到， ∴， ∵将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的折叠，旋转的性质，正方形的判定，解题的关键是理解旋转角等于对应边所在直线的夹角． 【跟踪专练2】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练3.】.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 【题型13.由正方形的性质与判定求线段长】 【典例】命题“正方形的对角线互相垂直”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【详解】“正方形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是正方形， 而对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， 故逆命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，熟练掌握正方形的相关性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 【跟踪专练3】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 【题型14.由正方形的性质与判定求面积】 【典例】一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，那么矩形的面积为 ． 【答案】18 【分析】根据题意易得这个矩形的是正方形，再根据正方形中两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形，结合勾股定理可得边长的值，进而可得其面积． 【详解】解：根据题意可知，一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是， 可得矩形的两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形， 故这个矩形是正方形． 设矩形的边长为a， 则，即， 则矩形的面积为， 故答案为18． 【点睛】本题考查正方形的判断，等腰直角三角形的三边关系等，根据已知条件求证出这个矩形是正方形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 解答题 1．如图，是正方形的一条对角线，点、分别在对角线、边上，连接、、，且，求的度数． 【答案】. 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：先由正方形的性质得，再证明是等腰三角形，故得是的垂直平分线，所以证明，结合，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 3．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 4．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 5．在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据正方形的性质可知，当点落在对角线上时，由折叠的性质可知，，，，从而可知，根据折叠的性质可知； (2)连接交于点，延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的对边平行可证，根据等角对等边可知，可证结论成立； (3)连接，在中，，，利用勾股定理可以求出，当点落在上时，的长最短，根据，可知. 【详解】（1）解：在正方形中， ，，， ， 由折叠得，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，连接交于点，延长交于点， 由折叠得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，连接，在中，，， ， ， ， 当点落在上时，的长最短， 此时， 由（2）知，， ， 当的长最短时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $